高等数学学习方法指导(研究函数与极限的基本方法)

第二讲研究函数与极限

的基本方法1函数研究的对象极限研究的工具连续研究的桥梁微积分学的基础参考:第一章(第一节,第二节)(英1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)21-1函数和连续的概念、性质和应用一.方法指导1.对函数的理解和讨论(1)定义定义域对应规律值域基本要素定义域使表达式及实际问题有意义的自变量取值集合.对应规律表示方式:图象法;表格法.解析法;值域3(2)基本特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.(3)基本结构基本初等函数复合运算反演运算初等函数非初等函数分段函数级数表示的函数…………四则运算有限次运算且用一个式子表示4(4)常用的等式与不等式52.函数的连续与间断(1)连续性的等价形式在连续当时6(2)闭区间上连续函数的性质(P4,5)有界定理;最值定理;介值定理;零点定理(3)函数的间断点第一类间断点可去间断点:跳跃间断点:第二类间断点无穷间断点振荡间断点二.实例分析7例1.

设其中求解:

令则代入原方程得即①再令则代入上式得即②将①,②两式与原方程联立,解得8例2.

设其中满足判断的奇偶性.解:令则故为奇函数.又令y=0,得故而故为奇函数.因此为偶函数.9例3.求常数k及函数g(x),使函数为连续的奇函数。解:连续的奇函数有f(0)=0,即而所以10例4.设求解:当时;当时,11例5.

设证明但证:

在(0,1)中取点列在(0,1]上无界,则有显然,在(0,1]上无界.但,若取点列则而故(P8.例4)12的间断点,并

x=–1为第一类可去间断点

x=1为第二类无穷间断点

x=0为第一类跳跃间断点例6.求函数判别间断点的类型.解:所以f(x)有间断点13例7.设函数

(2008考研)解:只有两个间断点则有（）；1个可去间断点，1个跳跃间断点；1个可去间断点，1个无穷间断点；2个跳跃间断点；2个无穷间断点。为可去间断点；

为跳跃间断点。14例8.

讨论下述函数的连续与间断问题(P8.例5(1))解:显然,在区域上连续.因故x=1为第二类无穷间断点.151-2求极限的方法

(P13第二节)一.方法指导1.求极限的基本方法(P16-P19)(1)已知极限值利用极限定义验证(用“-N

”或“-”语言)(2)未知极限值先判别极限存在后再求极限根据法则演算,判定与计算同时进行.16求极限的基本方法

1）用验证极限的定义。8)用极限运算法则与函数的连续性求极限。2）用消去不定型法求极限。3）用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小的结论求极限。5）用等价无穷小的替代定理求极限。6）用变量代换求极限。4）用两个重要极限公式求极限。7）用左、右极限存在且相等的方法求极限。9）用函数极限和数列极限的关系求极限。10）利用极限存在准则求极限。1712）用导数的定义或定积分定义求极限。13）利用微分中值定理求极限。14）利用泰勒公式求极限。16）用无穷级数的有关知识求极限。11）用洛必达法则求极限。15）用积分中值定理求极限。17）其他。182.求未定式的极限的方法通分转化取倒数转化取对数转化3.求极限的基本技巧(1)定式部分应尽早求出;各种方法注意综合使用.(2)注意利用已知极限的结果.例如,当时时速度一个比一个快.19(3)善于利用等价无穷小替换利用麦克劳林公式找等价无穷小当时替换定理（整个分子、整个分母或分子分母乘积的因子）20～～～～～～～当x→0时,有下列常用等价无穷小:(P16)一般形式，如：～～21设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),例如,证明练习、求

22例如,(2)和差代替规则:23(3)因式代替规则:界,则例如,例4.求解:原式24如,利用导数定义,微分中值定理,泰勒公式等求极限.3.判断极限不存在的主要方法(P22,6)(1)对分段函数,在界点处讨论左右极限;(2)利用数列极限与函数极限的关系;(3)利用反证法,设极限存在推出矛盾.(4)注意用求极限的特殊方法25例1.求解:原式二.实例分析26例2.求型解:令有例3.求型解:不能直接用洛必达法则!令则原式说明:有许多极限问题可通过变量代换使其简化.再如,P27例727例4.求（洛必达法则或泰勒公式）2008考研28例5.设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故29例6.求解:原式=1.30例7.求函数解:当时的等价无穷小.时与小，求C.

解

是等价无穷则例831练习已知，(1)求的值，(2)当时，是求常数解由题意(1)；的同阶无穷小,的值。2012考研32(2)因为，则可知当时，因此与x是同阶无穷小，33例9.求型证:原式对指数用洛必达法则34例10、求解令则35例11求极限2010考研36解2011考研37当2011考研设时，同样可得时，当原式383、所以因为2012考研39解:例121、求一般，若则402、计算2012考研41例13.求(P43题21(3))解:原式=利用～～～42例14.

解:

因为当或所以43例15.设在x=0的某邻域内二阶可导,且求及的值.解:代入,得44例16.求型直接用洛必达法则繁!解决办法巧用泰勒公式解:见P70见P70∴原式45说明利用泰勒公式求极限(P31例12)利用导数定义求极限(P29例9(1);P30例10)利用微分中值定理求极限(P31例11)求极限的特殊方法:利用定积分定义求极限(P29例9(2))46例1747例18.解:原式48例19.

解法1:

原式故于是而试确定常数a,b使(P34例14)49例19.

解法2:

因试确定常数a,b使(P34例14)利用时得50例20.解:设由夹逼准则得求51例21.设证明:严格单调增加，且有界，则证明存在。时，有连续存在，严格单调增加，且有界，所以存在，则存在。或者存在。52例22设数列满足（1）证明存在，并求之，（2）计算解（1）因为则当时，单调减少。又有下界，根据准则，存在，（2）递推公式两边取极限得2009考研53例23.设证明:设得则单调减少，且有下界，存在。即54例24分解55例2556例2657例27求的间断点，所以是第一类间断点，时，使所以为第一类间断点，且可去间断点。并说明其类型.解可能的间断点：分段点当58不存在，为第二类间断点，为第二类间断点，时，无定义，不存在，为第二类间断点.当当例27求的间断点，并说明其类型.59例28.小球