第3章 谐振荷载反应课件

第三章高等结构动力学谐振荷载反应§3.1

无阻尼体系§3.2粘滞阻尼体系§3.3共振反应§3.4加速度计与位移计§3.5隔振§3.6粘滞阻尼比的计算§3.7单自由度体系总结第三章谐振荷载反应无阻尼体系在谐振荷载下的运动方程(3-2)通解为(3-8)荷载频率与自由振动频率比初始条件得(3-10)§3.1无阻尼体系§3.1无阻尼体系反应比：动力的与静止的荷载作用反应比值图3-1从静止初始条件开始正弦波激励所引起的反应比（a）稳态；（b）瞬态；（c）总反应R(t)§3.1无阻尼体系(3-13)阻尼体系运动方程(3-19)§3.2粘滞阻尼体系§3.2有阻尼体系稳态谐振反应——通常所关心的是式（3-19）第二项给出的稳态谐振反应(3-20)这个稳态位移反应的特性，可容易地用图3-2所示复平面中所绘出的两个相应旋转矢量来解释，它们在实轴上的分量之和，即为式（3-20）等号右端的两项。合成矢量的实部给出了如下形式的稳态反应§3.2粘滞阻尼体系(3-21)图3-2稳态位移反应§3.2粘滞阻尼体系稳态反应振幅(3-22)反应滞后于荷载的相位角θ为(3-23)§3.2粘滞阻尼体系动力放大系数D：合成反应位移与所引起的静位移比值(3-24)图3-4相位角随阻尼和频率的变化图3-3动力放大系数随阻尼和频率的变化§3.2粘滞阻尼体系再一次使用解的指数形式对求解稳态谐振反应是有意义的。考虑用指数形式描述谐振荷载的一般情况为

这里，φ是谐振荷载函数中的一个任意相位角。在涉及一般的谐振荷载时，尤其是可利用一系列谐振分量表示的周期荷载，对每一个谐振项必须说明其相位角。因此，采用复§3.2粘滞阻尼体系(3-25)数比用幅值和相位角要方便。本章所研究的只有一个谐振项，因此相位角可以任意取，为了简单可取为零。这样，在荷载表达式中就不需要包含此项。方程（3-25）的特解及它对时间的一阶、二阶导数为

§3.2粘滞阻尼体系(3-26)式中G是一个复常数。为了求G，将式（3-26）带入方程（3-25），消去各项中的,并用代替m，用代替，则可解出G为将其带入式（3-26）的第一式，并在复平面中绘出表示结果的两个向量，如图3-5所示。§3.2粘滞阻尼体系(3-27)注意，与图3-2中相应的量相比，这两个向量的合成结果及相位角θ除了逆时针旋转了90度外是相同的。图中的这一差别符合谐振荷载和在图3-2和图3-5产生的结果之间的相位差。注意，是的实部。在上述稳态谐振振动条件下，如图3-5所示的总反应为(3-28)§3.2粘滞阻尼体系力的平衡要求惯性力、阻尼力、弹簧力之和等于说作用的荷载§3.2粘滞阻尼体系利用式（3-28），这些力为(3-29)(3-30)§3.2粘滞阻尼体系一个例题§3.2粘滞阻尼体系§3.2粘滞阻尼体系共振：作用荷载的频率等于固有振动频率。共振时β＝1(3-34)此时方程为(3-35)方程变为正弦项对反应振幅影响很小(3-36)§3.3共振反应§3.3共振反应反应比为(3-37)(3-38)§3.3共振反应图3-7静止初始条件下共振荷载（β＝1）反应§3.3共振反应当有地面加速度(3-39)图中ξ=0.7，0≤β

≤0.6时，D为常数§3.4加速度计与位移计§3.4加速度计与位移计加速度计有地面位移条件有效荷载(3-40)§3.4加速度计与位移计位移计图3-9典型地震仪的示意图图3-10*动力放大系数随阻尼和频率的变化§3.4加速度计与位移计图中ξ=0.5,β≥1时，β2D为常数图3-11对于谐振基底位移地震仪的反应§3.4加速度计与位移计总结：1、一个相对柔软的体系可以用作位移计，通过降低刚度或增加质量的办法可以扩大其使用范围；2、一个相对刚硬的体系可以用作加速度计，通过增加刚度或降低质量的办法可以扩大其使用范围。§3.4加速度计与位移计有隔振必要的情况

（1）运转的装置能产生振动力，而这些力可能在支承结构中产生有害的振动;

（2）安置在明显振动结构上的精密仪器。§3.5隔振§3.5隔振情形1竖直方向的振荡力作用在基础的振荡力图3-11单自由度隔振体系（作用荷载）§3.5隔振位移反应弹簧传给基底的力作用在基底上的阻尼力阻尼力的相位角超前弹簧里90度，作用于基底的力幅值f为传导比（TR）(3-41)(3-42)(3-43)(3-44)§3.5隔振情形2支座的扰动基础的运动稳态相对位移图3-12单自由度隔振体系（支座扰动）§3.5隔振(3-44)总的稳态反应传导比(3-46)(3-47)§3.5隔振两种情形具有相同形式的传导比（TR）图3-13振动传导比（作用荷载或支座扰动）§3.5隔振§3.5隔振给出了传导比与频率比的关系曲线1）不同阻尼比的全部曲线均经过频率比为的相同点；2）当时，增加阻尼使体系的隔振效率提高；3）当时，增加阻尼将使体系的隔振效率降低；4）传导率在时比时低许多，因此使设备在高频段运行是有利的。隔振效率IEIE=1-TRβ→∞，IE=1，振动完全隔离；

，IE=0，不起隔振作用；是隔振系统的临界阻尼比。

§3.5隔振隔振才有意义在小阻尼下，有：已知干扰频率，要求的隔振效率，可由下图得到应有的静位移。§3.5隔振隔振计算图图3-14隔振设计计算图§3.5隔振小例题P40图E3-1在不平的桥面上行驶的车辆示意图§3.5隔振小例题P46两种计算方法：运算与图解§3.5隔振自由振动衰减法共振放大法半功率（带宽）法每周的能量损失（共振试验）滞变阻尼法§3.6粘滞阻尼比的计算§3.6粘滞阻尼比的计算物理量的确定方法量测的量量测的设备需要确定量的计算方法§3.6粘滞阻尼比的计算自由振动衰减法——测量相隔m周的位移幅值之比(3-53)§3.6粘滞阻尼比的计算是振幅相关的,随着振幅的减消,阻尼比也小。共振放大法基于相对位移反应的稳态振幅测量。激振频率为包括体系固有频率而跨越较宽范围的离散值，从而获得对应激振的振幅，做出典型频率----反应振幅曲线。§3.6粘滞阻尼比的计算图3-15中等阻尼体系的频率反应曲线阻尼比计算时用(4-43*)(3-54)§3.6粘滞阻尼比的计算半功率（带宽）法

半功率频率的值可用下法求得：令方程（3-22）的反应幅值为方程（3-54）求出的共振振幅的，即：在这种方法中，阻尼比由反应减小到时的频率来确定，在此频率下输入功率为共振功率的一半。§3.6粘滞阻尼比的计算解此方程得出频率比为：将方程两边平方，则得：§3.6粘滞阻尼比的计算由此（忽略在根号内的）可得两个半功率频率：因此，阻尼比等于这两个半功率频率差值的一半，即：一个小例题P49这个阻尼比的方法也可用图3-15的典型频率反应曲线来说明。在共振反应幅值的处作一条切割曲线的水平线，此时与曲线相交的两频率之间的差值，即为阻尼比的两倍。（3-58）§3.6粘滞阻尼比的计算每周共振能量损失法如果仪器可以用来测量输入力和所引起的位移之间的相位关系，则只需在共振时进行试验就可以求出阻尼，则不需要做频率反应曲线。根据这种方法可以画出阻尼力-位移图，如图3-16所示。如果结构具有线性粘滞阻尼，则曲线为一椭圆，如图3-16中虚线所示。阻尼系数可直接由最大阻尼力与最大速度的比来确定：图3-16每周实际的和等效的阻尼能§3.6粘滞阻尼比的计算（4-45*）如果阻尼不是线性粘滞阻尼，则力-位移图的形状就不是椭圆，例如可以获得如图3-16中实线所示的曲线。等效作用力幅值可以由下式给出：式中为实际力-位移图的面积，也即每周的能量损失。§3.6粘滞阻尼比的计算把上式代入方程（4-45*）既可得到一个每周能量损失表示的等效粘滞阻尼系数的表达式：（4-46*）在大多数的情况下，用临界阻尼比来表示阻尼要比阻尼系数更要方便：（4-47*）图3-17弹性刚度与应变能§3.6粘滞阻尼比的计算如果结构是线性弹性的，则用这种方法所获得的静力-位移图如图3-17所示，而刚度即等于直线的斜率。另一方面，刚度也可以用力-位移图的面积表达如下：于是应用方程（4-46*）至方程（4-48*）可得到阻尼比：（4-48*）（4-49*）下式粘滞阻尼系数将与频率成反比，表明了粘滞阻尼特性对频率的依赖：（4-50*）§3.6粘滞阻尼比的计算滞变阻尼法大部分试验结果表明，阻尼力和试验频率几乎是无关的。滞变阻尼概念提供了一种数学模型，这个模型具有与频率无关的特性。这种阻尼可以定义为一种与速度同相而与位移成比例的阻尼力：（4-51*）是滞变阻尼系数，它是阻尼力与弹性力大小的比值。每周滞变能量损失:（4-52*）（4-53*）滞变阻尼系数与进行试验的频率无关：§3.6粘滞阻尼比的计算单自由度体系总结

第一篇单自由度体系总结一、结构动力学研究的对象和目的承受动载的结构体系反应，二、基本原理和基本概念１．概念：

数定①荷载非数定

②体系:质量、弹簧、阻尼器系统单自由度体系总结数定荷载的类型简谐荷载周期冲击一般单自由度体系总结③特点:Ａ.时变的；B.惯性力④反应类型:Ａ.强迫振动；B.自由振动数学上①齐次自由振动②非齐次强迫振动⑥体系:有限自由度/离散体系单/多自由度无限自由度/连续体系数学上

常微分方程

偏微分方程

单自由度体系总结⑦简化方法:Ａ.集中质量法Ｂ.广义位移法Ｃ.有限元法（过硬系统）⑧运动方程：力学上：平衡方程数学上：常微分方程偏微分方程获得方程方法：1.直接平衡法2.虚功原理

3.Lagrange方程4.Hamilton原理体系自身动力特性:强迫反应初始干扰:干扰力:单自由度体系总结单自由度体系的振动二、强迫振动：一、自由振动荷载C=0，无阻尼体系C≠0，有阻尼体系简谐荷载冲击荷载0~t1一般荷载P(t)0~t1

强迫振动t1~∞自由振