统计学-08相关与回归分析

项目八相关与回归分析一切客观事物都是相互联系的，事物的运动和变化亦如此，利用统计分析方法中的相关分析和回归分析，不但可以分析现象之间数量变化的密切程度，还可以找出现象之间数量变化的规律，从而进行所需变量可能值的推断。小蒋为××饮料有限公司D市的销售经理，负责该地区一支15人组成的营销队伍，目前她需要完成的一项重要任务就是制定2009年3月整个地区的销售业绩考核额。按照本公司对营销队伍的薪酬管理，该考核额的高低直接影响营销人员收入的高低：营销员收入＝底薪×业绩系数＋提成业绩系数＝

小蒋应该如何才能科学制定出下月的销售业绩考核额呢？在财务部门的配合下，小蒋收集了近期各月销售业绩额及广告促销费用的相关数据：××饮料有限公司D市近期财务数据任务引入年/月广告促销费用（万元）销售额（万元）年/月广告促销费用（万元）销售额（万元）2008/60.8882008/112.01572008/71.21172008/122.01692008/80.81182009/12.21492008/90.61052009/22.62022008/101.61372009/30.2（财务预算额）任务分析

管理决策往往取决于多个变量及变量之间的关系，同样任务中的销售业绩考核额也可以通过考察与其他变量的联系来确定。根据对公司情况的了解，小蒋知道商品销售额的高低往往要受到当月广告促销费用的影响，因此两变量间的相关与回归分析是解决问题的关键。具体实施过程中应注意相关关系的测定与回归方程的确定与应用。一、相关关系的概念和特点定义特点运用例如，家庭收入和消费支出之间，其中消费支出的多少是由家庭收入的高低影响和决定的，因此消费支出为两变量中的因变量，而家庭收入则为相应的自变量。年龄与血压、播种量与粮食收获量、农作物施肥量与亩产量等之间也存在着一定的相关关系。相关关系就是指现象之间客观存在但又不具有确定性的依存关系。在一个现象发生数量上的变化，另一个与之相联系的现象也会相应地发生数量上的变化。二、相关关系的种类1．相关关系的程度外部因素即自变量x变动时，因变量y的数值不随之相应变动，如家庭收入多少与孩子的多少之间。如果因变量y的数值完全随自变量x的变动而变动，由自变量所唯一确定，即为完全相关。体现在政府对价格的干预。企业定价必须遵循政府的政策法规。不相关完全相关不完全相关

2．相关关系的方向负相关正相关即自变量x的值增加（或减少），因变量y的值也相应地增加（或减少）。如工业总产值增加，企业税利总额也随之增加。。指两变量间的变化方向相反，即自变量值增大（或减小），因变量随之减小（或增大）。如产品成本与企业利润。3．自变量的多少负相关单相关即研究时只涉及一个自变量和一个因变量。如只研究工业总产值的变动对税利总额的影响，就是单相关。即研究时涉及两个或两个以上的自变量和因变量。如产品产值、产品成本、劳动生产率等因素对税利总额的影响。4．变量间关系的表现形式非线性相关线性相关即因变量y值随自变量x发生大致均等的变动，图像近似地表现为直线形式，如销售量与销售额之间。即因变量y值随自变量x发生的变动不均等，图像近似表现为抛物线、双曲线、指数曲线等非直线形式，如人的年龄与医疗费支出之间。三、变量间相关关系的测定（一）相关变量散点图的绘制1．定义图表类型

建立Excel数据文件后，单击工具栏上的“图表向导”

按钮，进入图表类型选择对话框，如图在对话框左侧“标准类型”中选择散点图，而后在右侧“子图表类型”中选择具体散点图的类型，选择完毕后单击“下一步”按钮。2．图表源数据选择

进入图表源数据对话框，在数据区域框中选择自变量和因变量相应的两列数据，单击“完成”按钮，即生成两变量的相关散点图，如图（二）相关系数的计算和应用1.相关系数的概念

相关系数是根据样本数据计算的度量两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标，通常用r表示，计算公式为2．相关系数的计算第一步，在Excel数据文件中，单击工具栏上的“插入函数”按钮

打开相应对话框，如图8-3所示。在“选择类别”栏内选择“全部”，然后在“选择函数”列表中选择“CORREL”，单击“确定”按钮。第二步，打开CORREL函数参数对话框，分别在Array1和Array2栏内选入自变量和因变量的数据区域，如图8-4所示，然后单击“确定”按钮即可计算出两变量的相关系数r。（三）相关系数的性质与应用相关系数的计算问题虽然已经解决，然而其不同数值反映的含义是什么呢？这就需要对相关系数的性质进行了解，相关系数的性质如下：1）相关系数的取值范围在－1～＋1之间，即：－1≤r≤12）计算结果，若r为正，则表明两变量为正相关；若r为负，则表明两变量为负

相关。3）相关系数r的数值越接近于1（－1或＋1），表示相关系数越强；越接近于0，表示相关系数越弱。如果r＝1或－1，则表示两个现象完全直线性相关。如果r＝0，则表示两个现象完全不相关（不是直线相关）。4）判断两变量线性相关密切程度的具体标准为：，称为微弱相关

，称为低度相关

，称为显著相关

，称为高度相关。四、回归分析的概念根据所涉及变量的多少分根据变量变化的表现形式分回归分析类型简单回归多元回归回归分析是指在相关分析的基础上，把变量之间的具体变动关系模型化，求出关系方程式，就是找出一个能够反映变量间变化关系的函数关系式，并据此进行估计和推算。通过回归分析，可以将相关变量之间不确定、不规则的数量关系一般化、规范化。直线回归曲线回归五、回归方程的确定

（一）基本原理当两变量x、y之间存在直线相关关系时，可以用直线方程

近似代替x与y的关系。方程中的参数a是回归直线的起点值，表现为当

时回归直线的y坐标，即y轴上的一个点，数学上叫截距。参数b是回归直线的斜率，即回归系数。它代表自变量x每增加一个单位时，因变量y的平均增加值。a和b

数值确定了，直线回归方程也就确定了。（二）Excel中的回归分析操作1）在Excel数据文件中，单击工具栏上的“工具”按钮，在下拉菜单中选择“数据分析”项，弹出对应对话框，如图2）在数据分析对话框中的分析工具框内，选择“回归”功能项，然后单击“确定”按钮，打开“回归分析功能”对话框，如图在对话框的Y值和X值输入区域中，分别选入因变量和自变量的数据区域，在输出区域选中任意单元格，单击“确定”按钮。3）Excel即在选定的单元格输出回归分析的结果，如图结果内容包括三个部分，其中第一部分是“回归统计”，该部分给出了回归析中的一些常用统计量，其中需要特别关注的是判定系数

（RSquare），其取值范围为[0，1]。

的数值越接近于1，说明回归方程的拟合程度越高，由方程进行的预测也就越准确。第二部分是“方差分析”，给出了检验统计量F（F）、F检验的显著水平（SignificanceF），其中需要特别关注的是统计量F的显著水平。第三部分是回归参数a和b的估计。（三）回归误差及计算

我们根据回归方程，利用已知自变量的数值，就可以推算出因变量的