数学建模培训-概率模型

§2概率模型一、概率论的诞生及应用二、传送系统的效率三、允许缺货的存储模型四、报童的诀窍五、随机人口模型

1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢

c局便算赢家,若在一赌徒胜

a局

(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.（一）概率论的诞生及应用1.概率论的诞生2.概率论的应用

概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律.概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,确定性现象

“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象确定性现象的特征

条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.

随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.实例2

明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨.特征:条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系

,其数量关系无法用函数加以描述.1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.3、概率的定义AndreyNikolaevichKolmogorov1903.4--1987.101）等可能概型(古典概型)定义

设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:

古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球(2)有放回地摸球例1

某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周内接待12次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为例2

假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.64个人生日各不相同的概率为故64个人中至少有2人生日相同的概率为解说明我们利用软件包进行数值计算.例3

彩票中的数学(2002B)“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如下表（X表示未选中的号码）。例3

彩票中的数学中奖等级10选6+1（6+1/10）

基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef

选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）例3

彩票中的数学

总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如后，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额

×总奖金比例)

-低项奖总额

]×单项奖比例例3

彩票中的数学序号

奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%200205例3

彩票中的数学10选6+1（6+1/10）型

彩民获各项奖的概率

“乐透型”及其余概率计算(略)例3

彩票中的数学否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周内接待12次来访共有确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型传送带挂钩产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。背景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径（二）传送系统的效率问题分析

进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。

可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。

工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。模型建立

定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数n（已知）之比，记作D=s/n

若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则s=mp为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？

设每只挂钩为空的概率为q，则

p=1-q如何求概率

设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则q=rn

设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n,则

传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率的途径：

增加m当n远大于1时,E

n/2m~E与n成正比，与m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)模型推广(改进)法1:E

n2/6m2

增加m法1.增加一个周期内通过工作台的钩子数m法2.在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子其它条件不变

若法1中m增加一倍,哪种办法好?法2:E

n/4m（三）允许缺货的存储模型一、问题的提出在商店里，若存储商品数量不足，会发生缺货现象，就失去销售机会而减少利润；如果存量过多，一时售不出去，会造成商品积压，占用流动资金过多且周转不开，这样也要造成经济损失．那么如何制定最优存储策略呢？这就面临着市场需求的随机性问题，试建立数学型，制定最优存储策略．二、模型假设

允许缺货，缺货费为C2需求是连续的、均匀的,需求速度R为常数

t时间的需求量Rt每次定货量不变，定货费C3

不变单位存储费不变,记为C1

存储量与时间关系图QTOS

三、模型建立假设最初存储量为

可以满足

时间段的需求

平均存储量为

平均缺货量为

在t时间内所需存储费：

在t时间内的缺货费：

订货费：

三、模型建立平均总费用：

求最佳存储策略,使平均总费用最小.

四、模型求解利用多元函数求极值的方法求解

四、模型求解利用多元函数求极值的方法求解

四、模型求解当C2很大时（不允许缺货）

结果分析

两次订货间隔时间延长

四、模型求解在不允许缺货的情况下结果分析

订货量

在允许缺货情况下，存储量只需达到

时间内的最大缺货量

五、模型的分析与推广

这里的模型是在假定需求是连续均匀的，且需求速度为常数.

事实上在大多实际问题中需求速度是随机的，这样模型的使用受到了一定的局限．

例一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元，问该鞋店多少天批发一次最好，进货量为多少？最佳进货周期（天）

进货量

（双）不允许缺货例题（四）报童最佳订购报纸模型一、问题的提出在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保存等特点的物品，因此在整个的需求过程中只考虑一次进货的问题．这就产生一种两难局面：定货量过多，出现过剩，会造成损失；定货量少，又可能失去销售机会，影响利润．报童就面临这种局面.报童每天早晨从邮局买报纸在街上零售，到晚上卖不完的报纸可退回邮局，每份得赔钱，那么报童每天应该订购多少份报纸．二、模型假设

（1）邮局有足够的报纸可供报童购买；（2）当天的报纸卖不出去，到明天就没有人再买；（3）每份报纸在当天什么时候卖出是无关紧要的；（4）报童除了从邮局买报所需费用以外,其它费用一概不计。三、模型建立

随机变量分布律为

分析：每天从邮局订购Q份报纸，每卖出一份报纸能挣k分钱；每退回邮局一份报纸，得赔h分钱。1、供过于求:平均损失费为卖出报纸的数量

三、模型建立

2、供不应求:平均损失费为总的平均损失费用模型优化模型四、模型求解用差分法求解

从中解出Q．

四、模型求解用差分法求解

得

即

于是得最佳订货量

从报童赢利的最大期望出发，求得最佳订购量定期定量定货一般情况，上一阶段未出售的货物可以在第二阶段继续出售，这时只要将第一阶段未出售的货物数量作为第二阶段初的存储量，仿照上述方法可求得最佳存储策略．五、模型的分析及推广（五）随机人口模型背景

一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区平均生育率平均死亡率确定性模型一个家族或村落出生概率死亡概率随机性模型对象X(t)~时刻t

的人口,随机变量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。

bn与n成正比，记bn=n,