2022-2023学年广东省东莞市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年广东省东莞市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.设y=2-cosx，则y'=

A.1-sinxB.1+sinxC.-sinxD.sinx

3.

4.函数y=ex+e-x的单调增加区间是

A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.(-1,1)D.[0,+∞)

5.辊轴支座(又称滚动支座)属于()。

A.柔索约束B.光滑面约束C.光滑圆柱铰链约束D.连杆约束

6.

7.设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是()．A.A.f(x)在点x0必定可导B.f(x)在点x0必定不可导C.必定存在D.可能不存在

8.A.e2

B.e-2

C.1D.0

9.

A.仅有水平渐近线

B.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

C.仅有铅直渐近线

D.既无水平渐近线，又无铅直渐近线

10.设函数y=ex-2,则dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

11.设f(x)=sin2x，则f(0)=()

A.-2B.-1C.0D.2

12.

13.

A.3(x+y)

B.3(x+y)2

C.6(x+y)

D.6(x+y)2

14.

15.

16.

A.

B.

C.

D.

17.函数在（-3，3）内展开成x的幂级数是（）。

A.

B.

C.

D.

18.A.A.π/4

B.π/2

C.π

D.2π

19.若x0为f(x)的极值点，则()．A.A.f'(x0)必定存在，且f'(x0)=0

B.f'(x0)必定存在，但f'(x0)不一定等于零

C.f'(x0)不存在或f'(x0)=0

D.f'(x0)必定不存在

20.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

二、填空题(20题)21.

22.设区域D：x2+y2≤a2，x≥0，则

23.

24.设区域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，则x2dxdy化为极坐标系下的二重积分的表达式为________。25.设区域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，则化为极坐标系下的表达式为______．26.27.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．28.

29.

30.

31.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。

32.

33.

34.35.设y=e3x知，则y'_______。36.37.设y=，则y=________。

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程的通解．42.求曲线在点(1，3)处的切线方程．43.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．45.

46.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

47.

48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

49.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．50.证明：51.

52.

53.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

54.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．55.56.

57.

58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

60.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)61.

62.

63.设函数y=xsinx，求y'．

64.确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.某厂每天生产某产品q个单位时，总成本C(q)=0．5q2+36q+9800(元)，问每天生产多少时，平均成本最低?

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D解析：

2.D解析：y=2-cosx，则y'=2'-(cosx)'=sinx。因此选D。

3.D

4.D考查了函数的单调区间的知识点.

y=ex+e-x,则y'=ex-e-x,当x＞0时,y'＞0,所以y在区间[0,+∞)上单调递增。

5.C

6.C解析：

7.C本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．

函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0必连续．

函数f(x)在点x0连续，则必定存在．

函数f(x)在点x0连续，f(x)在点x0不一定可导．

函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在点x0必定不可导．

这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C．

8.A

9.A

10.B

11.D由f(c)=sin2x可得f"(x)=cos2x(2x)"=2cos2x，f"(0)=2cos0=2，故选D。

12.A

13.C

因此选C．

14.B

15.D解析：

16.D

故选D．

17.B

18.B

19.C本题考查的知识点为函数极值点的性质．

若x0为函数y=f(x)的极值点，则可能出现两种情形：

(1)f(x)在点x0处不可导，如y=|x|，在点x0=0处f(x)不可导，但是点x0=0为f(a)=|x|的极值点．

(2)f(x)在点x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有f'(x0)=0．

从题目的选项可知应选C．

本题常见的错误是选A．其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在点x0可导，且x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0”认为是极值的充分必要条件．

20.B

21.1

22.

解析：本题考查的知识点为二重积分的性质．

23.24.因为D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤0≤π，则=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。

25.

；本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题．

由于x2+y2≤a2，y＞0可以表示为

0≤θ≤π，0≤r≤a，

因此

26.27.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．28.本题考查的知识点为重要极限公式。

29.

解析：

30.

31.

32.

33.

34.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

35.3e3x

36.

37.

38.

解析：

39.

40.

41.42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

43.

44.

45.由一阶线性微分方程通解公式有

46.

47.

48.

49.由二重积分物理意义知

50.

51.

则

52.

53.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％54.函数的定义域为

注意

55.

56.

57.

58.

列表：

说明

59.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

60.由等价无穷小量的定义可知

61.

62.

63.由于y=xsinx可得y'=x'sinx+x·(sinx)'=sinx+xcosx．由于y=xsinx，可得y'=x'sinx+x·(sinx)'=sinx+xco