济南大学 高数A(二)历年高数考题答案

济南大学2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷）高等数学A（二）

1、3计算题：求微分方程满足初始条件的特解.分离变量积分即特解为4.求幂级数的收敛域及和函数.解故收敛区间为(-1,1)故收敛域为(-1,1)发散;发散1，其中是由，和所围成的闭区域.，其中是抛物线上从点到点的一段弧.解，其中是圆柱体：，的整个表面的外侧.解利用高斯公式五、应用题（10分）设具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.解一阶线性微分方程一阶线性微分方程济南大学2010～2011学年第二学期课程考试试卷（A卷）高等数学A（二）

1，求2、

，求

3、已知，求解：教材章9.4节课后习题8是类似的题，其中Ｄ是由直线所围成的平面区域.四、计算下列积分（每小题10分，共30分）解：1、2、设为取正向的圆周，计算曲线积分解：3、计算曲面积分，其中为抛物面取下侧.解：曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式（由对称性）3、计算曲面积分，其中为抛物面取下侧.解：五、（10分）求幂级数的收敛域及其在收敛区间内的和函数；并求的值.解发散;发散故收敛域为(-1,1)六，2.验证在整个平面内是某一函数的全微分，并求一个解取积分路径，如图：济南大学2009～2010学年第二学期课程考试试卷（A卷）高等数学A（二）

伯努利方程则化为线性方程1.设

解：则内接长方体的相邻边长为其体积为：构造拉格朗日函数求得（x，y，z）=四1.在已给的椭球面内的一切内接长方体。（各边分别平行于坐标轴）中，求其体积最大者。是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点设2.求由抛物面z=x2+y2和平面z=4所围的均匀立体（体密度1）关于Z轴的转动惯量.xyz04Dxyz=4z=x2+y2

将向xy平面投影.

D:x2+y2≤4解故收敛域为(-1,1)发散发散六、（8分）设函数f(u)在(0,+)内具有二阶偏导数，且满足等式

①验证②若求函数f(u)的表达式.解

①六、（8分）设函数f(u)在(0,+)内具有二阶偏导数，且满足等式

①验证②若求函数f(u)的表达式.解②令y=f(u)代入原方程,得分离变量积分得ln|p|=-ln|u|+lnC所以pu=C1即解得即济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷（A卷）高等数学A（二）

曲面在点处的切平面方程为

切平面方程为函数关于的幂级数展开式为____

.

1.设函数，求三、求下列函数的偏导数或全微分（每小题8分，共24分）3.设函数是由方程所确定，其中具有一阶连续的偏导数，求和公式法解四、计算下列积分（每小题10分，共40分）(1)，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域．，其中是由圆所围成的闭区域

(2)3),其中是由不等式所确定.解(4)，其中是椭圆的逆时针方向．解：因为在曲线所围成的区域内，故不能直接用格林公式。以原点为中心作曲线（取逆时针方向），选择适当的使得曲线全部含在曲线围成的区域内，记曲线与共同围成的区域为，内有恒成立，

解收敛,故收敛域为(-1,1)解六（8分）求函数的极值．

曲面在点处的切平面方程为

切平面方程为(1)函数在点可微是在该点的两个一阶偏导数都存在的（）充分条件．(B)必要条件．(C)充分必要条件．(D)既非充分又非必要条件．(2)函数在点取得极大值．(B)取得极小值．(C)不取得极值．(D)无法判定是否取得极值．

处（）(3)设可导函数满足则()是的极值点是的驻点是的连续点处可微（8分）求函数的极值．

4.曲面在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为[]

(A)；(B)3；(C)9；(D)1.历年考题：去年：为圆形闭区域，则，其中Ｄ是由直线所围成的平面区域.xyoLA(a,0)B(0,a)与路径无关解：1.微分方程的通解为

2.求微分方程的特解。两边积分得3.函数(其中是任意常数)是微分方程[]通解;（B）特解;（C）是解,但即不是通解也不是特解;（D）不是解C5．微分方程的通解为5．齐次方程的通解为04级本科1．微分方程的通解为

2．函数(其中是任意常数)是微分方程通解;B.特解;C.是解,但即不是通解也不是特解;D.不是解的特解。3.求微分方程的[c]07-081．微分方程5．以为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程为

5．微分方程的特解形式应设为[]（B）

（C）(D)的通解为

(A)

08-092、设函数可导，且满足方程求解：方程两边对求导得：得所以08-091、求极限：一二，3（1）.【全微分】

全微分＝各偏微分之和(2)三（3）f具有一阶连续偏导数,求【隐函数的求导法则】(1)［公式法］(2)［推导法］(直接法)——方法步骤x、y、z等各变量地位等同①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量；②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；(3)方程两边求全微分(抽象函数时不可用)二重积分的计算方法

1．利用直角坐标计算（1）X-型区域：

.关键：选择积分次序（2）Y-型区域：

2．利用极坐标计算

2、三重积分的计算(1)直角坐标直角坐标系下三重积分化累次积分:注：投影穿线法先二后一法先求一个二重积分再求一个定积分截面法

解原式(2)

柱面坐标(3)球面坐标利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化三重积分的计算12例用球面坐标计算其中解画图。确定

r，，的上下限。(1)将向xoy面投影，得(2)任取一过z轴作半平面，得(3)在半平面上，任取一过原点作射线，得即例计算其中由曲面和围成。将向xoy面投影，得任取一过z在半平面上，任取一过原点作射线，得解轴作半平面，得解：方法一：06-071，

2，二次积分

二，①连续③可微②两个偏导数连续④两个偏导数存在则有（）②④A③①②B③①C③①④D③①A,既是驻点也是极值点B,驻点但非极值点C,极值点但非驻点D,既非驻点也非极值点多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，3，下列级数中，条件收敛的是（）三，计算题解：解:两边对z求导数由克莱姆法则四，计算zxyx+y+z=102.

计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy解：.10yxz