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1一个方程的情形方程组的情形小结思考题

implicitfunction8.5

隐函数的求导公式一、一个方程的情形在一元微分学中,的求导法.已经讨论过方程下列定理给出了隐函数存在的充分条件.所确定的隐函数隐函数存在定理设二元函数的某一邻域内满足:在点则方程的某一邻域内并有(1)具有连续偏导数;它满足条件在点隐函数的求导公式恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数证明（的存在性略）公式推导如下将恒等式两边关于x求导,得将代入解令则例(1)有连续偏导数，法1：用公式法2方程确定了1个1元函数方程两边对x求导：余下同法1解令则例法1：用公式法2方程确定了1个1元函数先变形方程：例方程两边对x求导：则方程内恒能唯一确定具有连续偏导数的函数并有若三元函数它满足条件在点隐函数存在定理的某一邻域的某一邻域内满足:在点(1)具有连续偏导数;公式推导如下:将恒等式将代入两边对x

求导：（

y

看作常数）对

y求导：（

x看作常数）例

解

则令法1：用公式例

法2方程确定了1个2元函数方程两边对x

求导：（

y

看作常数）方程两边对y求导：（x看作常数）例

将隐函数方程两边取全微分,法3利用全微分.15将注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.方程确定了1个2元函数解练习方程两边对x

求导：（

y

看作常数）再将上式两边对x求偏导,（y看作常数）由原方程x,y的对称性知思路：方程确定了1个2元函数或或例整理得解整理得整理得隐函数求导原则n个方程,m个变量的方程组可确定n个（m-n元）函数，一般的：由题目情况，其余m-n个变量作自变量，选定n个变量作函数变量，方程组对某一个自变量求导时，其余自变量求导后，从含有偏导数的方程组中求出所求偏导数。看作常数，一个方程推广到多个方程例1个方程2个变量，确定了1个1元函数1个方程3个变量，确定了1个2元函数例设有隐函数,其中F的偏导数连续,

求解令用复合函数求导法法一由公式.将隐函数方程两边取全微分,即故从而此法步骤清楚法二利用全微分.

求得将方程两边求导.对x求偏导:uv即自己练习z是x,y的函数!法三如果方程组为则可求方程组两边关于x求导,二、方程组的情形(隐函数组)2个方程3个变量，确定了2个1元函数如果方程组为可则求方程组两边关于x求偏导,y看成常数方程组两边关于y求偏导,x看成常数则可求2个方程4个变量，确定了2个2元函数将恒等式两边关于x求偏导,解这个以为未知量的线性方程组,由链导法则得:求解得当系数行列式不为零时,即雅可比行列式Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851同理,两边关于y求偏导,得求例解方程组两边对x求导2个方程3个变量，确定了2个1元函数得得例设方程组确定函数解原方程组两边分别对x求偏导数,y看成常数2个方程4个变量，确定了2个2元函数解方程组得移项得：原方程组两边分别对解方程组得练习y求偏导数,x

看成常数隐函数的求导法则小结41研究生考题,计算,5分解

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