2023年高考试题天津卷

2001年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔理工农医类〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.第一卷1至2页.第二卷3至10页.共150分.考试时间120分钟.第一卷〔选择题共60分〕考前须知：1．答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A、B互斥,那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕其中c表示底面周长,L表示斜高或母线长Pn(k)=CknPk(1-P)n-k其中S表示底面积,h表示高一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕函数的周期，振幅依次是〔A〕4π、3〔B〕4π、-3〔C〕π、3〔D〕π、-3分析：此题考查三角函数性质问题。此题选A，难度为★〔2〕假设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,那么{an}是〔A〕等比数列,但不是等差数列〔B〕等差数列,但不是等比数列〔C〕等差数列,而且也是等比数列〔D〕既非等比数列又非等差数列分析：此题考查等差数列与等比数列的性质。等差数列的前n项和都能写成一个关于项数的二次函数形式。此题选B，难度为★〔3〕过点A〔1,-1〕、B〔-1,1〕且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是〔A〕(x-3)2+(y+1)2=4〔B〕(x+3)2+(y-1)2=4〔C〕(x-1)2+(y-1)2=4〔D〕(x+1)2+(y+1)2=4分析：此题考查直线和圆的问题。对于求圆的方程，可以采用两种策略，一是可以找到圆上的三个点联立解方程组；二是求出圆心和半径。而第二种策略往往比拟简单。此题选C，难度为★★〔4〕假设定义在区间〔-1,0〕内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,那么a的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕分析：此题考查对数函数的性质问题，利用对数函数图象很容易判断。此题选A，难度为★★〔5〕假设向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，那么c=〔A〕a+b〔B〕a-b〔C〕ab〔D〕-a+b分析：此题考查向量运算。此题选B，难度为★★〔6〕设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2且|PA|=|PB|.假设直线PA的方程为x-y+1=0,那么直线PB的方程是〔A〕x+y-5=0〔B〕2x-y-1=0〔C〕2y-x-4=0〔D〕2x+y-7=0分析：此题考查直线方程问题，利用直线PA的方程可将P点和A点的坐标解出，再利用中点坐标公式求出B，最终求出PB的方程。此题选A，难度为★★〔7〕假设，那么〔A〕a<b〔B〕a>b〔C〕ab<1〔D〕ab>2分析：此题考查三角函数的性质，先利用辅助角公式将两个三角函数合成一个，再进行判断。此题选A，难度为★★〔8〕函数y=1+3x-x2有〔A〕极小值-1，极大值1〔B〕极小值-2，极小值3〔C〕极小值-2，极大值2〔D〕极小值-1，极大值3分析：此题考查导数求极值问题。此题选D，难度为★★〔9〕某赛季足球比赛的计分规那么是：胜一场,得3分；平一场,得1分；负一场,得0分.一球队打完15场,积33分.假设不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有〔A〕3种〔B〕4种〔C〕5种〔D〕6种分析：此题考查简单线性规划问题。约束条件为x+y=15,x>=0,y>=0，目标函数为3x+y=33，最后求可行域内满足目标函数的整点个数。此题选A，难度为★★★〔10〕设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，那么 〔Ａ〕 〔Ｂ〕 〔Ｃ〕3 〔Ｄ〕－3分析：此题考查直曲联立的相关知识。先把直线按点斜式设出来，然后与抛物线方程联立，再利用韦达定理求出结果。此题选B，难度为★★★〔11〕一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.假设屋顶斜面与水平面所成的角都是а,那么〔A〕P3>P2>P1〔B〕P3>P2=P1〔C〕P3=P2>P1〔D〕分析：此题考查了射影面积定理〔一个面上取个三角型面积为S1，在另一个面上做或者找到那个三角形的射影〔即以3个点的射影为顶点的三角形〕的面积S2，二面角为X，那么COSX=S2/S1〕。此题选D，难度为★★★〔12〕如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.那么单位时间内传递的最大信息量为〔A〕26〔B〕24〔C〕20〔D〕19分析：此题考查识图问题，属脑筋急转弯。此题选D，难度为★★★★第二卷〔非选择题共90分〕考前须知：1．第二卷共8页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的工程填写清楚.二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上.〔13〕〔14〕一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，那么其中含红球个数的数学期望是_______________.(用数字作答)分析：此题考查期望与方差。列出分布列，并利用概率和等于1作检验，没问题后，再求期望。此题答案：1.2，难度为★★〔15〕在空间中,①假设四点不共面,那么这四点中任何三点都不共线.②假设两条直线没有公共点,那么这两条线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________〔把符合要求的命题序号都填上〕.分析：此题考查立体几何根底与简易逻辑，〔1〕的逆命题为假命题，〔2〕的逆命题为真命题。此题答案：〔2〕，难度为★★〔16〕设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.假设{Sn}是等差数列,那么q=_______.分析：此题考查等差等比数列根底，先由等比数列前n项和公式将Sn展开。由于Sn为等差数列，因此其通项应为一次函数，但当q不为1时，其通项不可能为一次函数。故q=1，验证无误。此题答案：1，难度为★★★三、解答题：本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.〔17〕〔本小题总分值12分〕〔18〕(本小题总分值12分)如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.〔19〕(本小题总分值12分)〔Ⅰ〕求a的值:〔Ⅱ〕证明f(X)在(0,+∞)上是增函数注意：考生在〔20甲〕、〔20乙〕两题中选一题作答,如果两题都答,只以〔20甲〕计分.〔20甲〕〔本小题总分值12分〕如图,以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E为VC中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.〔Ⅱ〕记面BCV为а,面DCV为β,假设∠BED是二面角а-VC-β的平面角,求cos∠BED的值〔20乙〕〔本小题总分值12分〕如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD＝．〔Ⅰ〕求四棱锥S—ABCD的体积；〔Ⅱ〕求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.〔21〕某电厂冷却塔的外形是如下图双曲线的一局部绕其中轴〔即双曲线的虚轴〕旋转所成的曲面，其中A、A是又曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，AAˊ=14m,CCˊ=18=22m，塔高20m。〔Ⅰ〕建立坐标系并写出该双曲线方程：〔Ⅱ〕求冷却塔的容积〔精确到10m3〔22〕〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕求θ的取值范围；〔Ⅱ〕证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.2001年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学试题〔理工农医类〕参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么.二．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继局部的解答未改变该题内容和难度,可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分.三．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：此题考查根本知识和根本运算.每题5分,总分值60分.〔1〕A〔2〕B〔3〕C〔4〕A〔5〕B〔6〕A〔7〕A〔8〕D〔9〕A〔10〕B〔11〕D〔12〕D二、填空题：此题考查根本知识和根本运算.每题4分,总分值16分.〔13〕〔14〕1.2 〔15〕②〔16〕1三、解答题〔17〕本小题主要考查分式不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，总分值12分。解：原不等式的解集是下面不等式组〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕的解集的并集：〔Ⅰ〕 〔Ⅱ〕……2分分情况讨论〔ⅰ〕当a<0或a>1时，有a<a2，此时，不等式组〔Ⅰ〕的解集为∣x∣a<x<a2∣,不等式组〔Ⅱ〕的解集为空集Ф……6分〔ⅱ〕当0<a<1时，有a2<a，此时，不等试组〔Ⅰ〕的解集为空集Ф不等式组〔Ⅱ〕的解集为∣x∣a2<x<a∣；……10分〔ⅲ〕当a=0或a=1时，原不等式无解，综上，当a<0或a>1时，原不等式无解集为∣x∣a<x<a2∣；当0<a<1时，原不等式的解集为∣x∣a2<x<a∣；当a=0或a=1时，原不等式的解集为Ф……12分〔18〕本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考查运用概率知识解决实际问题的能力.总分值12分.解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C,由条件P(A)=0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90.〔Ⅰ〕因为事件A、B、C是相互独立的,所以,系统N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.故系统N1正常工作的概率为0.648.……5分〔Ⅱ〕系统N2正常工作的概率∵……10分∴P2=0.80×[1-0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792.故系统N2正常工作的概率为0.792.……12分〔19〕本小题主要考查函数的奇偶性和单调性等根本性质，指数函数和不等式的根本性质和运算，以及综合分析问题的能力，总分值12分。〔Ⅰ〕解：依题意，对一切x∈R有f(x)=f(-x)，即所以对一切x∈R成立由此得到，即a2=1……4分又因为a>0，所以a=1.(Ⅱ)证明一：设0<x1<x2，……8分由x1>0，x2>0，x2-x1>0,，得x1+x>0，ex2-x1－1>0，1－ex2+x1<0．∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x)在〔0，+∞〕上是增函数，……12分证明二：由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex－e-x=e-x(e2x－1).……8分当x∈(0,+∝)时，有e-x(e2x－1).此时f′(x)>0,所以f(x)在〔0，+∞〕上是增函数。……12分注意：考生在〔20甲〕、〔20乙〕两题中选一题作答,如果两题都答,只以〔20甲〕计分.〔20甲〕本小题考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.总分值12分.解：〔Ⅰ〕由题意知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，由此得∴……3分由向量的数量积公式有〔Ⅱ〕假设∠BED是二面角―VC―的平面角，那么,即有又C(－a，a，0)，V(0，0，h)，那么，且∴即，这时有……9分即 ……12分〔20乙〕本小题考查线面关系和棱锥体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力.总分值12分.解：〔Ⅰ〕直角梯形ABCD的面积是……2分∴四棱锥S—ABCD的体积是……4分〔Ⅱ〕延长BA、CD相交于点E，连结SE，那么SE是所求二面角的棱……6分∵AD//BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线,又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角……10分∵∴即所