第二章控制系统的动态数学模型(一)

研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及特性，而且更要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就要求建立系统的数学模型。建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。第二章控制系统的动态数学模型

建立系统的数学模型及模型的线性化重要的分析工具：拉普拉斯变换及其逆变换经典控制理论的数学基础：传递函数控制系统的图形表示：方框图及信号流图数学模型的基本概念系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及于内部其它变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

如：以物理定律及实验规律为依据的微分方程是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。数学模型的基本概念静态数学模型

静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的数学模型。动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的代数方程。反映系统瞬态和过渡态的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。数学模型的基本概念建立数学模型的方法

解析法

根据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律，列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法

人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的基本概念数学模型的形式时间域：微分方程差分方程状态空间方程（一阶微分方程组）复数域传递函数函数方框图、信号流图频率域频率特性数学模型的基本概念对于给定的系统，数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方程、传递函数、状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。§2-1数学模型的建立机械位移系统弹簧-质量-阻尼器例：求外力F(t)与质量块m位移ｙ(t)之间的微分方程。解由牛顿第二定律列出方程即

§2-1数学模型的建立在机械系统中有些构件具有较大的惯性和刚度有些构件惯性较小、柔度较大弹性忽略，视为质量块集中参数法惯性忽略，视为无质量的弹簧集中参数法§2-1数学模型的建立机械位移系统

组合机床动力滑台力学模型§2-1数学模型的建立无源电路§2-1数学模型的建立有源电路§2-1数学模型的建立建立数学模型的一般步骤分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列§2-2数学模型的线性化实际系统一般都有非线性现象严格讲：几乎所有实际物理系统都是非线性的。

电机死区放大器饱和机械间隙xixixix0x0x0阀门非线性§2-2数学模型的线性化

线性化的提出线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性。非线性系统的分析和综合是非常复杂的。对于实际系统而言，在一定条件下做某种近似或缩小工作范围，用线性模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。§2-2数学模型的线性化线性化条件非线性因素对系统影响很小系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性化，求其增量方程。

不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离平衡点的量§2-2数学模型的线性化

AByx0

§2-2数学模型的线性化-实例单摆§2-2数学模型的线性化线性化步骤找出静态工作点（工艺上给出的参数）。

工作点不同，所得线性化方程的系数也不同；变量的偏移愈小，线性化精度越高；在工作点附近展开成泰勒级数；略去高阶项，仅考虑泰勒级数的一次项，得到关于增量的线性化微分方程。§2-3LaplaceTransform&itsinversetransform

拉普拉斯变换及反变换

—一种解线性常微分方程的简便方法时域微分方程复变函数代数方程拉氏变换拉氏反变换复变量和复变函数复数有实部和虚部，两部分都是常数。如：复变量指复数的实部或虚部中含有变量。如：复变函数

F(S)是s

的函数，有实部和虚部。

如：

复数相加（减）：两个复数的实部和虚部分别相加得和（差）的实部和虚部。如：复数相乘（除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积（商），相角等于两个复数相角的和（差）。如：复数分母有理化分子和分母同时乘上分母的共轭复数。如：例如：G(s)平面40S平面20拉普拉斯变换可以理解为广义单边傅里叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域之间的联系。§2-3拉普拉斯变换及其逆变换

(𝝈,𝒘均为实数）原函数复变量

象函数

若x(t)在t=0处有一个脉冲函数，则必须明确拉氏积分的下限是0+还是0－。拉氏变换积分下限的说明

0+

表示外作用开始作用于系统；

0-表示外作用尚未作用于系统，这时可确定系统所处

的初始状态；工程实际中，常把开始研究系统时刻规定为零时刻，即

为0-时刻的拉氏变换。§2-3拉普拉斯变换及其逆变换简单函数的拉氏变换1.

单位阶跃函数0t12. 指数函数0t1

4. 幂函数0t

应记住的一些简单函数的拉氏变换§2-3拉普拉斯变换及其逆变换拉氏变换的性质1.

叠加原理

2.

微分定理

零初始条件

两个推论：

00tt

终值定理

0td(t)1定义可用于描述:单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等。

0t

例

求f(t)的象函数解：延时定理衰减定理

拉普拉斯反变换方法

使分子为零的S值称为象函数的零点使分母为零的S值称为象函数的极点1、只含不同单极点情况

对分母进行因式分解再分解为部分分式

2、含有共轭复极点情况

2、含有共轭复极点情况

共轭复根，考虑sin、