高等数学9-2第二类曲线积分

期中考试时间:5月5日上午10：00-12：00

一代、二换、三定限代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：换弧微元定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数三、对弧长曲线积分的计算计算公式(重点）•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧首页×例5.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得例6.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求解:分段积分例7.计算其中为球面解:化为参数方程则习1解由对称性,知四、几何与物理意义例1.椭圆柱面被平面所截，求截得部分的侧面积.解所求椭圆柱面的准线是xoy面上的半个椭圆对L作分割，取微元则相应小柱面的侧面积近似等于,因此侧面积积分曲线L的参数方程为于是例2.L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为例3.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:建立坐标系如图,则例4.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用思考题?对弧长的曲线积分与重积分进行比较：这里，相同点：1。物理意义都是表示质量（当被积函数是密度函数）2。化成定积分后的积分下限都小于积分上限不同点：重积分：不能代入，如曲线积分：可以代入，如一.

引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线C移动到点B,求移“分割”“近似求和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束&2、第二型曲线积分(对坐标曲线积分）分割：求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.

定积分是第二类曲线积分（对坐标）的特例,但不是第一类曲线积分（对弧长）的特例.对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.三、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形例3.计算其中C为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例4.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例5解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.其中（可以推广到空间曲线上）四、两类曲线积分之间的联系可用向量表示有向曲线元；二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧第二型曲线积分必须注意积分曲线弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束曲线积分对弧长的曲线积分