二重积分的概念及计算

会计学1二重积分的概念及计算Page2解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”第1页/共56页Page31)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第2页/共56页Page44)“取极限”令第3页/共56页Page52.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.第4页/共56页Page62)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量第5页/共56页Page7两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第6页/共56页Page8二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域

D上的有界函数

,第7页/共56页Page9引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作第8页/共56页Page10二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.第9页/共56页Page11三、二重积分的性质(k

为常数)为D的面积,则第10页/共56页Page12特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有第11页/共56页Page137.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此第12页/共56页Page14例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上第13页/共56页Page15例2.

判断积分的正负号.解:

分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项第14页/共56页Page16例3.

判断的正负.解：当时，故又当时，于是第15页/共56页Page17例4.

估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96I2D第16页/共56页Page18例5.

估计的值,其中D

为解:被积函数D的面积的最大值的最小值第17页/共56页Page198.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有第18页/共56页Page20四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的第19页/共56页Page21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第20页/共56页Page22例6.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第21页/共56页Page23内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法第22页/共56页Page24被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:第23页/共56页Page252.设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有第24页/共56页Page263.计算解:第25页/共56页Page274.证明:其中D为解:

利用题中x,y

位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.第26页/共56页Page28五、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为

X–型区域

则若D为Y–型区域则第27页/共56页Page29当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于第28页/共56页Page30说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则第29页/共56页Page31例7.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X–型区域,则解法2.

将D看作Y–型区域,

则第30页/共56页Page32例8.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则第31页/共56页Page33例9.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.第32页/共56页Page34例10.交换下列积分顺序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则第33页/共56页Page35例11.计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,第34页/共56页Page36解：原式例12.

给定改变积分的次序.第35页/共56页Page37对应有六、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为第36页/共56页Page38即第37页/共56页Page39设则特别,对第38页/共56页Page40若f≡1则可求得D的面积思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)第39页/共56页Page41例13.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.第40页/共56页Page42注:利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例7的结果,得①故①式成立.第41页/共56页Page43例14.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知第42页/共56页Page44例15.计算其中D

为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.第43页/共56页Page45定积分换元法七、二重积分换元法满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,第44页/共56页Page46证:根据定理条件(2)(3)可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy

面上得到一个四边形,其对应顶点为则第45页/共56页Page47同理得当h,k

充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为第46页/共56页Page48因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,

直角坐标转化为极坐标时,第47页/共56页Page49例16.计算其中D是x

轴y

轴和直线所围成的闭域.解:令则第48页/共56页Page50例17.计算由所围成的闭区域D

的面积S.解:令则第49页/共56页Page51例18.试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.第50页/共56页Page52内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则第51页/共56页Page53则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下第52页/共56页Page54(3)计算步骤及注意事项•