备战2013高考数学理6年母题精解精析专题数列

【2012高 重庆理1】在等差数列{an}中，a21，a45则{an}的前5项和S5 【2012高考 浙江理7】设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意nN*，均有Sn若对任意nN*Sn0，则数列﹛Sn﹜C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{Sn}是递增数列，Sn＞0不成立．故选C。an

aa

aa

a

2012高考新课标理5已

，5

则 (A)

(C) (D)a1sin

n2012高考理18 n

25，Sna1a2anS1S2,）【2012高考辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= 【答案】

11(a1a11)

【2012高 理12】设函数f(x)2xcosx，{an}是公差为8的等差数列f(a)f(a)f(a) [f(a)]2aa ， 1

1 1

13A、 B、

C

D、【2012高考 理7】定义在(,0) (0,)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义 (0|x.①f(x)x2 ②f(x)2x ③f(x) ④f(x)ln||x.则其中是“保等比数列函数”f(x① B．③ C．① D．② 【答案】

a1a55

，又a47,da4a32.故选【2012高 理4】公比为32等比数列{an}的各项都是正数，且a3a1116，log2a16 (A) (B) (C) (D)【答案】aa16a216a4aaq932loga

3 2 (A)【2012高考卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为(A)【2012高考浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q= 3

2012高 [0.31a为正整数，数列{xnx1a，①当a5时，数列{xn3

xn[xa n](nN)a2

②对数列{xn都存在正整数k，当nkxnxka③当n1时，xn a④对某个正整数kxk1xkxn

a {a

a(1)n

2n

{a 【2012高考新课标理16】数

n满足n

n的 【答案】【解析】由 得 (1)n【解析】由 得 (1)n 2 即 a即

2n

加得

，设

，也有，也有 则a4k1a4k2a4k3 S60

(K

4k1a4k2201214｛an｝a2

,2(a

)

n1，则数列｛an｝的通项公式an 【2012高考 江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_ 【答案】{an},{bn的公差分别为d,ba3b3212(bd)21714，所以bd7，所以a5b5a1b14(bd)74

a1b12(bd)a【2012高 理10】已知{an}等差数列Sn为其前n项和。若则a2

2，S2a3

2012高 2012高

a2

则 2【答案】2n2

a2

得到12d1d)2

2所以d2，故an2n12n25n25n【2012高考重庆理12 1

lim(V1V2Vn)体积分别记为 87

，则 111 8(11

lim(V

V)∴V1+V2+…+Vn 8=

8n，∴

7【2012高考福建理14】数列{an}的通项公式 ，前n项和为Sn，则 21【2012高考江苏20（16分）已知各项均为正数的两个数列{an和{bn满足：an1

an

a2b a2b b

2

1a

nN

nan n

bn1

2a2

nN

{a n

，且

是等比数列，求1和1bn1

2bn2 2

bnnN

22{b 又 22

，∴n是公比是

2若a1 ，则2

，于是b1<b2<b3 an

a

a1a22aa2a2b

，

= 1a2 1a2b 22=a2b 22=222222∴

22。∴a1=b2=2。22.【2012高考理18（本小题满分12分）已知等差数列{an前三项的和为3，前三项的积为8求等差数列{an}的通项公若a2a3a1成等比数列，求数列{|an|}n项和3n（Ⅱ）当an3n5a2a3a1分别为142，不成等比数列；an3n7a2a3a1分别为13n|故

||3n7|3n

n23.【2012高考理19（本小题满分14分a1求数列{an}的通项公式．

2n1

1

1 2【2012高 理20】(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2anS2Sn对一切正整数n（Ⅰ）求a1a2{lg10a1（Ⅱ）设a10，数列 的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的【2012高考理22】(本小题满分14分 已知

y

2

A

fAy用anf(n求对所有n都

f(n)1f(n)

n31成立的an 27f(1)fn当0a1k

f(kf(2k)与

f(0f(1§ 【2012高考理19（本小题满分14分

来源a1

2Sn

2n1

1

1 2（I）（II）设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20

1Sn(aa若a21，求证：

30.30.【2012已知数列{an}n

1n22

kN*,Sn确定常数k{92an求数 【2012高考理21（本小题满分13分数列{xn

0,

x2

c(nN*) 证明：数列{xn是单调递减数列的充分必要条件是c0 求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列（II）由（I）c0①当c0ana10c

xcx,xc22cxc0c② 时

c xcx20x2c10xxc

x2)

xn

c c x 1c

10 4时，

与 n同号cx2x1c0xn2xn0xn1xnclim

lim(x2

c)limx

n c 4时，存在N，使

12

NxN

1

N

N1xN1xN{xn}是单调递减数 0c

4时，数列{xn}是单调递增数列【2012高考理18（本小题满分13分已知{an}nSn，{bn}是等比数列，且a1b12a4b427S4b410求数列{an}与{bn}的通项公式记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn（nN*【2012高考湖南理19（本小题满分12分（n（n（n{}的通项公式A（nB（n，C（n）q的等比数列.（Ⅱ（１）必要性：若数列an是公比为ｑ的等比数列，则对任意nN，an1anqan0A(nB(nC(nB(n)a2a3...an1q(a1a2...an) a1a2... a1a2...C(n)a3a4...an2q(a2a3...an1)

a2a3... a2a3...A(n)＝B(n)＝qA(nB(nC(n组成公比为q的等比数列（２）充分性：若对于任意nNA(nB(nC(n组成公比为q的等比数列，B(n)qA(n),C(n)qB(n)【2011(20118)数列an3bn

bnan1an(n

.若则b32，b1012，则a8 2.(2011年高 卷理科4)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2SA2Sn24，则k 【答案】【解析】Sk2Skak2ak12a1(2k1)d21(2k1)24k4

3.(2011年高 卷理科11)等差数列an前9项的和等于前4项的和.a11,aka40，则k 【答案】98d443

1)d13d 相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑 【答案】【解析】设树苗集中放置在第i20l2[(i1)(i2)

2112 (19i)(20

[(i21

]

) )

6.(201111)在等差数列ana3a737，则a2a4a6a8

a2a8a4a6a3a737，故a2a4a6a82377.(2011年高考江苏卷13)设1a1a2a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是 1 a1

...

2n1【答案】— 9(201120)（12分326498等比数列ana1a2a3326498求数列an的通项公式若数列bnbnan1lnan，求数列bn的前2nS2n1 n3nnln31;n

Sn2132ln1Sn213(ln2ln3)

n1

n)ln3nn1ln3ln223nnln3

2n3n 综上所述 10.(201117)（12分=-an求数列 的前n项和11.(201119)（14分）0的等差数列{an} a1

aR),n项和为Sna1a2a4成等比数列（Ⅰ）求数列{an}A1

1...

B11

...

Sn

2n

nAnBn的大小12.(2011年高考卷理科18)（本小题满分13分1100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlgTn,n≥1.求数列{an设bntanantanan1求数列{bn}的前n项和Sn（Ⅰ）t1t2,……,tn2构成递增的等比数列，其中t11tn2100Tnt1t2……tn1tn2Tntn2tn1……t2t

t

①②t……=t

①×n2

n1

T2 t)

t)……(t

) n2

n1

algTlg10n2n

n (2011年高考卷理科20)（本小题满分14分

3已知数列

满足：

bnanan1bn1an20,bn

，nN*，且a12,a24求a3a4a5c

,n

设

是等比数列；4n

7(nN*)Sa

,k

k1 设

证明 （III）证明：由（II）可得2k 2k 于是，对任意kN*且k2a1a3 a5) 72(1)k2

a2k1) (k将以上各式相加，得 2ka2k

(1)k1(k

， (1)k1(k，k=1时也成立.由④式得从而S2ka2a4a6a8S2k1S2ka4kk(201118)（12分

aa(a

ba

ba

ba

，满足

，

，

， 若a1，求数列an的通项公式若数列an唯一，求a的值 年高考湖南卷理科16)对于

nN

，将n表示为n

2k

2k1

2k2

21

，当i01k2kai1，当1ik时ai为0或1.In为上述表示中ai为0的个数（例如：1121k2k2In

（2）通过例举可知I10I21I42I83I164I325I646I1287，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“ 2In(1111111)20(123456)21(1361015)(141020)23(1515)24(16)25126.景，着重考查等比数列求和以及“三角”中的规律的理解和运用.b

a

a1=b,an

2n

(n(2011年高考卷理科20)设求数列an的通项公式；

数列n

an2n1

b

（

an

nbn(bbn

bnb2(2011年高考卷理科19)（本小题满分13分{a

aa(a0),

rS(nN,rR,r

nn项和为n，且满足：

(Ⅰ)求数列{an(Ⅱ)kNSk1SkSk2成等差数列，试判断：对于任意的mN，且m2am1amam2是否成等差数列，并证明你的结论对于任意的mN，且m2am1amam2anr=0an

a,n1,0,na a nN设实数数列n的前n项和n满足 n1若a1S22a2成等比数列，求S2和求证：对k3

0

an43。43（Ⅱ）证明：有题设条件有an1Snan1SnS1,

an1

S

,

故 ，

a

k ka k1 k k2 k k从而对k3

Sk

1

3

Sk2

k k a2

1

k

k

k 2

a2 ，

k a

k 4a要证 a

a2ka2

即证k

4

ak

，即ak

22

ka4kk因此

a

ak 1

k

a2a ， ， 又因ak0

a2a

，即ak10 19．(2011年高考卷理科20)(本小题共12分1d为非零实数，an

n bn=ndann∈N*)，求数列{bn}nSn．（1）ad,ad(d1),

d(d 120.(2011年高 卷理科20)设数列an满足a10且1a

1a

（Ⅰ）求

（Ⅱ）

bn

记Snbk证明k21.(201120)M为部分正整数组成的集合，数列{an的首项a11SnkMn>kSnk

2(SnSk都成M

a22a5M=｛3，4（2）由题意n3Sn3Sn32(SnS3(1);n4Sn4Sn42(SnS42n4,Sn4Sn22(Sn1S3),(3);n5,Sn5Sn32(Sn1S4),n5时，由（1（2）an4an32a4（3（4）

an5an22a4,由（1（3）an4an2由（2（4）an5an3由（7（8）知：an4,an1,an2,成等差，an5,an1,an3,成等差；设公差分别为：d1,d2, an5an32d2an42a42d2,(9);an4an22d1an52a42d1,(10);（（ an5an4d2d1,2a4d1d2,an2an3d2d1;（（ （1（2）2a18a228d2(2a17a29d),即3a25d1a23,d2,an2n22．(201123)（10分,n},a设整数n4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点其中a,b,n},aAn为满足ab3PAn1(a记Bn为满足 23．(2011年高 卷理科20)（本小题共13分Ana1a2,an(n2an1

1(k12n1AnE写出一个满足a1as0，且SAs〉0EAn若a112，n=2000，证明：EAn是递增数列的充要条件是ann（n≥20EAn，使得SAn=0EAn；如果不存在，说明理由。（Ⅰ）0，1，2，，0（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）[来源:（Ⅱ）必要性：因为EA5所以ak1

1(k.n(n1)[(1c)(n1)(1

)(n2)(1

因为

所以*1c1)(n11c2)(n21cn为偶数SA)0,必须n(nn

为偶数24．(201116)（13分已知等比数列{an}q=33S3=3x若函数f(x)Asin(2x)(A0,0p)在 为a3，求函数f（x）的解析式。25．(2011年高 卷理科22)（18分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an3n6bn2n7（nN* {x|xa,nN*}{x|xb,n

。。（1）求c1c2c3c4,a2n；求证：在数列{cn}中．但不在数列{bn}中的项恰为a2,a2n；求数列{cn}【2010

S5（2010浙江理数（3）设Sn为等比数列an的前n8a2a50

解析：解析：通过8a2a50，设公比为q，将该式转化为8a2a2q30，解得q=-

aa

aa...a（2010卷2理数（如果等差数

中，

那么 （6）S37,S5

(B)

(D)【答案】11a2q4

a1

Sa(1qq2)a2a4=1可得

，又因为

4(11S

(13)(12)式有

q=2,

1 2

B（ 江西理数）5.等比数列an中，

a12，

=4，函数(xa8fxx(xa1)((xa8

f'0， （

lim111 1x

3n（2010江西理数

5

C. D.【答案】

lim(

13n)

1 3（1）A. B. C. D.a2010q3

q

q 理数（已知数列an的首项a10其前n项的和为Sn

Sn12Sna1limann1 （C） 理数（已知ann1n

1

是ann9s3s6aa则数列

n5 （A）8或 （C） （D）9(1q3

11

q

，所以

11( 5

T5

1 理数）4.已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2a32a1，且a452a74，则S5=w_ww.k*s_5u.c 理数）10、设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和X,YZ，则下列等式中恒成立的是AXZC、Y2

YYXZZX、B、、YYXXZX、D（2010理数）7、如图，在半径为r的园内作内接正六边形，再 lim续下去，设nn个圆的面积之和，则nn8A．2r

3r

4r

6r（2010福建理数ann项和为Sn,a111a4a66,Sn取最小值时,n等于 （2010辽宁理数）（16）ana133an1an2n

n的最小值为 an33n所以 33n

331f(n

，令f(n

，则f(n)在(33上是单调递增，在(0,33n∈N+,n=56f(na5

a663

a6又因为

，

，所以，n的最小值为 项公式an 为正整数，a1=16，则a1+a3+a5= 22

x2ak(xak),当y0时，解 x ak,aa

1641k

（2010江西理数）22.（14分高☆考♂资♀源*网）a,b,c(b<c)，使得a2，b2，c2nan，bn，cn为正整数且

a2，b2，c

2，2， n

b2a2c2n4n(n214n(n21)(2n2)(2n22n)(2n22n)(2n2)4n(n2（20（已知集

SnX|Xx1x2,…，xnx1{0,1i12,…n}(n 对AB(|a1b1|,|a2b2|,…|anbnAB

d(A,B)

ABCSn有ABSndACBC)dABABCSndABdA,Cd(B,CPSn，Pm(m≥2)Pdd（P）≤2(m1由题意知aibici0,1(i12n当ci0时||aici||bici||||aibi|n当ci1时||aici||bici|||1ai1bi||aibind(AC,BC)|aibi|d(A,所 d(P)C2

nmd(A,B)

2(m从 m （21（已知数列{an}a1＝0，a2＝2m、n∈N*都有（Ⅰ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}n

n(n (qnqnnqn1(n1)qn(q (q

12（22（在数列ana10，且对任意kN*a2k1a2ka2k1成等差数列，其公差为dk若dk2k，证明a2ka2k1a2k2成等比数列（kN*若对任意kN*a2ka2k1a2k2成等比数列，其公比为qk(2)nn=2m+1（mN*nk

2mk

(2m1)

(2maa

4m k2

k2

2m(m4m1 2n3 2(m nnk

nkak2nak所 k

2n1

2nak2a

232n 2（1（2）

k2（22）(

an中

can

c5,b n an2n

求使不等式anan13成立的c的取值范围（18（已知等差数列ana37a5a726，ann项和为Sn求anSn1

na2n

(nN*)，求数

n项和Tn（Ⅰ）设等差数列and，因为a37a5a726a12d

10d

a3,d ，解得

所以an32n1)=2n+1Sn

n22n =1

1 a

a21（2n+1)2 4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，所以bn=

= nn+1）21（

1

，n (nN*，n 点

是函

fn(x)3

2(3ann

3nan

a=0时，求通项ana，使数列an是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说理数证明111l（n+1）+ （n

2（2010理数）20（本小题满分12分设数列a1,a2

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都1

11

a1an1（2010江苏卷）19（16分n n

的前n项和为Sn

a3，数列

求数列an的通项公式（用nd表示设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数mnk，不等式SmSn9c2[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分d0

(n1)d (n2aaa3aS3(SS) d)2a]2

3

dd2

d,

dnd(n1)dnd,Sn2dn，n

aSS

n2d2(n1)2d2(2n1)d

n 时

n

故所求

(2n1)d【20095

{an

n

=6a1=4d

C DS

63(aa3，且，且

a3a12da1

d=2.故选9．(2009理４)已知等比数

{an}满足

22n(n，则当n1时，log2a1log2a3 log2a2n1，Ａ．n(2n

Ｂ．(n

Ｃ．

Ｄ．(ns4=A．7

4a

4a,即

aq24aq,q24q4解析：41223q2，S415,

7

an}的前n项和为 ，8

S3=3， S A．

q66

3

q9 8 答案： 解析

3 q33

q1，

q32

q6

4 33．(2009·14)等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35则a411，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 解析：由题意可设第n次报数，第n1次报数，第n2次报数分别为anan1an2，所以有anan1an2a11a211005次。q

S4

2n项和为Sn

. C1C523 C1C5C927 ,C 2C 2 1

C13C17215 N

…C4n1

,

.8．(2009·20)等比数列ann项和为，已知对任意的nN，点(n.Sn均在函ybxr(b0且b1,br均为常数的图象上。(Ⅰ)r(Ⅱ)b=2时，记bn2(log2an1)(nb11·b21 bn1证明：对任意的nN，不等式 成解：:因为对任意的nN,点(nSnybxr(b0且b1brSbn

n

a

b

n像上.所以 , 时 ,aS bnr(bn1r)bnbn1(b 时, b

(b

,又因为{n}为等比数列,r1,公比为,所以当nk1时,不等式也成立【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关题,以及放缩法证明不等式. 21)已知曲线

:x22nxy20(n1,

P(1,

向曲线Cn斜率为kn(kn0的切线lnPn(xn,yn(１)求数列{xn}与{yn11nx11n

解： 设直线

ykn(x

，联

x22nxy2 (1k2)x2(2k22n)xk2 (2k22n)24(1k 2n2n2n2nnn

，

，(k nx2

舍去)[来 n2n2nn 1kn

(n

xnn

ynkn(xn1)

n10(2009·江苏17设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足 a2a2a2 求数列an的通项公式及前n项和Sn试求所有的正整数m

为数 中的项[解析]1411．(2009理首项为正数的数列an}

1

23),n*.*(Ⅰ)证明：若

为奇数，则对一切n

，

(Ⅱ)若对一切nN*，都有an1ana113解：(I)a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中ma2

k m(m1)1

根据数学归纳法，对任何nNan12．(2009理22)已知等差数列

ab a

anbn

aba

N设n=11+22

,n=11-22+…..+(-

a1b11，d=2，q=3，求

若b1=1，证明(1-qS2n-(1+q)T2n

2dq(1q2n)1q2

，nNn2nqk1k2kn和l1,l2,...,ln是12...，n nc1akb1akb2...akbn n

nc2alb1alb2...al n

c1证 14分。a2n1,b3n1,n(Ⅰ)解：由题设，可得 所以S3a1b1a2b2a3b3113359当kili时，得kili1,由qn，得kiliq1,i1,2, k

q

(kl)qq(q

)qi2qi2(q即

，

…， 【2008

a 2)记等差数列{an}n项和为Sn，若 解析S426d20，d3，故S6315d

2，S420，则S6 a 2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若

2，S420，则S6 12345678 ．．．．．．按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数 n2n答案

(n(n解析：前n1行共用了123 个数，因此第n行(n3)(n(n1)n nn2的第3个数是全体正整数中的 个，即 卷理17)已知数列{an}是一个等差数列，且a21，a55求{an}an求{an}nSn4.(2008·1920)将数列｛an｝中的所有项按