电子技术逻辑代数基础后半部分

4.4逻辑函数及其表示方法4.4.2逻辑函数的表示方法4.4.1逻辑函数的概念4.4.1逻辑函数的概念一、逻辑变量和逻辑函数

从数字系统的角度看，逻辑函数定义如下：设某一逻辑电路的输入逻辑变量A、B、C、...，输出逻辑变量Y，如果当A、B、C的取值确定后，Y的值就唯一的确定下来，则Y被称为A、B、C...的逻辑函数，记作：

Y=f(A、B、C...)输出逻辑变量（逻辑函数）输入逻辑变量二、逻辑函数的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数的的取值只有0和1两种可能；在研究问题时，0和1究竟代表什么意义，要看具体的对象而定。（2）函数和变量之间的关系由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定。输出逻辑变量（逻辑函数）输入逻辑变量Y=f(A、B、C...)三、逻辑函数与逻辑问题的描述任何一种逻辑命题（因果关系）都可用一个逻辑函数来描述。例：一个控制楼梯照明灯的电路，单刀双掷开关A装在楼下，B装在楼上，这样在楼下开灯后，可在楼上关灯；同样,也可以在楼上开灯，而在楼下关灯。因为只有当两个开关都向上扳或向下扳时，灯才亮；而一个向上扳，另一个向下扳时，灯就不亮。ABY000110111001

设Y表示灯的状态，Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；用Ａ、Ｂ表示开关Ａ、开关Ｂ的位置状态，1表示开关向上扳，０表示开关向下扳。变量Ａ、Ｂ、Y，取１值的用原变量表示，取０值用反变量表示。ABY000110111001Y=A·B+A·B4.4.3逻辑函数的表示方法一、真值表（表格表示逻辑函数的方法）1、将输入逻辑变量的全部取值组合与函数值（输出逻辑变量）间的对应关系列成的表格。逻辑函数与输入逻辑变量的各种取值之间的一一对应关系，一个确定的逻辑函数的真值表是唯一的。

逻辑函数真值表对应一一真值表、逻辑表达式、逻辑图、工作波形图、卡诺图设有两个逻辑函数Y1和Y2Y1=f1(A、B、C)Y2=f2(A、B、C)如果对应于逻辑变量A、B、…C的每一种取值组合，Y1和Y2的值都相同，则称逻辑函数Y1和Y2相等，记作Y1=Y2。推论：

如果Y1=Y2，则Y1和Y2对应的真值表完全相同；反过来，如果两个逻辑函数的真值表完全相同，则Y1=Y2。判断两个逻辑函数是否相等的方法主要有两种：一、真值表法逻辑函数相等二、用逻辑代数的公理、定理和规则进行证明。例:已知函数F=x+y，G=x·y，求证：F=GxyF=x+yG=x·y00110111101111003、特点①直观明了，可直接看出逻辑函数值与输入逻辑变量取值之间的关系；②便于把实际逻辑问题转化为数学问题；③变量多时过于复杂；④无法利用公式进行直接运算。2、列写方法逻辑函数有n个输入逻辑变量时，共有2n

个不同取值组合状态。①按二进制递增顺序列出n个输入逻辑变量的2n

个不同的取值组合；②找出各种组合下的函数值，一一填入表中。1、把输入与输出之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，即为逻辑表达式。书写时注意：（1）“与”运算符可以省略。（2）进行“非”运算可省略括号。（3）在一个表达式中如果既有“与”运算又有“或”运算，按先“与”后“或”的规则进行运算，从而省去括号。（

）+（）可写为AB+CD。（4）“与”、“或”运算均满足结合律，（A+B）+C=A+（B+C）=A+B+C

（AB）C=A（BC）=ABC

二、逻辑函数表达式

2、列写方法

①由实际逻辑问题写表达式②由真值表写表达式3、特点：将实际逻辑问题高度抽象概括为数学形式。三、逻辑图将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用逻辑运算的图形符号表示出来。

用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。例如：逻辑函数Y=A（B+C）逻辑图的特点：接近工程实际，常用来制作和分析电路。四、工作波形图五、卡诺图描述输入、输出波形间的关系。可利用真值表画出工作波形图，五、各种表示方法间的转换1、从真值表写出逻辑函数表达式ABCY000

001

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1

1

0当A=0、B=1、C=1时，当A=1、B=0、C=1时，当A=1、B=1、C=0时，①找出真值表中使逻辑函数（输出逻辑变量）Y=1的所有输入逻辑变量的取值组合；②每种输入逻辑变量的取值组合对应一个乘积项，其中取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量；③将这些乘积项相加，即得函数Y的逻辑表达式。ABCY000

001

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1

02、从逻辑表达式写出真值表将输入逻辑变量的全部组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表。方法：第一步：将输入变量的所有取值组合按二进制递增顺序排列，列成表；第二步：将输入变量取值的所有状态一一带入逻辑表达式，求出其对应的函数值，并填入表中。例如：已知逻辑函数,求它对应的真值表。ABCA000

001

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1Y001000000

11011110

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03、从逻辑函数表达式画出逻辑图用门电路的逻辑图形符号代替逻辑函数表达式中的各个逻辑运算符号，并依据运算优先顺序把这些图形符号连接起来，即得与逻辑函数对应的逻辑图。例1.9已知逻辑函数，试画出其逻辑图。

4、从逻辑图写出逻辑函数表达式从输入端到输出端逐级写出每个图形符号输出的对应逻辑式。例1.8已知函数的逻辑图，试写出其逻辑表达式。

例：A、B、C输入变量，F逻辑函数。开关闭合、灯亮用逻辑“1”表示；开关断开、灯灭用逻辑“0”表示。解：1.列出输入、输出对应的真值表一个实际逻辑命题的实现一个举重裁判电路，用一个逻辑函数描述它的逻辑功能。比赛规则：在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判）认定运动员动作合格，试举才算成功。比赛时主裁判掌握开关C，两名副裁判分别掌握开关A、B。当运动员举起杠铃时，裁判认为动作合格就合上开关，否则不合。显然指示灯的状态是开关A、B、C状态的函数。ABCF000

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12.写出逻辑函数式1）使函数值为1的输入变量取值组合。2）将每个这样的取值组合写成一个乘积项。变量取值为1，用原变量表示；变量取值为0，用反变量表示。3）将这几个乘积项进行逻辑加，即得该控制电路逻辑表达式：ABCY000

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13.逻辑图将逻辑表达式中的“与”运算符用与门代替，“或”运算符用或门代替，画出与函数表达式对应的逻辑图。4.工作波形图ABCY000

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1tttAYBtC00000010010001111000101111001110例：有一个T型走廊，在相会处有盏路灯，在进入走廊的A、B、C三地各有一个控制开关，都能对路灯进行独立控制。控制要求：任意闭合一个开关，灯亮；任意闭合两个开关，灯灭；三个开关同时闭合，灯亮。ABCY00000101001110010111011101101001解：1.列出真值表2.写出逻辑函数式一个实际逻辑命题的实现3.逻辑图4.工作波形图tttAYBtC00000011010101101001101011001111ABCY000001010011100101110111011010014.5逻辑函数的化简4.5.1化简的意义和标准一、逻辑函数的几种常见形式和变换①“与―或”式②“或―与”式③“与非―与非”式④“或非―或非”式⑤“与―或―非”式摩根定律：⑤→②摩根定律：⑤→④③→⑤：同一逻辑函数①↓②反演规则：①→②摩根定律：①→③二、化简逻辑函数的意义逻辑电路逻辑函数逻辑命题实现表示简单复杂电路简单电路复杂三、逻辑函数最简表达式的标准注意：将最简与或式直接变换为其他类型的逻辑式时，得到的结果不一定也是最简的。与-或表达式的最简标准：1、逻辑函数式中所含乘积项的个数最少；2、每个乘积项中变量个数也不能再减少。例：4.5.2逻辑函数的代数化简法------运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑函数式化简的方法叫代数化简法。一、并项法把两个乘积项合并成一项，消去一个变量（表达式）。A可以是任何复杂的逻辑式。例：使用并项法化简下列函数。★1二、吸收法利用吸收律消去多余的与项。例：三、消项法利用将BC消去，其中A、B、C都可以是任何复杂的逻辑式。★3四、消因子法利用可将中的消去。五、配项法利用，重新配项，以便消去其他项。添一项加一项乘一项例：化简下列逻辑函数。★2代数化简法优点：简单方便，对逻辑函数式中的变量个数没有限制，适用于变量较多，较复杂的逻辑函数式。缺点：需要熟练掌握和灵活应用逻辑代数基本定律和基本公式;还要有一定的化简技巧；不易判断化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。逻辑函数的标准形式有两种：

1、标准“与－或”表达式（最小项之和形式）

2、标准“或－与”表达式（最大项之积形式）。

（一）.最小项1、定义：如果一个具有n个变量的逻辑函数的某个与项(乘积项)包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则该与项被称为最小项、标准与项、全积项。一、最小项和最大项

4.5.3逻辑函数的卡诺图化简法对于n个输入逻辑变量的函数其最多有2n个最小项输入变量最小项函数ABC000100000001001010000001010001000001011000100001100000010001101000001001110000000101111000000011用mi表示最小项，编号方法：将最小项中原变量用1表示，反变量用0表示，将所得二进制数对应的十进制数为最小项的编号。ABC最小项对应十进制数编号0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m72.最小项性质:

（1）对于任何一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而对变量的其他任何取值，这个最小项的值均为0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。（3）对于任一组取值，任意两个不同最小项的乘积为0。

（4）对于任何一组取值，全部最小项之和为1，即（5）具有相邻性的二个最小项之和可以合并成一项并消去一个因子。（6）n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。相邻性---二个最小项只有一个因子不同，这两个最小项具有相邻性。

（二）.最大项1、定义：如果一个具有n个变量的逻辑函数的或项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则该或项被称为最大项、标准或项、全和项。11111111对于n个自变量的函数而言，可有2n个最大项。为什么称该或项为最大项呢？表中列出3变量的逻辑函数的8个最大项，在输入逻辑变量的8种取值的组合中，针对每一种组合使任一最大项为0的机会仅一次，其余皆为1，故称其为最大项。用Mi表示最大项，编号方法：将最大项中原变量用0表示，反变量用1表示，将所得二进制数对应的十进制数作为最大项的编号。ABC最大项对应的十进制数编号0000M00011M10102M20113M31004M41015M51106M61117M72、最大项性质：（1）

任意一组变量取值，只能使一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1。

（2）

同一组变量取值，可使任意两个不同最大项的和为1。

（3）对于任意一组变量取值，全部最大项之积为0，即

（4）只有一个变量不同的两个最大项（相邻最大项）的乘积等于各相同变量之和。（5）

n个变量构成的最大项有n个相邻最大项。相邻最大项是指除一个变量互为相反外，其余变量均相同的两个最大项。

(A+B+C)(A+B+C)=A+B2n-13、最小项和最大项间关系m0m1m2m3m4m5m6m7相同编号的最小项和最大项存在互补关系例如：m0=，则m0=A+B+C=M0

11111111M0M1M2M3M4M5M6M72n-1----由若干最小项相“或”构成的逻辑表达式。

任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式，对于任意一个逻辑函数其标准“与－或”表达式是唯一的。①由一般与或表达式得最小项表达式；②另一种是由真值表得到。

二、逻辑函数的两种表准形式如何得到最小项表达式？（1）逻辑函数的标准“与－或”表达式（最小项之和形式）①一般“与或”表达式得到最小项表达式

将一般“与或”表达式中每个与项乘上未出现变量的原变量与反变量和的形式，展开后即得到最小项表达式。

例写出Y=AB+BC+AC的最小项表达式。②由真值表得到最小项表达式

首先找出使逻辑函数F=1的输入变量取值组合对应的乘积项（最小项），再将这些最小项相或，即得到标准与或表达式（或最小项表达式）。

例：写出下真值表对应的最小项表达式。输入变量输出最小项ABCF0001m0

0

011m1

0100m2

0110m3

10

01m4

1

0

11m5

110

1

m6

1110m7

最小项表达式：

----由若干最大项相“与”构成的逻辑表达式。任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最大项之积的形式，（2）逻辑函数的标准“或－与”表达式（最大项之积形式）

如何写出函数的最大项之积表达式？

例已知函数F(A,B,C)=AB+BC,试写出其最大项表达式。

将该函数的真值表列出，将F为0对应的最大项写出来相乘。输入变量输出变量最小项最大项ABCF0000m0

M0

0010m1

M1

0100m2

M2

0111m3

M3

1000m4

M4

1010m5

M5

1101m6

M6

1111m7

M7

最大项表达式：F(A,B,C)=∏M(0,1,2,4,5)（3）两种标准表达式的转换输入变量输出变量最小项最大项ABCF0000m0

M0

0011m1

M1

0100m2

M2

0111m3

M3

1000m4

M4

1011m5

M5

1100m6

M6

1111m7

M7

=M0M2M4M6

6例：写出函数F(A,B,C)=∑m(1,3,6,7)的最大项之积表达式。卡诺图化简逻辑函数特点：一个具有n变量的逻辑函数有2n全部最小项，卡诺图实质上是将n变量的2n最小项各用一个小方格表示，并使最小项按相邻原则排列构成的方块图。

相邻原则，指卡诺图上邻近的任意两个小方格所代表的两个最小项是相邻最小项（仅有一个变量互为反变量，其余变量均相同)。相邻关系：上下相邻、左右相邻、首尾相邻（一列中最上格与最下格相邻、一行中最左格与最右格相邻）。一、卡诺图的构成简单又直观；具有确定的化简步骤；可以明确获得的是最简与-或式。三、逻辑函数的卡诺图化简法一变量卡诺图---21个最小项，每个最小项仅有1个相邻项。二变量卡诺图---22个最小项，每个最小项均有2个相邻项。

A01m0m1

（0）

（1）AB010/m0/m11/m2/m3(00)(01)(10)(11)三变量卡诺图---23个最小项，每个最小项均有3个相邻项。/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6000001010011110111100101ABC0110000111四变量卡诺图---24个最小项，每个最小项均有4个相邻项。00000001001100100100010101110110110011011111111010001001101110101000011110000111ABCD/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6/m12/m13/m15/m14/m8/m9/m11/m10五变量卡诺图---25小方格分别代表32个最小项，每个最小项均有5个相邻项。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD卡诺图特点：（1）n变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；（2）卡诺图上处在相邻、相对或相重位置上的小方格所代表的最小项为相邻最小项，n变量的最小项有n个相邻最小项。

/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6/m12/m13/m15/m14/m8/m9/m11/m101000011110000111ABCD相邻最小项只有一个变量不同（互补），将两相邻的最小项可以合并为一项，消去两项中互补的变量（不同的因子），只保留相同的变量。二、卡诺图化简法的依据2=21个相邻最小项（同一列上下两端、同一行左右两端）可以合并一项，消去1个不同的变量；消去了一个变量A。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6ABC01100001111000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6ABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6ABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD4=22个相邻最小项（包括两行两列的两端、四个角）可以合并为一项，消去2个不同的变量；m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD1000011110000111ABCD8=23个相邻最小项（相邻两行、两列，上下端两行、左右端两列）可以合并为一项，消去3个不同的变量；2n

个相邻最小项可以合并为一项，消去n个不同的变量；…卡诺图化简函数原理：利用卡诺图对相邻最小项进行合并，消去互反变量，保留公有变量，达到化简目的。如2n

个相邻最小项合并为一项，能消去n个变量。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD三、用卡诺图表示逻辑函数卡诺图的每一小方格都唯一地对应一个最小项，要用卡诺图表示某个逻辑函数时，先将该函数转换成标准“与－或”式(最小项之和表达式)，再将表达式含有的最小项对应的方格中填入“1”，其余方格则填入“0”，就得该函数对应的卡诺图。

n变量函数的卡诺图中，全部小方格就是整个卡诺图中的一个大相邻矩形区域，可消去全部n个互反变量，使函数值恒为“1”即。

m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD例1用卡诺图表示逻辑函数。

解：（1）变量数为3，先画三变量空卡诺图。（2）把逻辑式中四个最小项对应方格中填入1，其余填入0。得该函数的卡诺图。01110010ABC0110000111逻辑函数卡诺图对应一一利用卡诺图也可证明两个逻辑函数相等（2）变量数为4，画四变量空卡诺图。（3）把逻辑式中八个最小项对应方格中填入1，其余填入0。解：（1）将逻辑函数化为最小项之和形式

例2用卡诺图表示逻辑函数。01001001001011111000011110000111ABCD利用真值表与标准“与－或”式的对应关系，可从真值表直接得逻辑函数卡诺图。方法：将真值表中输出为“1”的最小项所对应的卡诺图小方格填入“1”，其余小方格填入人“0”。

例3已知函数的真值表，试画出其卡诺图。解：（1）先画三变量空卡诺图。（2）把真值表中Y=1对应的四个最小项m0，m2，m4，m6对应的方格中填入1，其余填入0。ABCY0000010100111001011101111010101010011001ABC0110000111（2）画四变量空卡诺图。（3）根据与－或式中的每个与项，填卡诺图。例4用卡诺图表示逻辑函数。解：（1）先把逻辑式展开成与－或式。111111111000011110000111ABCD1、将原始函数转换为“与或”表达式；2、用卡诺图表示逻辑函数。根据逻辑函数所含变量个数，画出该函数对应的空卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应小方格都填入“1”，其余小方格填入“0”。3、对卡诺图中相邻的“1”方格画包围圈。把卡诺图中相邻的“1”方格用包围圈圈起来进行合并，直到所有最小项全部圈完为止。4、将每个包围圈中相同的变量提出来（相邻区域中的互反变量因子消去，保留共有变量因子），将所得对应的“与”项再进行逻辑加，便得到最简“与或”式。四、卡诺图化简逻辑函数的一般步骤画包围圈应遵循的原则：①只有相邻的最小项才能画在一个包围圈中，每个包围圈内的方格数必定是2n个，n等于0、1、2、3、…，即只能按照2，4，8，16…的数目画包围圈。②相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。③为充分化简，同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但在新增包围圈中一定要有未被圈过的1方格，否则该包围圈为多余。

④为避免划出多余的包围圈，画包围圈时应遵从有少到多的顺序。先将与其它任何“1”方格都不相邻的孤立“1”方格单独圈出，再找出那些仅与另一个“1”方格惟一相邻的“1”方格，将它们两两相圈，组成含有两个“1”方格的相邻区域；最后再依次将含有四个“1”方格、八个“1”方格、甚至更多个“1”方格的相邻区域圈出来。比如：先圈1个相邻最小项，在圈2个相邻最小项，然后4个相邻最小项，8个相邻最小项。⑤包围圈内的1方格数要尽可能多，即包围圈应尽可能大，这样消去的变量就多，所得乘积项中的变量越少，与门输入端的数目就少。⑥包围圈个数尽可能少，这样得到的函数表达式中乘积项的个数最少，就可以获得最简的逻辑函数与或表达式。⑦有时用圈0的方法更简便，但得到的是原函数的反函数。值得一提：围的方格不同（合并最小项的组合状态不相同），

得出的表达式也不同，但它们之间可以转换，或表达式的简化程度有所不同。例5

用卡诺图化简函数解：①画出与原始函数对应的卡诺图。②画包围圈。③将每个包围圈中互反变量因子消去，保留共有变量因子，得化简后表达式。

1000011110000111ABCD1111111111000011110000111ABCD例6

用卡诺图化简函数解：①画出与原始函数对应的卡诺图。②注意，此时若先圈大圈(如图中虚线所示)，则将产生多余圈。③将每个圈中互反变量因子消去，保留共有变量因子，得化简后的表达式。111111111000011110000111ABCD利用卡诺图表示逻辑函数式时，也可采用包围0方格的方法进行化简，求出反函数，再对其求非，其结果相同。例7

用卡诺图化简函数解：①画出与原始函数对应的卡诺图。②写出反函数③求出函数表达式10011001111111111000011110000111ABCD★2★111111111ABC011000011100000000011001101000011110000111ABCD★3例：8421BCD码的四位编码B3B2B1B０，只有0000～1001十种输入取值组合，其余1010～1111六种取值组合是不允许出现；例：A、B、C三个变量分别表示一台电动机的正传、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。ABCY000001010011100101110111x01x1x