第4章机械振动

第5章机械振动本章内容§4-1简谐振动的动力学特征§4-2简谐振动的运动学§4-3简谐振动的能量§4-4简谐振动的合成*振动的频谱分析§4-5阻尼振动受迫振动共振tx广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。

振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。简谐运动是最基本、最简单的振动。复杂振动=简谐振动最简单最基本的线性振动。一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。弹簧谐振子特点:

(1)等幅振动(2)周期振动简谐振动：动画§4.1

简谐振动的动力学特征水平弹簧振子由牛顿定律：令得：（弹簧振子的圆频率）振动动力学方程m所受合外力：其解----回复力（正比x且反向）动画4.1.1

弹簧振子模型mkX0Fmk0x忽略空气阻力，质点在平衡点附近往复运动.mAlθO重力矩：M=－mglsinθ根据转动定律：FP而J=ml2在小角度条件下sinθ≈θ(θ<5°)质点作简谐运动4.1.2

微振动的简谐近似

单摆(数学摆)复摆(物理摆)质量为m的任意形状的物体,绕过O点的水平轴作微小的自由摆动，称为复摆.OClθ••P设复摆的转动惯量为J,复摆的质心C到O的距离为OC=lM=－mgl

sinθ当θ很小时,M=－mglθ由转动定律或重力矩：令简谐运动微分方程1.受力特点线性恢复力(F=-kx)2.动力学方程4.固有(圆)频率弹簧振子:3.运动学方程：固有频率决定于系统内在性质单摆

:判定简谐振动的方法例一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻

力，试证明其在平衡位置附近的振动是简谐振动。证如图所示，以平衡位置A为原点，向下为x轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x，则物体在振动过程中的运动方程为式中l

是弹簧挂重物时的静伸长，因为mg=kl

,所以上式为）于是系统作简谐振动。（式中lAOxmg

可见，竖直弹簧振子与水平弹簧振子一样作简谐振动。但是，必须注意，竖直弹簧振子的平衡位置不在弹簧原长处，重力改变了振动的平衡位置。此式的解

例在图中所示的各种情况下，证明系统做简谐振动，并求其振动周期。kmmxOk证：（1）两弹簧串联等效于一个弹簧，设其劲度系数为k。当弹簧伸长时，弹性力且有

所以

以平衡位置（）为坐标原点，向下为x轴正方向，在任意位置，m受力为kmmxO满足简谐振动受力条件，所以系统做简谐振动。其周期为kmx（2）设系统平衡时，弹簧伸长，则以平衡位置为坐标原点，斜向下为x轴正方向，物体在x位置时满足谐振动受力条件，系统作谐振动。其周期4.2.1

简谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为该方程的解即为谐振动的运动学方程式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。§4.2

简谐振动的运动学速度由振动方程简谐振动的速度、加速度加速度x-t

曲线称为振动曲线1、振幅振动中最大位移量4.2.2

描述简谐振动的三个重要参量由振动运动方程:由初始条件t=0时位移x0和速度v0联立求解得:2、周期、频率园频率

周期

频率

圆频率(Hz)弹簧振子周期周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关注意周期T:物体作一次完全振动所经历的时间单摆周期复摆周期1）存在一一对应的关系;2）位相在

内变化，质点无相同的运动状态；

3、位相3）初位相时的位相。描述质点初始时刻的运动状态.

(t+0

)

是t

时刻的位相。决定谐振动物体的运动状态初始条件t=0时位移x0和速度v0联立求解得:用由初始条件决定的积分常数求初位相φ0由x=Acos(t+)-2A

02A

0-2A

a(t)

0

A

0-A

0

(t)

A

0-A

0

A

x(t)

23/2

/2

0t+

可知：要熟记典型0

值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。

0

A

0-A

0

0

A

0

-A

0

A

x0

23/2

/2

0(取或)txOA-A

=2AXoXotXo-AXoAXotttt4、位相差超前和落后

txOA1-A1A2-A2x1x2若

=2-1>0,则x2比x1早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。位相差反映了两个振动不同程度的参差错落同相和反相(同频率振动)当

=2k两振动步调相同称同相。xtoA1-A1A2-A2x1x2T同相当

=(2k+1)两振动步调相反

称反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相已知表达式

A、T、

5、简谐振动的描述方法1）解析法(由振动表达式)常数A和的确定已知A、T、

表达式由初始条件t=0时位移x0和速度v0oA-Atx

=/2T用振动曲线描述简谐振动

已知振动曲线

A、T、

已知A、T、

振动曲线2）曲线法(由振动曲线（为什么不取π

？)(2)由(1)中结果依题意，v＜0则例:一轻弹簧，一端固定，另一端连接一定质量的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为6.0s-1。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：(1)简谐运动表达式；(2)物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。解：(1)·规定t+oxxtt=0·动画4.2.3

简谐振动的旋转矢量表示法用几何方法来表示简谐振动作一矢量A,使它在oxy平面上绕点o作逆时针匀速转动,角速度ω,其矢量的端点M在x轴上的投影点P的运动为简谐运动.这个矢量A就称为旋转矢量。

t=0时,矢端在M0点，t时刻,矢端在M点.M点的投影点的坐标为

x

。可见,矢量A作匀速转动时,其端点M在ox轴上的投影点的运动就是谐振动M0M⑴⑶

t=0时的φ为初相位⑵逆时针转角速度ω等于固有频率

⑷t时刻A与x的夹角的ωt+φ为相位端点在x轴上的投影式·t+oxxtt=0va·M0M(1)把变速直线运动转化为匀速圆周运动.(2)利用该方法可方便地画出x-t,v-t,a–t图(3)可方便地比较两个振动的位相,方便地求初位相(4)方便地进行两个振动的合成旋转矢量法的优点oxotxaπ/4abωT/8bcc•d•dee•T/2•••5T/8••T动画例.试画出的x-t

图线旋转矢量图的应用1、求初相φ0=？t=0x=Acos(t+)已知初始条件t=0x=x0，v=v0求初相位0如图，在x=x0处可有两个状态由速度确定v1x<0v2x>0v0<0,=1v0>0,=2vmvmx12ox0·12由位移和速度方向可判断位相的范围x>0,v<0⇒

Ⅰ象限x<0,v<0⇒Ⅱ象限x<0,v>0⇒Ⅲ象限x>0,v>0⇒Ⅳ象限Ⅰ象限Ⅱ象限Ⅲ象限Ⅳ象限2、用旋转矢量表示相位关系同相反相旋转矢量振动方程振动曲线例OADCBx解质点在x轴上作谐振动，从A→B→O→C→D，请指出各点时的相位，并说明相应的状态。例质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧谐振子，t=0时质点过平衡位置且向正方向运动。求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间。解：设t时刻到达末态。由已知画出t=

0时刻的旋矢图。由题意选实线所示的位矢。设始末态位矢夹角为，则得例解用相位分析问题A→A/2：相位变化从0→π/3，由A/2→0：相位变化从π/3→π/2，由

一质点在x轴上作谐振动，T为已知，问：质点从A→A/2和从A/2→0所需时间各为多少？解例已知振动曲线，求振动方程。由振动曲线1，t＝0时，x0＝0，υ0>0由振动曲线2，t＝0时，x0＝－3，υ0＝0？例：已知某质点作谐振动，曲线如图。求：振动表达式。解：由图知：A=2mt=0:由(1)解得：x(m)t(s)1-2121oxt=1s:由(3)解得：振动方程为：x(m)t(s)1-212oxo例物体沿x轴谐振动，A=12cm，T=2s，当t=0时，物体的坐标x=6cm，向x轴正方向运动。求：(1)0及运动方程；解：(1)

t=0时(2)

t=0时A-Ao(2)物体在平衡位置向x轴负方向运动开始计时的运动方程

超前相位例已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：设振动方程为故振动方程为例一质量为0.01kg的物体作简谐运动,其振幅为0.08m,周期为4s,起始时刻在x=0.04m处,向Ox轴负方向运动.试求:(1)t=1.0s时,物体所处的位置和所受的力;(2)由起始位置运动到x=－0.04m处所需要的最短时间.而v0=－ωAsinφ<0(1)t=1.0s时由上式解得x=－0.069mF=－kx=－mω2x=1.70×10－3N(2)设最短时间为t由受力为解:已知A=0.08m在t=0时有0.04=0.08cosφ所以例弹簧振子m=100g，把物从平衡位置向下拉10cm后释放，已知T=2s,求：(1)物第一次经过平衡位置时的速度；(2)物第一次在平衡位置上方5cm处的加速度；(3)物从平衡位置下方5cm处向上运动到平衡位置上方5cm处

所需时间。ox10cm解：x10xA=10φ=0-10-510xo由旋转图及条件知：-10-510xo(3)由条件知：ox10cm例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm

t=0时x0=-9.8cm,

v0=0⑴取开始振动时为计时零点，写出振动方程(2）若取x0=0，v0>0为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。xOmx解：⑴确定平衡位置mg=kl

取为原点

k=mg/l

由初条件得由x0=-0.098,

取0=振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按题意t=0时x0=0，v0>0x=9.810-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变固有频率xOmx例教材130页如弹簧谐振子§4.3简谐振动的能量1、动能2、势能3、机械能简谐运动能量图4T2T43T能量ExO

谐振子的势能曲线线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.简谐运动能量守恒，振幅不变4、一个周期内的平均动能和平均势能在一个周期内，平均动能和平均势能相等动能势能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒能量守恒简谐运动方程推导有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便。

由起始能量求振幅（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为。

求：（2）解（1）（4）时由（3）解例教材134页线性叠加（双光束干涉的理论基础）结论：合振动x仍是简谐振动振动频率仍是§4.4

简谐振动的合成*振动的频谱分析4.4.1

同方向同频率谐振动的合成1、计算法2、旋转矢量合成法

(1)若两分振动同相,即

21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相,即

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)当A1=A2时,A=0则A=A1+A2,两分振动相互加强，则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，当A1=A2时,A=2A1(3）一般情况3、位相差对合振幅的影响同相反相例已知求合成振动的表达式解:已知A1=6,φ1=0.75π;A2=8,φ2=0.25π合振动为例:两个同方向的简谐运动曲线(如图所示)

(1)求合振动的振幅。

(2)求合振动的振动方程。xTt解:(1)t=0时，＞0＜0故，互为反相，合振幅最小(2)t=0时的旋转矢量图：x当21时,

2-12+1，令其中随

t缓变随t快变合振动:分振动:结论：合振动x可看做是振幅缓变的简谐振动。振动时而加强,时而减弱的现象叫拍4.4.2

同方向不同频率简谐振动的合成xx2x1ttt拍频:单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即

拍的现象

OOO动画一、同频率的谐振动合成线性相加：轨迹方程是椭圆即合成的一般结果是椭圆。质点的合振动位移在一、三象限内的一条直线上；任意时刻xyA1A2O1)*4.4.4

两个相互垂直的同频率简谐振动的合成为二、四象限内的一条直线。3)椭圆方程，主轴平行坐标轴右旋（顺时针）左旋（逆时针）4)质点运动轨迹为斜椭圆xyA1A2OxyA1A2O2)

=0

=/2

=

=3/2

=/4

=3/4

=5/4

=7/4动画右旋例

用旋矢法作图动画a)b)振动方向旋转c)正椭圆若（偏振光干涉的理论基础）例

特殊结果圆测量振动频率和相位的方法动画*4.4.5

两个相互垂直的不同频率简谐振动的合成轨迹称为李萨如图形简谐振动的合成yxA1A2o-A2-A1两分振动频率相差很小可看作两频率相等而2-1随ｔ缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化两振动的频率成简单整数比合成振动轨迹是稳定的闭合曲线测未知频率系统在振动过程中，受到粘性阻力作用后，能量将随时间逐渐衰减。系统受的粘性阻力与速率成正比比例系数叫阻力系数。1、振动的微分方程(以弹簧振子为例)阻尼系数:固有角频率如果能振动起来（欠阻尼情况）上述方程的解是什么形式呢？2、振动表达式和振动曲线从物理上考虑：如果无