高等代数考研复习线性空间

高等代数考研复习

第六章线性空间2014年8月第六章线性空间线性空间是2维、3维几何空间及n维向量空间的推广.线性空间是定义了两种运算加法与数乘的集合.线性空间具有较强的抽象性和应用的广泛性.本章的主要内容分为两部分:(1)线性空间概念、基维数与坐标

(2)线性子空间的运算1线性空间概念、基维数与坐标

1.1线性空间的定义：设V是一个非空集合，P是一个数域.在V的元素之间定义了两种运算：加法与数乘，并且两种运算满足8条性质.则称集合V是数域P上的线性空间.简单地说：带有线性运算的集合，同时运算满足8条性质的集合称为线性空间.线性空间中的元素称为向量，线性空间也称为向量空间.1.2常用线性空间(1)n维向量空间：

空间的基其中空间维数(2)矩阵空间：的基是维数(3)多项式空间：特别有：的基：或

的维数：(4)生成子空间：生成子空间的基是生成元的极大线性无关组.维数是生成元向量组的秩.1.3基与维数定理：如果线性空间V中有n个线性无关的向量

且V中任一向量都可用它们线性表出，那么V是n维的，而就是V的一组基.定理给出了确定线性空间基与维数的方法，事实上，常常是先在V中任取一个向量，然后根据条件，确定这个向量能否被一组向量线性表示，再证明这组向量线性无关。从而确定基与维数.1.4坐标

设是n维空间V的一组基，有称为在基下的坐标.在n维空间V中，取定一组基则可在V与上建立一个一一映射.且是同构映射.同构保持运算.因此常将V中元素的运算转化为中向量的运算.1.5基变换与坐标变换1)过渡矩阵：设与都是n维空间V的基，它们之间的关系是：其中，A为n阶方阵.称A为由基到基的过渡矩阵.过渡矩阵都是可逆的！并且由到的过渡矩阵为2)坐标变换：设与都是n维空间V的基，对V中任一向量，有那么，题型分析：1)确定空间的基与维数

例1设求V的基与维数.例2设求的子空间的基与维数.例3(1)把C看做自身的线性空间，求它的基与维数.把C看做R上的线性空间，求它的基与维数.(2)若则V对通常加法与数乘构成线性空间，V在C上是几维的？在R上又是几维的？例4设求2)求过渡矩阵

例1在中取两组基：与(1)求由到的过渡矩阵.(2)设求M在上面两组基下的矩阵.(3)求一个非零矩阵，使得它在这两组基下有相同的坐标.例21)证明在中多项式在的条件下构成的一组基.2)在1)中取为全体n次单位根，求由基到基的过渡矩阵.例3设是n维空间V的一组基，A是一个矩阵，并且有证明：例4设是数域P上n维空间V的n个向量，其秩等于r.证明：集合构成线性空间的一个n-r维子空间.

例5设W是的一个非零子空间，对于W中的每一个向量要么，要么每一个都不等于0，证明：2.子空间的运算2.1子空间的概念：设V是数域P上的线性空间，W是V的非空子集，若对于任意都有则称W是V的子空间.2.2子空间的交与和1)两个子空间的交仍然是子空间.2)和空间的定义：设是V的子空间，称为的和空间.

是V的子空间.有下面关系：2.3子空间的性质1)任一线性空间V都可看做是由它的基生成的子空间，即2)生成子空间的和3)维数公式：

要求会证明！4)基的扩充定理：线性空间V的任一子空间W的基都可以扩充为V的基.2.4子空间的直和

设是线性空间V的子空间，则下述命题等价1）是直和；2)中任一元素的分解是唯一的；中零元素的分解是唯一的，即0=0+0.

注意:如果是三个以上的子空间的直和的该条件为：或

5)

2.5线性空间的同构1)定义：设V与V^是两个线性空间，若在空间V与V^之间存在一个一一映射，且满足ⅰ)ⅱ）则称是V到V^的一个同构映射.2)同构性质：

ⅰ)ⅱ）ⅲ)线性相关的充分必要条件是：线性相关.ⅳ)同构的线性空间有相同的维数.题型分析：1)求子空间交与和的基与维数；2)维数公式的应用；3)证明和为直和.1)求子空间交与和的基与维数例1在中，设求与的基与维数.例2设其中求与的基与维数.例3设是P上线性空间V的两个非平凡子子空间，证明：V中存在向量使得且2)维数公式的应用

例1设V是P上的n维线性空间，是V的子空间，并且证明：或例2设是n阶方阵，且证明：方程组与有非零公共解.例3维数公式证明.3)证明和为直和

例1设都是的子空间，证明：例2设证明：例3设n阶方阵A满足，令证明：例4设为n阶方阵，令证明：例5设又证明：只有零解.例