结构化学第一章

结构化学(物质结构）主讲：刘永军教授(量子力学基础，原子结构，原子光谱，分子对称性)

步宇翔教授（分子轨道理论,价键理论，分子光谱，晶体结构）

e-mail:yongjunliu_1@

电话：(883)65576

地址：化学新楼3081-2学时绪论一、结构化学的主要内容二、结构化学的发展历程三、结构化学的学习方法概括一下：

研究内容决定反映原子结构（原子中电子的分布和能级）

晶体结构（晶胞中分子的堆垛）

实验方法（IR、NMR、UPS、XPS等）微观粒子运动所遵循的量子力学规律

分子结构（化学键的性质和分子的能量状态）

结构与性能的关系（结构性能）研究方法♥“演绎”法:从量子力学规律出发

如阐明元素周期律的本质、化学键的本质等。♥“归纳”法:物理测试方法

如用x射线结构分析、原子光谱、分子光谱、电子及磁学性质的测定，核磁共振、电子自旋共振等方法研究物质内部原子的排列及运动状况、原子和分子中电子的运动状态等，然后总结出规律。二、结构化学的发展历程19世纪末,随着量子力学的诞生而逐渐发展新发现：电子的发现；元素的天然放射性的发现；黑体辐射现象的规律的发现。”经典物理学理论”无法解释1900年，普朗克（M.Planck）提出量子论1905年，爱因斯坦（A.Einstein）先提出相对论，后又提出光的量子论1913年，波尔（N.Bohr）提出原子结构的量子理论1924年，德布罗意（de.Broglie）提出微观粒子的波粒二象性薛定谔，海森堡，狄拉克等建立了“量子力学”理论从此，物质结构的研究获得了可靠而有效的理论基础

充分利用现代物理测试方法

采用电子技术、计算机、单晶衍射、多晶衍射、原子光谱、分子光谱、核磁共振等现代手段，积累了大量结构数据，为归纳总结结构化学的规律和原理作基础。

理论与实践相结合

将结构和性能联系起来，用以设计合成路线、改进产品质量、开拓产品用途。1927年，海特勒-伦敦成功处理H2分子，斯莱特，鲍令发展了化学键理论，后人又发展了化学反应理论，分子轨道理论，HMO，前线轨道理论量子力学诺贝尔奖获得者结构测定诺贝尔奖获得者5）2011年诺贝尔化学奖达尼埃尔·谢赫特曼(DanielShechtman)

“发现准晶体”在准晶中，人们发现了原子世界中的阿拉伯式镶嵌图：这是一种迷人的模式，它是规则的，但彼此之间又不是简单的平移对称。准晶的这种结构曾被认为是不可能存在的，而DanielShechtman却向这种根深蒂固的科学观念发出了挑战。2011年度诺贝尔化学奖从根本上改变了化学家对固体物质的认识。

1982年4月8日的早晨，一幅违反自然规律的画面出现在DanielShechtman的电子显微镜下。人们一直以为，在所有固体物质中，原子都以周期性不断重复的对称模式排列构成晶体。这种重复的结构是形成晶体所必须的。

而Shechtman得到的画面显示，在他的晶体里，原子并没有以简单重复的模式排列。人们一直以为这样的模式是不可能存在的，正如一个由五边形和六边形组成的足球面不能只用六边形拼成。因为这项发现极具争议性，他努力为自己辩解，以至于被请出了研究团队。不过，他的抗争最终迫使其他科学家们开始重新思考物质最本质的属性。

G蛋白偶联受体工作机理2012年诺贝尔化学奖只要坚持就会成功232013年，美国科学家马丁·卡普拉斯(MartinKarplus)、迈克尔·莱维特(MichaelLevitt)和亚利耶·瓦谢尔(AriehWarshel)在开发多尺度复杂化学系统模型方面所做的贡献，获2013年诺贝尔化学奖。24

70年代，唐敖庆、徐光宪先生在国内率先开展了量化计算的研究工作。1920年11月7日出生于浙江省绍兴上虞市，1944年毕业于交通大学化学系。1951年获美国哥伦比亚大学物理化学博士学位，不久回国，到北京大学任教至今。1980年当选为中国科学院学部委员（院士）。现任北京大学化学系教授、博士生导师。徐光宪夫人高小霞，亦是化学家。唐敖庆(191511.18-200807.15），江苏宜兴人，理论化学家､教育家,创建了中国的科学基金制度｡1940年毕业于西南联合大学化学系。1949年获美国哥伦比亚大学博士学位。国家自然科学基金委员会名誉主任，吉林大学教授、名誉校长。享年93岁。邓从豪院士，山东大学孙家锺院士，吉林大学江元生院士，南京大学黎乐民院士，北京大学张乾二院士，厦门大学吴云东院士，北京大学刘若庄院士，北京师范大学方维海院士，北京师范大学三注意学习前人处理问题解决问题的方法,而不是注重繁琐的数学推导,善于理解所用模型的具体意义要努力学会应用抽象思维及数学工具处理问题

教学目标

了解微观粒子的波粒二象性，掌握量子力学的基本假设，并能用薛定谔方程处理简单体系。

学习要点1.掌握量子力学基本假设：用波函数描述微观粒子状态；用算符表示物理量；用本征方程求解微观粒子运动规律；状态函数满足态叠加原理；Pauli不相容原理。2.掌握势箱中自由粒子的运动状态（波函数、能量）。

第一章量子力学基础量子力学是结构化学的理论基础，它不但具有难以回避的高度抽象的数学结构，而且具有极其深刻的哲学意义，以至于有些说法显得有悖常理。量子力学是20世纪的三大科学发现之一（相对论，量子力学，DNA的双螺旋结构）N.Bohr说：任何能思考量子力学而又没有搞得头晕目眩的人，都没有真正理解量子力学。注意：量子力学是结构化学的理论基础，但不是结构化学的主要内容，重点是利用量子力学引出新概念（如原子轨道、分子轨道等），从微观角度对化学问题作出解释和预测，而不必深入可能迷路的数学丛林。§1.1量子力学的产生背景

经典物理学到19世纪末，已经发展的相当完善。机械方面有牛顿三大定律；热力学方面有吉布斯理论；电磁学方面有麦克斯韦方程统一解释电、磁、光等现象；统计力学有波耳兹曼的统计力学。

它对几个问题始终不能给予解释,其中之一就是著名的黑体辐射问题.此外还有光电效应、原子光谱和原子结构等问题.经典物理学对解释这些实验现象的失败,导致了量子论力学和相对论力学的诞生.1.1.1黑体辐射和能量量子化图1-1黑体辐射示意图黑体：能全部吸收外来电磁波的理想物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。

黑体辐射能量密度与波长的关系是19世纪末物理学家关心的重要问题之一.

Rayleigh-Jeans把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。

Wien假定辐射波长的分布与Maxwell分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。Wien（维恩）曲线能量波长实验曲线Rayleigh-Jeans（瑞利－金斯）曲线黑体辐射能量分布曲线

经典物理无法解释的另一个现象来自H.R.Hertz1887年的著名实验.这一实验极为有趣和重要,因为它既证实了Maxwell的电磁波理论(该理论认为光也是电磁波),又发现了光电效应(photoelectriceffect),后来导致了光的粒子学说.1.1.2

光电效应与光的二象性

经典物理学能否解释呢？

1911年卢瑟福提出原子结构模型，原子由原子核与电子组成，原子核是一个很小的带正电的核，电子带负电绕核运转。按照经典力学分析:1)原子为一不稳定体系.电子与核的电场相互作用，不断幅射能量，电子能量逐渐减小,电子最后将螺旋状地落入原子核;2)原子光谱是连续的.因为电子能量逐渐减小,辐射频率逐渐改变.

但从原子光谱观察，在没有外作用时，原子不发生辐射，受到作用时，原子也只发射自己特有的频率，不会连续辐射，与原子稳定性和光谱分立性相矛盾:经典物理学无法解释氢原子光谱！

由Bohr模型,结合经典力学运动定律,可解出Rydberg常数的理论值，进而计算各已知线系波数.结果与实验值相当符合.

氢原子能级示意图与氢光谱n=1n=2n=3n=4n=5

Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，对碱金属原子也近似适用.但它竟不能解释He原子的光谱，更不必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。后来，Bohr模型又被A.Sommerfeld等人进一步改进，增加了椭圆轨道和轨道平面取向量子化(即空间量子化)。但这些改进并没有从根本上解决问题,促使更多物理学家认识到,必须对物理学进行一场深刻变革.

法国物理学家德布罗意(L.V.deBroglie)勇敢地迈出一大步.1924年,他提出了物质波可能存在的主要论点.LouisVictorduedeBroglie德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文《关于量子理论的研究》中提出德布罗意波，同时提出用电子在晶体上做衍射实验的想法。爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，评价说“我相信这是揭开我们物理学最困难谜题的第一道微弱的希望之光”。法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。1.1.4实物粒子的波粒二象性

L.V.deBroglie（德布罗意）在光的波粒二象性(wave-particleduality)的启发下，提出了一个大胆的假设。他认为辐射的波粒二象性同样适用于物质，一度被视为波的光已被证明有粒子性,现在需要“反过来”把一直认为是实物粒子的电子等物质,也看作是波，并指出表征实物粒子的粒子性的物理量动量P和表征其波动性的物理量波长之间应有如下关系：

deBroglie关系式为:

ν=E/hλ=h/p

这个假设究竟是否正确，有无实际意义，关键是要得到实验证实。

1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用薄膜透射法证实了物质波的存在,用德布罗意关系式计算的波长与布拉格方程计算结果一致.1929年,deBroglie获诺贝尔物理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.

实验进一步表明，不但电子，中子、质子和原子等微粒也具有波动性，也遵循deBroglie关系。金晶体的电子衍射图(Debye-Scherrer图)氧化锆晶体的X射线衍射图(Debye-Scherrer图)deBroglie波不仅对建立量子力学和原子、分子结构理论有重要意义，而且在技术上有重要应用.

使用deBroglie波的电子显微镜分辨率达到光学显微镜的数千倍,为我们打开了微观世界的大门.deBroglie波的提出是类比法的成功典范

从科学方法论的角度讲,由光的波粒二象性到实物微粒的波粒二象性是一种类比推理.类比是由两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的思想方法，是一种由特殊到特殊、由此类及彼类的过程.类比可以提供重要线索，启迪思想，是发展科学知识的一种有效的试探方法.我们在研究工作中需要重视这种方法.然而，它是一种或然性推理，而不是必然性推理，因而有局限性，其结论的正确与否必须由实践来检验.deBroglie波的存在虽然已被证实，但还缺少一个描述它存在于时空中的波动方程.1926年，E.Schrödinger创立波动力学，其核心就是今天众所周知的Schrödinger方程，包括下列定态方程和与时间有关的方程,有时笼统地称为波动方程.这不是简单的代数方程，而是微分方程(以后将逐步了解其含义和应用):1.1.5

Schrödinger方程结构化学中主要使用不含时Schrödinger方程

不含时间与含时间的Schrödinger方程算符的有关知识（补充）

从电子衍射实验可以看出，像电子、中子等这些微观粒子的行为与宏观粒子有着本质上的不同。

在经典力学中，粒子在任一时刻的坐标和动量都是一定的，都有确定值，它的状态可以由其坐标和动量来描述。

但是，由于微观粒子的波动性，不能同时确定微观粒子的坐标和动量，微观粒子的坐标和动量不能同时具有确定值。

1.1.6

不确定原理1927年,W.K.Heisenberg提出了微观领域的不确定原理(uncertaintyprinciple):

有这样一些成对的可测量,要同时测定它们的任意精确值是不可能的.其中一个量被测得越精确,其共轭量就变得越不确定.

例如,坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.

不确定原理可以用不同的方式来阐述,最容易理解也最常用的是电子的单缝衍射实验:

不确定原理：单

缝

衍

射

ΔPx考虑到次级衍射，Heisenberg测不准关系应为：xPx≥h/2远远超过原子中电子离核的距离●测不准关系是经典力学和量子力学适用范围的判据§1.2研究领域与运动规律研究速度远小于光速的宏观物体的机械运动规律的科学称为经典力学。研究速度接近光速的运动规律的科学称为相对论力学。

研究微观粒子运动规律的科学称为量子力学。微观物理现象有两个基本特征，第一个特征是量子性，第二个特征是统计性，例如微观粒子的坐标和动量不能同时具有确定值。§1.3算符算符是一种运算符号，像sin,log,dy/dx等。通常算符与其运算的对象写成相乘的形式。例如：用A表示某一算符，u为被施以运算的对象，则写成Au，并称A作用于u。^^^1.对于任一函数u，若有Au=Bu，就说算符A与B相等，记作A=B^^^^^^^^^^^2.对于任一函数u，若有Cu=Au+Bu,就说算符C是A与B的和，记作C=A+B^^^^3.对于任一函数u,若有ABu=Cu，就说算符C是A与B的乘积，记作C=AB^^^^^^^^^4.A与A的乘积称为A的平方，记作A2^^^^5.一般来说，算符的乘法不服从交换律，即不是对任意的算符都有AB=BA.若AB=BA，就称算符A和B是对易的。经常用[A,B]表示AB-BA^^^^^^^^^^^^^^^^6.算符的乘法服从结合律，即A(BC)=(AB)C^^^^^^7.若A(u1+u2)=Au1+Au2,则称算符A为线性算符，如d/dx^^^^8.若算符A对于任意两个函数u和v有，则称算符A为Hermite算符。9.若A作用于函数u等于常数与u的乘积，即Au=u，则称为算符A的本征值，u称为算符A属于本征值的本征函数，或简称为A的本征函数。Au=u称为本征方程^^^^^^^Hermite算符有两个重要性质：1）Hermite算符的本征值是实数2）Hermite算符属于不同本征值的本征函数相互正交1）Hermite算符的本征值是实数证明：

根据定义，Hermite算符A对于任意两个函数u和v有，如u为算符A的属于本征值的本征函数则对于函数u必定有：2）Hermite算符属于不同本征值的本征函数相互正交证明：若um和un是算符A分别属于不同本征值m和n的本征函数，即Aum=mum，Aun=nun根据定义：若mn，有^^^

§

1.4

量子力学的基本假定（公设）经典力学是建立在牛顿三个定律的基础之上的，这些定律不能根据其它定理、定律经过逻辑推理和数学演绎的方法来得到，其正确性只能由实验来验证。热力学三个定律、库仑定律等也都具有这样的性质。与经典力学相似，量子力学是建立在一些称为基本假定的基础之上的，假定也可称为公设。3-4学时

公设1波函数和微观粒子的状态波函数的归一性：概率密度：电子的状态波函数：原子轨道，分子轨道波函数ψ可以是复数，当ψ是复数时，ψ

*是ψ的共轭复数，两者之间的关系为在虚部相差一个符号，如：ψ

=eix,则ψ*=e-ixψ称为归一化的波函数定态，定态波函数已知，Ψ1s和Ψp

都是归一化的，求归一化系数c。例：令：解：波函数的归一化

公设2力学量的描述与线形厄米算符

微观体系的每个可测物理量都对应着一个线性厄米算符可观测物理量:

如坐标、动量、能量等某些化学概念并不是可观测物理量，比如化学键的键级、原子的电负性等。

量子力学中每个可观测物理量对应的算符为线性厄米算符，从而保证了可观测的物理量为实数。力学量

算符位置

x

动量的X轴分量

px

角动量的Z轴分量

动能

势能

V

总能E=T+V

力学量算符的形式是量子力学的公设，不能从别的原理推导出来，只能通过实验检验。例如，动量算符可以通过如下类比得到，但正确性只能由实验验证。

公设3SchrÖdinger方程

这种类型的方程就是本征方程.最重要的一种本征方程是能量本征方程，即定态Schrödinger方程(能量算符是Hamilton算符):

Schrödinger方程是量子力学的最基本方程，是量子力学的基本假设,它的更基本形式是含时Schrödinger方程：

我们从什么地方得到的那个（Schrödinger）公式？没有什么地方。它不可能从你知道的任何公式推导出来。它是ErwinSchrödinger脑子里想出来的。

——理查德费曼Schrödinger方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。ErwinSchrödinger,1887-1961

奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一。同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。Schrödinger对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖。

公设4测量问题—本征值与本征态若状态函数ψ是力学量算符的本征函数公设5态叠加原理若1、

2、……

n都是微观体系的可能状态，则它们的线性组合也是该体系的可能状态.

=c11+c22+…+cn

n=cii

i量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符，每一个算符的本征函数均组成完备系。1.本征态的物理量的平均值=c11+c22+…+cn

n=cii设与1，

2、……

n对应的本征值分别为m1,m2,…,mn,当体系处于所描述的状态且已归一化，物理量M的平均值为：注意：1.归一化;2.1，

2、……

n为算符M的本征态。2.非本征态的物理量的平均值仍然用计算但不能用态迭加原理是微观世界的独特现象，与经典物理无法类比。它告诉我们体系的状态函数不是唯一的。一组原子轨道或分子轨道，经过态的迭加，可用另外一种形式来表示，例如求解类氢离子的方程可得复数形式的p轨道（它包含3个分量），要在实空间表示它们，需对它们进行迭加：

(以后会讲到)

微观体系的完全波函数在任意两粒子交换空间坐标,也交换自旋坐标时，对于玻色子体系是对称的，而对于费米子体系是反对称的.

公设6

Pauli原理在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。

微观粒子的自旋性质可以用自旋角动量量子数s表征:

s为半整数的粒子称为费米子(fermions),如电子、质子、中子等;

s为整数的粒子称为玻色子(bosons),如光子、α粒子、π介子等.

电子的自旋量子数s为1/2,相应的自旋磁量子数ms有正、负1/2两个值，常用上下两种箭头或α、β分别代表这两种自旋态(自旋没有经典类比.为方便起见,人们把它设想成粒子绕自身某种轴转动.但决不要把这当作真实情况!):

一维无限深势阱中粒子是指:一个质量为m的粒子被置于阱外势能无穷大、阱内势能为零（即无限深）的阱中，沿x方向运动.对于某些实际问题，例如金属内的自由电子或共轭分子的π电子，无限深势阱中的粒子模型可以作为一种近似模型.1.5

一维势箱（阱）中的粒子a0一维势阱

V＝00＜x＜a（Ⅱ区）

V＝∞x≤0，x≥a（Ⅰ、Ⅲ区，＝0）Schrödinger方程：ⅠⅡⅢV＝∞V＝0V＝∞0ax此方程为二阶常系数线性齐次方程，相当于：y〞＋qy＝0

设y＝ex，代入（1），得2ex+qex=0，ex≠0

则，2＋q＝0，1＝iq1/2，2＝－iq1/2，属一对共轭复根：1＝＋i，2＝－i，这里，＝0，＝q1/2

方程的通解为

y=Ay1+

By2其实函数通解为

y＝ex(Acosx+Bsinx)

（根据欧拉公式eix=cosx+isinx

）

∴方程（1）的实函数通解为

y＝Acosq1/2x+Bsinq1/2x

(1)y1＝ex(cosx+isinx)y2＝ex(cosx-isinx)实函数通解为：y＝ex(Acosx+Bsinx)附：根据欧拉公式eix=cosx+isinx两个新的特解对于一维势箱，q＝82mE/h2，

∴＝Acos[82mE/h2)1/2x+Bsin(82mE/h2)1/2x(2)

根据边界条件，x＝0时，＝0

即(0)＝Acos(0)+Bsin(0)=0，由此A=0x=a时，(a)＝Bsin(82mE/h2)1/2a=0，

B不能为0(否则波函数处处为0)

只能是(82mE/h2)1/2a=nn＝1,2,3,…（n≠0，否则波函数处处为0)∴E＝n2h2／8ma2n＝1,2,3,…

（能量量子化是求解过程中自然得到的）将A=0和E＝n2h2／8ma2代入（2），得(x)＝Bsin(nx/a)B可由归一化条件求出，因箱外＝0，所以E＝n2h2／8ma2

n＝1,2,3,…●结果讨论及与经典力学模型的对比

一维势箱中粒子的能级、波函数和几率密度E1=h2/8ma2,1=(2/a)1/2sin(x/a)E2=4h2/8ma2,2=(2/a)1/2sin(2x/a)E3=9h2/8ma2,3=(2/a)1/2sin(3x/a)……

按经典力学箱内粒子的能量是连续的，按量子力学能量是量子化的；按经典力学基态能量为零，按量子力学零点能为h2/8ma2>0；按经典力学粒子在箱内所有位置都一样，按量子力学箱内各处粒子的几率密度是不均匀的；★可正可负，=0称节点，节点数随量子数增加，经典力学难理解。0000n=3n=2n=1xa0000*E2E1E3n=3n=2n=1xa5-6学时★受一定势能场束缚的微观粒子的共同特征粒子可以存在多种运动状态，它们可由1，2，…，n等描述；能量量子化；存在零点能；没有经典运动轨道，只有几率分布；存在节点，节点越多，能量越高。量子效应：上述特征的统称。当En=n2h2/8ma2中m、a增大到宏观数量时，能级间隔变小，能量变为连续，量子效应消失。★只要知道了，体系中各力学量便可用各自的算符作用于而得到：（1）粒子在箱中的平均位置（2）粒子动量的x轴分量px（3）粒子的动量平方px2值一维势箱模型应用示例丁二烯的离域效应：E定=22h28ma2=4E1E离=2h2/8m(3a)2+222h2/8m(3a)2

=(10/9)E1势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。CCCCCCCCE14/9E11/9E1定域键离域键aaa3a只考虑电子，有两种情况：（a）4个电子形成2个定域键（b）4个电子形成离域键量子力学处理微观体系的一般步骤：①根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger方程；②解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及En，求得n③描绘n，n*n等图形，讨论其分布特点；④用力学量算符作用于n，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤联系实际问题，应用所得结果。Schrödinger方程：Hamilton算符：一维势箱模型推广到三维情况§1.6三维势箱中的粒子微分，再两边同时除以由于三个方向相互正交，为方便求解，可以假设：代入Schrödinger方程：得：上式成立的条件是：体系的状态由三个量子数决定，当三个数取值不完全相同时，能量有可能相等，这种一个体系中能量相等的不同状态也称为简并态，对应于同一能量值的状态数叫简并度；简并通常与对称性有关可得：若a=b=c，则立方势箱能级最低的前五个能级简并情况一维无限深势阱中的粒子未曾有过的新现象出现了：具有不同量子数的态尽管是互不相同的独立的波函数，却可能具有相同的能量：

量子力学的一些概念：1.全同粒子的不可区分性2.对称函数与反对称函数2(q1,q2)=2(q2,q1)

(q1,q2)=±(q2,q1)

，对取正号的函数称之为对称函数，取负号的函数为反对称函数。3.费米子与玻色子

s为半整数的粒子称为费米子(fermions),如电子、质子、中子等;

s为整数的粒子称为玻色子(bosons),如光子、α粒子、π介子等.全同粒子:静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子

一维无限深势阱中看不到的一种量子现象是隧道效应.当势垒为有限高度(V0)

和厚度时，入射到势垒上的粒子能量E即使小于V0，也仍有一定的概率穿透势垒，似乎是从隧道中钻出来的:4.隧道效应

这种奇妙的量子现象是经典物理无法解释的.量子力学隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极管、超导Josophson结、α衰变现象.某些质子转移反应也与隧道效应有关.对于化学来讲，意义最大的恐怕是基于隧道效应发明的扫描隧道显微镜（STM），放大倍数3千万倍，分辩率达0.01nm，它使人类第一次真实地“看见”了单个原子！这是20世纪80年代世界重大科技成就之一.答案：(1)二维势箱(a=2b)的能级表达式为

nx

ny

E(以h2/(32mb2)为单位)电子排布

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