北京海淀高三上学期期末理科数学试题及答案

北京海淀高三上学期期末理科数学试题及答案数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知，则的值为A.B.C.D.2.抛物线的准线与轴的交点的坐标为A.B.C.D.3.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为A.B.C.D.4.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为A.B.C.D.已知数列，其中,则满足的不同数列一共有A.个B.个C.个D.个6.已知圆,直线，.若被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为A.B.1C.D.7.若满足则的最大值为A.B.C.D.已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为,过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是A.B.C.D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知双曲线的一条渐近线过点,则______，其离心率为______.10.在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）11.已知等比数列的公比为，若，则______.12.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为______.13.已知函数若的最小值是，则______.14.已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形.(i)在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是______：（请写出符合要求的条件的序号）①；②；③.(ii)若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为______.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和.16.（本小题满分13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期.假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关.（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且.（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

18.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为.是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）若实数数列满足，则称数列为“数列”.（Ⅰ）若数列是数列，且，求，的值；(Ⅱ)求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；(Ⅲ)若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ABDCACDD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号91011121314答案②；说明：第9，14题第一空3分，第二空2分解答题:本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和.解：（Ⅰ）因为…………….1分…………….5分（两个倍角公式，每个各2分）…………….6分所以函数的最小正周期.…………….7分（Ⅱ）因为，所以，所以.………….8分当时，函数取得最小值;…………….10分当时，函数取得最大值,…………….12分因为,所以函数在区间上的最大值与最小值的和为.…………….13分16.（本小题满分13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期.假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关.（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.解：（Ⅰ）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件，…….1分所以，…………….5分则.…………….6分法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期，…………….1分所以,…………….3分所以.…………….6分（Ⅱ）随机变量可以取，…………….7分所以,,…………….11分所以.…………….13分17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且.（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）过点作，交于,连接,因为，所以.…………….1分又，，所以.…………….2分所以为平行四边形,所以.…………….3分又平面，平面,….4分（一个都没写的，则这1分不给）所以平面.…………….5分（Ⅱ）因为梯形中，，,所以.因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,…………….6分所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，…………….7分取得到,…………….8分同理可得,…………….9分所以,…………….10分因为二面角为锐角，所以二面角为.…………….11分（Ⅲ）假设存在点，设，所以,…………….12分所以，解得,…………….13分所以存在点，且.…………….14分18.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）解：（Ⅰ）因为,所以，…………….1分当时，.…………….2分令，得，…………….3分所以随的变化情况如下表：极大值极小值…………….6分所以在处取得极大值，在处取得极小值.…………….7分函数的单调递增区间为，,的单调递减区间为.…………….8分（Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1.因为，令，得. …………….9分因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，………….10分所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；…………….11分当时，随的变化情况如下表：↘极小值↗所以函数在区间上的最大值为或.……………….12分此时,，所以.综上，当时，关于的不等式在区间上无解.……….13分19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为.是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以. …………….1分又离心率为，所以，所以,…………….2分所以,…………….3分所以的方程为. …………….4分（Ⅱ）法一：设点，设直线的方程为，…………….5分与椭圆方程联立得,化简得到, …………….6分因为为上面方程的一个根，所以，所以.……………….7分所以. …………….8分因为圆心到直线的距离为，…………….9分所以,…………….10分因为，…………….11分代入得到.…………….13分显然，所以不存在直线，使得.…………….14分法二：设点，设直线的方程为，…………….5分与椭圆方程联立得化简得到,由得.…………….6分显然是上面方程的一个根，所以另一个根，即.…………….7分由，…………….8分因为圆心到直线的距离为，…………….9分所以.…………….10分因为，…………….11分代入得到,…………….13分若，则，与矛盾，矛盾，所以不存在直线，使得.…………….14分法三：假设存在点，使得，则，得.…………….5分显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，…………….6分由，得,由得，…………….7分所以.…………….9分同理可得，…………….11分所以由得，…………….13分则，与矛盾，所以不存在直线，使得.…………….14分20.（本小题满分13分）若实数数列满足，则称数列为“数列”.（Ⅰ）若数列是数列，且，求，的值；(Ⅱ)求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；(Ⅲ)若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值.解：(Ⅰ)因为是数列，且所以，所以,所以，解得,