数列极限的概念

第二章数列极限§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3数列极限存在的条件1a§2.1数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法2a一、概念的引入引例

1如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1

A2

A3

A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,

,

.

显然n越大,An越接近于S.

因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.3a2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭〞4a二、数列的定义例如5a注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数6a数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念

例1战国时代哲学家庄周所著的?庄子.天下篇?引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。〞也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如下图,三、数列的极限7a〔c11(k)〕其长度组成的数列为,024681000.20.40.60.81随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。

8a例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,那么常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义9a三、数列的极限10a三、数列的极限11a三、数列的极限12a三、数列的极限13a三、数列的极限14a三、数列的极限15a三、数列的极限16a三、数列的极限17a三、数列的极限18a三、数列的极限19a三、数列的极限20a三、数列的极限21a三、数列的极限22a问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近〞意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:23a24a当n无限增大时,

xn无限接近于a

.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.

当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,那么当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,那么数列{xn}收敛a.下页25a数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式|xna|<e总成立那么称常数a是数列{xn}的极限或者称数列{xn}收敛于a记为如果不存在这样的常数a就说数列{xn}没有极限

0,NN当nN时有|xna|.极限定义的简记形式26a如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：27a几何解释:其中28a注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小〞的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式|xn－a|＜ε〔n＞N〕②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性表达了xn逼近a时要经历一个无限的过程〔这个无限过程通过ε的任意性来实现〕，但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的〔这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现〕。29a③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，符合定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如以下图所示|xn－a|＜εn＞N30a④定义中的不等式|xn－a|＜ε〔n＞N〕是指下面一串不等式都成立，而对那么不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项31a都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就说明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也说明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛〞。32aOK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示33aN数列极限的演示e越来越小，N越来越大！34a数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：35a分析:

例1

证明

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0,NN当nN时有|xna|.36a利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。假设能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原那么：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明证明37a那么当n＞N时，有38a例3.证明分析，要使〔为简化，限定n只要证.当n>N时有由定义适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。39a.例4.证明〔K为正实数〕证：由于所以对任意ε＞0，取N=,当n＞N时,便有40a例5证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.41a例6证42a例7证43a

由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：2适当放大

，通常放大成

的形式，求出需要的

1

化简

3解

总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。44a四收敛的否认:＞数列发散

＞＞＞45a五数列极限的记註:1满足条件“〞的数列:。2改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.

重排不改变数列敛散性:46a3数列极限的等价定义:

对

对任正整数47a六无穷小数列:

定义极限为0的数列称为无穷小量〔无穷小量是指一