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文档简介

第五讲极限、连续、偏导数1°多元函数极限与连续方法:(1)利用极限的四则运算法则1、极限的计算(2)利用等价无穷小代换(3)利用夹逼定理证明极限不存在的方法：选择两条不同的路径，证明其有不同的极限值例1计算：解(1)设则对有据夹逼定理知:现据夹逼定理知:2、函数的连续性f(x,y)在点(x0,y0)处连续例2讨论的连续性解在的点处,为初等函数f(x,y)在的点处连续在点处,考虑由于据夹逼定理知:f(x,y)在上处处连续f(x,y)在的点处连续2°偏导数、全微分、方向导数1、偏导数方法:(1)利用偏导数的定义(2)利用链式法则(3)利用全微分例3

(练习七/三)研究在(0,0)处偏导数的存在性解不存在例4设讨论f(x,y)在(0,0)点处的可微性解只需验证?若令x=y

上式f(x,y)在(0,0)处不可微则在(0,0)点处f(x,y)(A)偏导数不存在(B)不可微(C)偏导数存在且连续(D)可微例5讨论解当(x,y)沿y=x

趋向于(0,0)点时不存在f(x,y)在(0,0)处可微,故选(D)例6

(练习七/二(3))设,求例7

设,求解解例8

(练习七/四)设,其中f有一阶连续偏导数,且f(1,1)=1,f1(1,1)=p,f2(1,1)=q,求和解令

x=1

得例9

若函数z=f(x,y)可微,且,则当x

0时,计算解由两边对x

求导数,得例10(练习七/五)

若函数f(x,y)有一阶连续偏导数,,求解由两边对t

求导数,得将代入上式,得设u=f(z),z=x+y(z),其中

f,可导,求例11(练习七/二(4))

解四个变量,两个方程例12(练习七/二(5))

设u=z(x,y)由方程F(x+2y+3z,xy2z3)=0所确定,其中F可微,求解将方程两边对y

求偏导数有例13(练习七/七)

设u=z(x,y)由方程x=f(u,v),y=g(u,v),z=h(u,v)所确定,求,其中f,g,h

有一阶连续偏导数,且fv

0解对方程组取全微分有由2、方向导数方法:(1)利用定义(2)例14(练习七/八)

证明:函数在M0(0,0)点处沿任一方向的方向导数都有解任取一方向:例15(练习八/一(3))

求函数在点M0(

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