基于MATLAB的数值分析中的相关算法实现

基于MATLAB的《数值分析》有关算法实现1目的数值分析算法在科学应用各个分支中有着越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助这些应用的不断发展。实际生活中，很多问题都可以归纳为数值问题，如测得的实验数据有时候可以用插值法进行函数逼近预测。数值算法常与工程实践相结合，通过MATLAB软件直接运行可进行的程序来解决实际问题。本课题实现了三次样条插值法，二分法，牛顿法，梯形法，改进的欧拉法，雅克比迭代法等算法的MATLAB程序设计，弥补了函数库的缺省，更便于应用。二、方程求根三、常微分方程数值解一、三次样条插值函数法算法实现四、雅克比迭代法一、三次样条插值函数法定义设，若函数

且在每个上为三次多项式

/*cubicpolynomial*/，则称为节点上的三次样条函数。若在节点满足，则称为f的三次样条插值函数在实际工作中，利用三次样条插值可以很好的进行数据拟合时，下面给出三次样条插值函数法算法的步骤：准备（输入各插值节点和函数值、边界条件）判断（根据边界条件给出相应定义）求解（用追赶法求解方程组）输出（得出各区间插值函数并输出插值曲线）程序：function[yybcd]=myspline3(x,y,xx,flag,vl,vr)程序中：(x,y)为插值节点，xx为插值点；flag表端点边界条件类型：flag=0为自然条件(端点二阶导数为0)；flag=1为第一类边界条件(端点一阶导数给定)；flag=2为第二类边界条件(端点二阶导数给定)；vl,vr表左右端点处的在边界条件值。b,c,d分别为各子区间上的系数值，yy表插值点处的函数值。例：已知数据如下：x0.250.300.390.450.53y0.50000.54770.62450.67080.728第一边界条件：第二边界条件：用三次样条插值函数进行数据拟合。解(1)求第一边界问题，在matlab命令窗口输入：formatshortg;x1=[0.250.300.390.450.53]';y1=[0.50000.54770.62450.67080.728]';xx1=[x1(1):0.001:x1(end)]';[yy1b1c1d1]=myspline3(x1,y1,xx1,1,1.0000,0.6868);disp([b1c1(1:end-1,1)d1]);plot(x1,y1,'bo',xx1,yy1,'--k');运行结果：1-1.01431.88630.91272-0.731370.795180.80039-0.516670.631980.74522-0.402920.3151各区间三次样条插值函数图形如下：（2）求第二边界问题，在matlab命令窗口输入：[yy2b2c2d2]=myspline3(x1,y1,xx1,2,0,0);disp([b2c2(1:end-1,1)d2]);plot(x1,y1,'bo',xx1,yy2,'--k')运行结果：0.969660-6.26520.92267-0.939771.88130.79923-0.43181-0.460.74245-0.514612.1442各区间的三次样条插值函数图像为：1、二分法二、方程求根二分法的计算步骤如下：(1)准备记根区间取中点并计算(2)判断判别的值：若则是根；若则取;否则取则得到取代继续计算。(3)继续运算由区间构造区间并得到若，则为所求的根；若；则取

否则可取.直到精度达到为止。程序：functionsplit(y,a,b,s)其中y为函数，a,b为根区间，s为精度例：用二分法求方程在[0.5,0.6]间的解，要求精度为，输出各二分点的值和计算次数。解：在matlab命令窗口中输入>>formatlong>>split('x-exp(-x)',0.5,0.6,1e-5)运行结果为：x1=0.567141723632812k=14x=0.5500000000000000.5750000000000000.5625000000000000.5687500000000000.5656250000000000.567187500000000

0.5664062500000000.5667968750000000.5669921875000000.5670898437500000.5671386718750000.5671630859375000.5671508789062500.5671447753906252、牛顿法经典的牛顿迭代公式为：牛顿算法的计算步骤为：准备（选取初值，计算导数值）迭代（按牛顿公式迭代）控制（按照一定的条件进行控制）修改（若达到迭代次数或者导数值为零，则用迭代值代替初值继续进行迭代计算）程序：functionnewton(f,x0,esp,ml)其中f为函数，x0为近似解，esp为精度，ml为最大迭代次数例：用牛顿法求解在附近的根，根的准确值为1.87938524，要求精度为解：在matlab命令窗口中输入>>formatlong>>newton('x^3-3*x-1',1.5,1e-4,10)运行结果为：方程的根和迭代次数分别为：x1=1.879385252252088k=5若初值为2，则根为-1.532088887968161，迭代次数为8；初值为1.3，根为1.879385321982906，迭代次数为3；初值为1.4，根为1.879385376267226迭代次数为4.三、常微分方程数值解1、梯形法梯形法的迭代公式为：梯形法的计算步骤如下：准备（输入初值，计算步长）迭代（按上述公式迭代）控制（满足条件输出解，否则重新迭代）程序：functiony=ladder(a,b,y0,n,esp)其中a,b为区间端点，y0为初值，n为等分点，esp为精度例：用梯形法求解下列初值问题的数值解精度为，n=10，列出各节点数值解，并与精确解比较解：将方程函数写入函数mmyfunc.m中，然后再命令窗口中输入：y=ladder(0,1,1,10,1e-4)，可得到各节点数值解。近似解和精确解的对比表格如下：节点近似解精确解节点近似解精确解0.11.09571.09540.61.48431.48320.21.18361.18320.71.55041.54920.31.26541.26490.81.61391.61250.41.34231.34160.91.67511.67330.51.41511.41421.01.73421.73212、改进的欧拉法改进的欧拉法公式为：

算法的计算步骤为：准备（输入初值，计算步长）迭代（按上述公式迭代）控制（满足条件输出解，否则重新迭代）程序：functiony=myenler(a,b,y0,n,esp);其中a,b为区间端点，y0为初值，n为等分点，esp为精度例：用改进的欧拉法求解精度为，n=10，列出各节点数值解，并与精确解比较。解：将方程函数写入函数mmyfuno.m中，然后再命令窗口中输入：myenler(0,1,0,10,1e-4)，可得到各节点数值解。近似解和精确解的对比表格如下：节点近似解精确解节点近似解精确解0.100.005160.60.209630.211190.20.016950.021260.70.292410.293410.30.045640.0491820.80.390180.390670.40.0868540.089680.90.503420.503430.50.14130.143471.00.632540.63212四、雅克比迭代法解线性方程组，将A进行分解并利用迭代法得到雅克比迭代法公式：算法的计算步骤如下：准备（输入系数矩阵，初始向量）判断（A是否为严格对角占优阵）迭代（若达到最大迭代次数则输出解，否则重新迭代）例：求解方程组精度为，最大迭代次数为10，初始向量为.

解：在matlab命令窗口中输入：A=[8-32;411-1;6312];b=[20;33;36];X0=[000]';jkb(A,b,X0,0.001,10)运行结果为：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛k=8雅可比迭代收敛,此方程组近似解X如下：ans=3.00031.99990.9997程序：矩阵迭代法判定函数functionjkbsl(A)雅克比迭代法函数functionjkb(A,b,X0