机械制图 点线面

第3章点、直线和平面的投影1整理ppt⑵点的投影与点的直角坐标的关系点的投影⑴点的三面投影及投影关系，已知两投影求第三投影⑶

两点的相对位置（看图的基础）直线的投影⑴直线对投影面的相对位置（三类七种）⑵直线上的点（从属关系）⑶两直线的相对位置（平行、相交、交叉、垂直）平面的投影⑴平面的表示法及形式转换⑵平面相对于投影面的位置（三类七种）⑶平面内的点和直线2整理ppt1.点在三投影面体系中的投影一.点的投影●投影面：V、H、W（互相垂直）投影轴：OX、OY、OZ（指示长、宽、高方向）●由空间点A分别向V、H、W面进行投影得正面投影a’、水平投影a、侧面投影a”●将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图。3整理ppt⒉点的投影与点的直角坐标⒊点的投影规律（投影关系）点A→W面＝X坐标＝a’→OZ＝a→OY点A→V面＝Y坐标＝a→OX＝a’’→OZ点A→H面＝Z坐标＝a’→OX＝a”→OYXZyyyyxxxzzzxxzyzYyA(x,y,z)a(x,y,o)a’(x,o,z)a”(o,y,z)a’a

OX（长对正）a’a”

OZ（高平齐）

a→OX＝a”→OZ（宽相等）

两投影连线垂直于投影轴45°4整理pptVHW例：画出点A(15,5,10)的投影及空间位置oXZYYa'aa"aa'a"A45°aAxzyoY5整理ppt[例]作点A(30,50,50)、B(70,20,0)的三面投影，及其空间位置。45°6整理pptXZYHYW例：根据点的两面投影求第三投影a"b'bb"45°g'g"cc'c"a'ag3.特殊位置的点（重点讨论位于投影面上的点）7整理pptXOZYa

a

ab

b

bBAXZYYOaa

ab

bb

正面投影看高低水平投影看前后侧面投影看前后B点在A点的左后下方AB指向左后下方4两点的相对位置及重影点8整理pptd'dd"b'bb"a'aa"c'cc"OXZYY(b)(d')重影点点A在B的正上方，它们的水平投影重影，被挡者括住表示。点C在D的正前方，它们的正面投影重影。当两点的某投影重影时，可从另外的两面投影上看出其先后位置。9整理ppt例:已知点A在点B之前5，之上9，之右8，求点A的投影。a

a

a98510整理ppt

二

直线的投影

直线对投影面的相对位置

直线上的点

两直线的相对位置

立体上直线的分析ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHW11整理ppt1.直线对一个投影面的投影特性平行垂直倾斜ABABABabababPP—投影小于实长

ab=AB

CosAB∥P—投影反映实长

ab=ABABP—投影有积聚性

abAB据此，将分别研究直线对三个投影面的投影特性。12整理ppt●直线的投影由两端点同名投影的连线确定a'abb'a"b"根据直线两端点的相对位置判别AB的指向(方向)正面投影看高低水平投影看前后侧面投影看前后13整理pptVWH(1)一般位置直线

ZXaaaOYYbbb投影特性：三个投影均倾斜于投影轴，均不反映实长、倾角.ZYXABaba″b″a′b′2.直线相对投影面的位置

14整理ppt投影轴的距离，显示与相邻投影面的距离。余类推表明直线倾斜于H面；正面投影倾斜于Z轴，表明直线倾斜于W面。例如看正面投影时，若正面投影倾斜于X轴（两端点高度不同），②把投影轴看成是相邻的投影面（积聚投影）；该面投影两端点与①首先明确你的看图方位；★怎样看直线的投影图？HH15整理ppt水平线直线平行于H面，倾斜于V、W面。正平线直线平行于V面，倾斜于H、W面。侧平线直线平行于W面，倾斜于H、V面。baabbabaaabbbaabab(2)投影面平行线

16整理pptXZYOabab

Xa

b

ab

OzYYabAB水平线baα=AB∠Hβ=AB∠Vγ=AB∠W投影特性1.在所平行的投影面上,反映实长,并反映与相邻投影面的倾角；2.另二投影平行于相应的投影轴。17整理pptXabbaOZYYab

XZYOABaababb正平线18整理pptXZOYYa

b

babaXZYOABaa

b

a

bb侧平线19整理ppt名称立体图投影图投影特性水平线（∥H）正平线（∥V）侧平线（∥W）(1)ab∥OX,

ab∥OYW；

(2)ab=AB；

(3)反映夹角、大小(1)ab∥OX,

ab∥OZ；

(2)ab=AB；

(3)反映夹角、大小(1)ab∥OYH,

ab∥OZ；

(2)ab=AB；

(3)反映夹角、大小投影面平行线20整理ppt铅垂线直线垂直于H面，平行于V、W面。正垂线直线垂直于V面，平行于H、W面。侧垂线直线垂直于W面，平行于H、V面。●a(b)abba●cdc(d)cd●efefe(f)(3)投影面垂直线

21整理pptZb

Xa

ba(b)OYYaOXZYABb

a(b)a

ab投影特性在所垂直的投影面上，投影积聚成一点；另二投影垂直于相应投影轴，且反映实长。铅垂线22整理pptbYzXab

aOYabOXZYABbababa正垂线23整理pptOXZYABbaababZXabbaOYHYWab侧垂线24整理ppt名称立体图投影图投影特性铅垂线（H）正垂线（V）侧垂线（W）(1)H投影为一点，有积聚性；

(2)abOX,

abOYW；

(3)ab=ab

=AB(1)V投影为一点，有积聚性；

(2)abOX,

abOZ

；

(3)ab=ab

=AB(1)W投影为一点，有积聚性；

(2)abOYH,

abOZ

；

(3)ab=ab

=AB投影面垂直线25整理ppt25XOZYHYWa'aa"30°b"b'b例题1例：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30°。26整理ppt例题2例:根据直线的两投影判断其空间位置.XOg'gXOa'ab'bXOcd'dhh'O正平线侧平线水平线一般位置直线侧垂线铅垂线c'aa“

c'ZZOa'b'ba'b'd'b“

c“

d“

27整理pptO侧平线一般线一般线水平线正垂线正平线c'Zd'c”

d”

a”

ZOa'b'b”

XOcd'dc'XOg’h’gha'b'a”

b”

ZOaa'b'b28整理ppta′b′c′abcs′a″b″c″s″棱线分析sSA——SC——AC——一般位置线侧平线水平线29整理ppt读投影弯铁丝30整理ppt

直线上点的投影特性:1、点的投影在直线的同面投影上(从属关系不变)。2、点分割线段之比，投影后比值不变。即：

cAHacaVbBabcCbW′′′″″″AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac

:cb3.属于直线的点

cacXabcYYbOaZb′″′′″″a'b'bak'k点K属于直线AB吗?31整理ppt例1：判断点C是否在线段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在应用定比定理另一判断法?32整理ppt例:在直线AB上取一点C，使其到V面为20。

bab’a’XOc’c20例:在直线EF上找一点K,使EK:KF=2:3。fef

’e’XOk’k33整理ppt例：已知点K在线段AB上，求点K的正面投影。解法一：（借助第三投影）解法二：（应用定比定理）●aabbkab●k●k●aabbk●●k●XOBAbbaakKkHV34整理pptβXOVHbaabΔYABABXOVHbaabΔZ线段实长、倾角、投影、坐标差之间的几何关系要记住这个图（随时能用两根杆模拟出来）

⒊

一般位置直线的倾角和线段实长35整理ppt

直角三角形中，三条边和一个倾角共四个参数，只要知道任意两个，即可画出直角三角形，求得另两个参数。直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线段的投影及坐标差.△XABab

△ZαABa''b''γABβ△Ya'b'

36整理pptABXOVHbaabΔZABabΔZABABbXaba直角三角形法===分析：欲求α，只能借助直线与H面的几何关系。例1：已知线段投影，求线段的实长和倾角α37整理pptβXOVHbaabΔYbXabaABOβABabΔY==AB=β例2：求一般位置直线段的实长和倾角βΔY分析：欲求β，只能借助直线与V面的几何关系。38整理pptaba′b′XOΔZΔZC在AB上量取AC=25cc′BA例3:在直线AB上取一点C,使AC=25,求点C的投影.求投影长ac39整理ppt

例4:已知直线AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。a′b′ab△Y△Yβ分析：⑴直接求水平投影长，要用α三角形，即直线与H面的几何关系，只有高差△Z一个条件，此路不通。要用β三角形，即直线与V面的几何关系，已知a’b’及β角，直角三角形可作出。⑵通过△Y确定端点b已知实长或倾角补投影，通常有两种方法，即直接求线段投影长或用坐标差确定线段另一端点，有时只有一种方法（如本例）。40整理ppt

例5:已知直线AB的V投影，且AB=40，求AB的H投影。R=40a′b′ab△Y△Y△Z方法2：已知实长及△Z，画出α三角形确定ab长abα方法1：用△Y确定端点b（根据a’b’及40作β三角形）4041整理ppt

例6:已知直线AB的V投影，且α=30°，求AB的H投影。a′b′abαΔZH投影长以H投影长为半径画弧AB真长方法：利用已知的α、△Z作三角形求水平投影长ab（仅一种方法）42整理ppt4.两直线的相对位置⑴两直线平行bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX投影特性同名投影平行ab//cda'b'//c'd'

且长度成比例a’b’:c’d’=ab:cd平行、相交、交叉（异面）。43整理ppt例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd44整理ppt⑵两直线相交同名投影相交,交点符合点的投影规律.投影特性:acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd

bacdkk45整理ppt例：过点A作直线AB，与直线CD相交。a'ac'd'cd例：过点A作水平线AB，与直线CD相交。a'c'd'cd无数解唯一解b’bb’ba46整理pptOb’Xa’abc’d’dc11’(2’)2⑶两直线交叉XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21

凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。47整理ppt()()a'b'c'd'cabd交叉两直线重影点的可见性判断abbacddcABCVHoX433'4'2'1'12X12(3)4121(2)4343D48整理ppt例：c"d"a'b'abdcc'd'例：a'b'a"b"c'd'c"d"abcda"b"49整理ppt例:判断两直线的相对位置11dc1150整理pptcOXb′a′c′ba

直角投影规律：

空间两条相互垂直线之一，平行于某投影面时,则在该面上的投影垂直。若AC⊥AB,AB∥H则ac⊥ab⒌一边平行于投影面的直角投影AHBCacb51整理ppt上述结论亦实用于两直线交叉垂直OXb′a′bamnnmBHAbaMNnm52整理ppta'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD，求cd例:53整理ppt

例:求点K到直线AB的距离。kk′aba′b′ll′垂线KL的实长△ZKL△ZKL54整理ppt

例:已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30，试完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm55整理ppt

例:求两直线AB、CD之间的距离。(≈习题P11.3-17)aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离(n)56整理ppt点、直线习题点P6——2、3P7——4、5直线P8P9——6⑴、7P10——9、10、12P11——13、15、1657整理ppt1.平面的表示法及形式转换⒉平面相对于投影面的位置⒊平面内的点和直线a´b´BACacc"a"b"XHYVZWb三平面的投影58整理ppt1.平面的表示法及形式转换a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc几何元素表示法a'b'c'abc迹线表示法（了解）59整理ppt平面的迹线（与投影面的交线）表示法PVPHQ

HXXVVHPVPHPQ

HHQ用垂面的积聚投影(一条线)表示平面60整理ppt平面//P平面P反映实形实形性积聚成直线

积聚性缩小且类似图形

类似性P平面P平面的投影特性—取决于平面与投影面的倾角61整理ppt●投影面平行面●投影面垂直面●一般位置平面铅垂面：H∠V、W正垂面：V∠H、W侧垂面：W∠V、H水平面：∥H正平面：∥V侧平面：∥W⒉平面相对于投影面的位置特殊位置平面62整理ppt⑴投影面平行面正平面水平面侧平面VWHVWHVWH63整理ppt水平面投影特性在所平行的投影面上的投影反映实形另二投影积聚为平行于相应投影轴的线段a'b'c'c"a"b"abcVWH64整理ppt正垂面铅垂面侧垂面VWHVWHVWH⑵投影面垂直面65整理ppt正垂面投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，且反映平面与另两投影面的倾角另两投影为类似图形a'b'c'c"a"acbb"VWH66整理pptPPH铅垂面ABCacba'b'a"b"bab"cc"c'请同学叙述铅垂面的投影特性67整理ppta'b'c'bac⑶一般位置平面投影特性

三个投影均为缩小的类似形

a"b"c"平面与三投影面均倾斜68整理ppt平面图形二求三xb′a′cbaza″c″b″c′yy69整理ppt例:根据平面的两投影判定平面的位置正平面铅垂面侧垂面水平面侧垂面侧平面XX70整理ppta′b′c′abcs′sa″b″c″s″棱锥表面分析△SAC是面△SAB是面一般侧垂71整理ppt例：指出立体表面的空间位置,找出相应投影.vwH72整理ppt3.平面上的点和直线直线在平面上的条件通过平面内两点；或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。点在平面上的条件点在平面内的某一直线上故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。

基本作图：

⑴判定点或直线是否在平面上；⑵在平面上引辅助线定位点。73整理ppt例：点K在平面内，已知k'，求k1'1k2'2a'c'cabk'b'辅助线（两点法）辅助线（一点一方向法）baccakb●k●74整理pptabca'b'c'kk'ee'K点不在Δ