辽宁省沈阳市第一百七十五中学2022年度高一数学理模拟试题含解析

辽宁省沈阳市第一百七十五中学2022年度高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设（

）A、3

B、1

C.

0

D.-1参考答案：A2.设数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列{an}为“T数列”（

）A.若{an}是等差数列，且首项，则数列{an}是“T数列”B.若{an}是等差数列，且公差，则数列{an}是“T数列”C.若{an}是等比数列，也是“T数列”，则数列{an}的公比q满足D.若{an}是等比数列，且公比q满足，则数列{an}是“T数列”参考答案：D【分析】求出等差数列的前项和公式，取即可判断错误；举例首项不为0判断错误；举例说明错误；求出等比数列的前项和，由绝对值不等式证明正确.【详解】对于，若是等差数列，且首项，当时，，当时，，则不是“数列”，故错误；对于，若是等差数列，且公差，，当时，当时，，则不是“数列”，故错误；对于，若是等比数列，且是“数列”，则的公比或，故错误;对于，若是等比数列，且公比，，则是“数列”，故正确；故选：．【点睛】本题是新定义题，考查了等差数列和等比数列的应用，对题意的理解是解答此题的关键，属中档题.3.在公比为2的等比数列{an}中，，则等于（

）A.4 B.8 C.12 D.24参考答案：D【分析】由等比数列的性质可得，可求出，则答案可求解.【详解】等比数列的公比为2，由，即，所以舍所以故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式的应用，属于基础题.4.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用A．一次函数

B．二次函数

C．指数型函数

D．对数型函数参考答案：D5.设则A. B. C. D.参考答案：C试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b＜1，又c=tan55°＞tn45°=1，∴c＞b＞a．故选：C．6.已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，，且，，构成等比数列，则（）A.15 B.-15 C.30 D.25参考答案：D【分析】设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前项和公式求解．【详解】解：设等差数列的公差为，由题意，，解得．∴．故选：D．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，是基础题．7.设-是等差数列的前项和，,则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.下列各组向量中，可以作为基底的是A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于(

)A.－

B.－

C.

D.±参考答案：A【分析】利用诱导公式化简条件与结论，即可得到结果.【详解】由cos(2π－α)＝，可得cos，又sin－

故选：A【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，考查恒等变形的能力，属于基础题.10.下列说法中，正确的是

（

）A.任何一个集合必有两个子集B.若则中至少有一个为C.任何集合必有一个真子集

D.若为全集，且则参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，，则最短边长等于

▲

．

参考答案：12.设当时,函数取得最大值,则______.参考答案：

略13.方程x3﹣3x+1=0的一个根在区间（k，k+1）（k∈N）内，则k=

．参考答案：1【考点】二分法的定义．【分析】令f（x）=x3﹣3x+1，判断函数的零点的方法是若f（a）?f（b）＜0，则零点在（a，b），可知f（1）＜0，f（2）＞0进而推断出函数的零点存在的区间．【解答】解：令f（x）=x3﹣3x+1，∴f（2）=8﹣6+1＞0，f（1）=1﹣3+1＜0，∴f（1）?f（2）＜0，∴零点在（1，2）内，∵方程x3﹣3x+1=0的一个根在区间（k，k+1）（k∈N）内，故f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有唯一零点．∴k=1，故答案为：1．14.给出下列命题：①函数y＝sin(－2x)是偶函数；②函数y＝sin(x＋)在闭区间[－，]上是增函数；③直线x＝是函数y＝sin(2x＋)图像的一条对称轴；④将函数y＝cos(2x－)的图像向左平移个单位，得到函数y＝cos2x的图像.其中正确的命题的序号是________.参考答案：①③15.已知x+y=3﹣cos4θ，x﹣y=4sin2θ，则+=

．参考答案：2【考点】HW：三角函数的最值．【分析】根据题意解方程组得x、y的值，再根据三角函数的恒等变换化简求值即可．【解答】解：x+y=3﹣cos4θ，x﹣y=4sin2θ，∴x===sin22θ+2sin2θ+1=（1+sin2θ）2；y==sin22θ﹣2sin2θ+1=（1﹣sin2θ）2；∴+=|1+sin2θ|+|1﹣sin2θ|=（1+sin2θ）+（1﹣sin2θ）=2．故答案为：2．16.函数的单增区间为．参考答案：（3，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出原函数的定义域，然后求出内函数的增区间得答案．【解答】解：由x2﹣4x+3＞0，得x＜1或x＞3．当x∈（3，+∞）时，内函数t=x2﹣4x+3为增函数，而外函数y=lgt为增函数，∴函数的单增区间为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．17.已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=

．参考答案：4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（x）=x﹣2，f（）==4，故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（本小题16分）（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(4分)（2）指出的周期、振幅、初相、对称轴；（4分）（3）求此函数的最大值、最小值及相对应自变量x的集合；（4分）（4）说明此函数图象可由的图象经怎样的变换得到。（4分）参考答案：（1）略(2)的周期、振幅、初相、对称轴分别为：；3；；(3)（4）先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来2倍，再将横坐标不变，纵坐标扩大为原来3倍，最后将图像向上整体平移3个单位就得到。19.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设c=（0，1），若+=c，求α，β的值．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量的平方即为模的平方，化简整理，结合向量垂直的条件，即可得证；（2）先求出+的坐标，根据条件即可得到，两边分别平方并相加便可得到sinβ=，进而得到sinα=，根据条件0＜β＜α＜π即可得出α，β．【解答】解：（1）证明：由|﹣|=，即（﹣）2=2﹣2?+2=2，又因为2=2=||2=||2=1．所以2﹣2?=2，即?=0，故⊥；（2）因为+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），所以，即，两边分别平方再相加得1=2﹣2sinβ，∴sinβ=，sinα=，又∵0＜β＜α＜π，∴α=，β=．20.设f（x）=loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．参考答案：解：（1）∵f（1）=2，∴loga（1+1）+loga（3﹣1）=loga4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），由，得x∈（﹣1，3）．∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2（1+x）（3﹣x）=∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；当x∈[1，]时，f（x）是减函数．所以函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2考点：函数的定义域及其求法；复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=2即可求出a值，令可求出f（x）的定义域；（2）研究f（x）在区间[0，]上的单调性，由单调性可求出其最大值．解答：解：（1）∵f（1）=2，∴loga（1+1）+loga（3﹣1）=loga4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），由，得x∈（﹣1，3）．∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2（1+x）（3﹣x）=∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；当x∈[1，]时，f（x）是减函数．所以函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2．点评：对于函数定义域的求解及复合函数单调性的判定问题属基础题目，熟练掌握有关的基本方法是解决该类题目的基础21.已知数列{an}满足，设．（1）证明数列{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：（1）证明见详解；（2）.【分析】(1)由(为非零常数)且可证得为等比数列.(2)可得，则可由错位相减法求和.【详解】(1)证明：由可得.而，所以.又，所以数列为等比数列.(2)由(1)得为首项是2，公比是2的等比数列，所以.由可得.所以，则.以上两式相减得，所以.【点睛】本题考查等比数列的证明和错位相减法求和.若数列满足，其中