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文档简介

曲线积分习题课一、主要内容曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义性质计算公式两者关系曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义实质分、粗、和、精

分、粗、和、精背景曲线形构件的质量

变力沿曲线作功性质线性、可加、无方向

可加、有方向计算一代、二换、三定限一代、二换、三定限联系与路径无关的四个等价命题条件等价命题各种积分之间的联系曲线积分定积分计算重积分Green公式计算曲面积分Guass公式计算Stokes公式计算上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式关于对称性对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性简化计算设L关于

x(y)轴对称若

f(x,y)关于

y(x)是奇函数即则若f(x,y)关于

y(x)是偶函数即则

对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑使用对称性。其中L1

是位于对称轴一侧的部分关于第二类曲线积分的计算①若曲线封闭，首先考虑使用Green公式②若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用Green公式此时应注意两点：⑴辅助线上的积分应容易计算，⑵辅助线的方向与曲线的方向相容③考虑积分是否与路径无关来简化计算④按第二类曲线积分的计算公式直接计算⑤化成第一类曲线积分计算二、典型例题例1计算所围成的在第三象限的扇形的整个边界解如图L1L1L2L2L3L3L=L1+L2+L3解例3．计算积分是半径为的圆周的内接正八边形的正向边界曲线．解:解(如图)其中L为①不包围也不通过原点的任意闭曲线②以原点为中心的正向单位圆周③包围原点的任意正向闭曲线解

①若则由Green公式例5计算若则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周记L和所为成的区域为D1，由Green公式②L③在原点不连续，记L和所为成的区域为D1，由Green公式以原点为心，作一半径充分小的正向圆周由于L所围区域包含原点解令得由使得在不经过的值的区域上与路径无关并求当L为从A（1，1）到B（0，2）时的值。例6确定参数A(1,1)B(0,2)ACB如选路径C(1,2)则积分结果不易求出DB但如选路径A

D(0,1)则例7

选取，使得在整个面上是某一函数的全微分，并求一个这样的函数提由示:来确定，再运用曲线积分求解得例8.计算其中为曲线解:

利用轮换对称性,有其中L

是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令则这说明积分与路径无关,故a

为半径的上半圆周.例9.计算解法2

它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段解答:(1)(2)课本习题解答提示:

计算其中L为圆周提示:

利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则P1843(1)P184

3(3).计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.3(5).P1843(6).计算其中由平面y=

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