材料力学课件第六章梁的变形6464

第六章弯曲变形材料力学§6–2挠曲线近似微分方程§6-3用积分法求梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形第六章弯曲变形§6-5梁的刚度计算§6-1概述§6-6简单超静定梁§6-8提高弯曲刚度的措施§6-7梁的弯曲应变能弯曲变形一、工程中的弯曲变形问题§6-1概述PAB一、弯曲变形的量度yx1.挠曲线：变形后梁的轴线。2.挠度ω：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。向上为正。x挠曲线方程：3.转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即y轴与挠曲线法线的夹角，或x轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方向为正。小变形：挠曲线弯曲变形即:截面转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。弯曲变形横力弯曲时,如果是细长梁,可略去剪力对梁的变形的影响，但M和都是x的函数：纯弯曲时曲率与弯矩的关系式为：由高数几何关系知,平面曲线w=f(x)上任意一点的曲率可写作：6由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,ω’2远比1小,可以略去不计：称为梁的挠曲线近似微分方程M0yxMMM<0MM弯矩M与二阶导数ω‘’的正负号始终一致！符号判定7挠曲线近似微分方程：C、D—积分常数；由边界条件和连续性条件确定。弯曲变形若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成：上式积分一次得转角方程：再积分一次,得挠度方程：§6-2挠曲线近似微分方程弯曲变形在简支梁中,左右两铰支座处的挠度wA和wB都应等于零。在悬臂梁中,固定端处的挠度wA和转角A都应等于零。ABwA＝0wB＝0ABwA＝0A＝0边界条件(boundarycondition)ABAB不可能不可能连续性条件(Continuitycondition)在挠曲线的任一点上,有唯一确定的挠度和转角。如:9讨论：xyCBA分几段？问题的边界条件、连续条件？边界条件连续条件A处：wA=0B处：wB=0AB、BC两段B处：w1=w2q1=q2A处：wA=0，qA=0仅OA一段。OqA如果弯矩方程是分段描述的，或梁的弯曲刚度在全长内有变化，则求变形时需分段积分；多分一段将多出两个积分常数，同时增加两个连续条件。10例：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠度方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。ABlxxy解：以梁左端A为原点,取直角坐标系如图，令x轴向右,y轴向上为正。(1)列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分11(3)由边界条件确定积分常数代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0处:w＝0θ＝0积分：12ABlxxwF(4)建立转角方程和挠度方程将C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度自由端B处的转角和挠度绝对值最大。wmaxmax所得的挠度为负值,说明B点向下移动;转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转动。13RBRAlABq例：用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1)求支座反力，写弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分(3)利用边界条件确定积分常数14(5)求转角和挠度的最大值(4)求转角方程、挠度方程弯曲变形的对称点：θ＝0。弯曲变形ABqxyqAqBwmaxl/215例：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。解:（1）写出弯矩方程以左端A为坐标原点，将梁分为I和II两段,其弯矩方程分别为:求出梁的支反力为:xlABFabFAFBDIII16梁段I(0xa)梁段II(axl)（2）建立挠曲线近似微分方程并积分积分一次转角方程再积分得挠曲线方程挠曲线微分方程在对梁段II进行积分运算时,对含有(x-a)的弯矩项不要展开,而以(x-a)作为自变量进行积分,这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。17D点的连续条件：在x=a处：q1＝q2,w1＝w2边界条件:在x=0处,w1＝0在x=l处,w2＝0代入方程可解得:（3）由边界条件和连续条件确定积分常数xlABFabFAFBDIII18梁段I(0xa)梁段II(axl)将积分常数代入得：转角方程挠曲线方程19对于简支梁而言，最大转角一般发生在梁的两端截面处，将x=0和x=l分别代入转角方程有：当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大:（4）确定最大转角与最大挠度xlABFabFAFBDIII20根据极值条件，在w'＝0即q=0处，w取得极值。研究第一段梁,令w'1＝0得：当a>b时,x1<a,最大挠度确实发生在第一段梁中，该最大值为：xlABFabFAFBDIII最大挠度：21讨论:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？则：当F从梁中点位置向B支座移动时，b值逐渐减小，x1从0.5L向0.577L趋近（当F接近B点时）；此时最大挠度的位置距离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。在极端情况下,当b非常小,以致b2与l2项相比可以略去不计时：xlABFabFAFBDIII22梁中点C处的挠度为：结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的。略去b2项,得:a例：用积分法求C截面的转角和挠度，设EI为常量。lABPC解：(1)求支座反力，分段写弯矩方程(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分RARB(3)确定积分常数ABPC边界条件：连续性条件：(4)C截面的挠度和转角25条件：由于梁的变形微小,梁变形后其跨长的改变可略去不计,且梁的材料在线弹性范围内工作,因而梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。在这种情况下,梁在几项载荷(如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角,就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加，此即为叠加原理。§6-4用叠加法求梁的变形简单荷载作用下梁的挠度和转角见表6.1。26例：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。BAqlMeC解：将梁上荷载分解为荷载q和Me单独作用的简支梁。表中第9、5栏27例:试利用叠加法,求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解：该荷载可视为正对称载荷与反称对载荷两种情况的叠加。(1)正对称载荷作用下(2)反对称荷载作用下，跨中挠度wC2等于零。(3)将相应的位移进行叠加（）28例：悬臂梁受力如图所示，梁的抗弯刚度为EI。求梁自由端B的转角θB和挠度yB。alPBCθCyCyB解：查表第2栏：结果同第3栏29例：悬臂梁受力如图所示，梁的抗弯刚度为EI。求梁自由端B的转角θB和挠度yB。yB解：（1）载荷分解：（2）分别计算：（a）y11（b）y2（c）y3330（3）叠加：（c）y3331=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价PL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCM例：梁抗弯刚度为EI，求B处的挠度与转角、C处的转角。逐段刚化法32w2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1叠加：例：用叠加法求C截面的转角和挠度，设EI为常量。alABPC解：(1)假设CA段为刚性，AB的变形所引起的C截面的转角和挠度PPaABCPAC(2)假设AB段为刚性，则外伸段CA可看作悬臂梁：表中第2栏表中第5栏(3)叠加法求C截面的挠度和转角例：等截面平面刚架求自由端A的水平位移xA和竖直位移yA。abEICEIPAB刚化ABABPC刚化BCPCABABCPa等价等价PAB解：(1)刚化AB段：(2)刚化BC段：刚化AB:刚化BC:(3)叠加：ABCPaPAB*逐段刚化法（梁的轴向变形可忽略）一、刚度条件：二、应用三种刚度计算：2设计截面1刚度校核3确定许可载荷§6-5梁的刚度计算例：一空心圆梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[w]=0.00001m,B点的[]=0.001弧度,试校核此梁的刚度.=++==++图1图2解：结构变换，查表求简单荷载下的变形。叠加求复杂载荷下的变形校核刚度所以刚度足够。计算空心圆梁Iz:代入计算变形量：一、基本概念弯曲变形2超静定问题：单纯依靠静力平衡方程不能确定出全部未知力（支反力、内力）的问题。1静定问题：单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反力、内力）的问题。3超静定次数n：n=未知力数－独立的平衡方程数BFACFBA§6-6简单超静定梁1静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等都不引起内力，即静定结构无装配应力、无温度应力等；而超静定结构中，任何因素都可能引起内力。2静定结构与结构的材料性质和截面尺寸无关，而超静定结构与结构的材料性质和截面尺寸有关。二、超静定结构的特性3超静定结构的刚度比相应的静定结构要大。4超静定结构在多余联系破坏后，仍然能维持几何不变性，而静定结构在任一联系破坏后就变成了几何可变体系。弯曲变形=RBAB弯曲变形q0LAB[例]求支座B的反力。（2）变形协调方程：解：(1)确定基本未知量，选择基本结构+

ABq0(3)物理方程(4)补充方程ABRBq0变形比较法(2）变形协调方程：解：(1)确定基本未知量，选择基本结构[例]求BC杆的内力。等价LBCLq0+=(3)物理方程(4)补充方程等价LBCLq0+=弯曲变形[例]如图所示双梁系统，弹簧刚度K，上下梁的抗弯刚度均为EI，求（1）弹簧受力大小，（2）当P/(q0l)=?时弹簧不受力。l/2F下梁F上梁l/2l/2l/2解：(1)确定基本未知量

选择基本结构弯曲变形故当P/q0l=5/8时，F=0弹簧不受力。(2)变形协调方程：(3)物理方程(4)补充方程F下梁F上梁弯曲变形[例]两端固定梁，求内力。BACFabl二次超静定结构ABFC(2)变形协调方程：解：(1)确定基本未知量，选择基本结构(3)物理方程弯曲变形(4)补充方程BACabl＝ABFC(5)叠加法求内力ABCMF一、弯曲应变能：应变能等于外力功。不计剪切应变能弯曲变形曲率M(x)OO曲率中心曲率半径M(x)§6-7梁的弯曲应变能[例7-16]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？弯曲变形FaaACBMFa/2挠曲线近似微分方程：转角方程挠度方程C、D——积分常数；由边界条件和连续性条件确定。弯曲刚度条件：弯曲正应力强度条件：弯曲变形§6-8提高弯曲刚度的措施一、选择合理的截面对于面积相等的不同形状的截面，若Iz则、梁的抗弯刚度提高工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。说明：各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。弯曲变形选择I/A较大的截面二、改善梁的受力情况1.合理安排梁的约束，减小梁跨。qqlq0.6l0.2l0.2lM弯曲变形2.改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。Pl/2l/2Pl/4l/4l/4l/4M弯曲变形一、选择题1、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大发生在（）处。A挠度最大。B转角最大。C剪力最大。D弯矩最大。2、挠曲线方程中的积分常量主要反映了（）。(A)对近似微分方程误差的修正；(B)剪力对变形的影响(C)约束条件对变形的影响(D)梁的轴向位移对变形的影响DC本章习题弯曲变形3、梁的挠度是。（A）横截面上任一点沿梁轴垂直方向的线位移。（B）横截面形心沿梁轴垂直方向的线位移。（C）横截面形心沿梁轴方向的线位移。（D）横截面形心的位移。4、在下列关于梁转角的说法中，是错误的。（A）转角是横截面绕中性轴转过的角位移。（B）转角是变形前后同一横截面间的夹角。（C）转角是挠曲线之切线与轴向坐标轴间的夹角。（D）转角是横截面绕梁轴线转过的角度。BD弯曲变形5、下面关于梁的挠度和转角的结论正确的是。（A）挠度最大的截面转角为零。（B）挠度最大的截面转角最大。（C）转角为零的截面挠度最大。（D）挠度的一阶导数等于转角。6、在下面这些关于梁的弯矩与变形间关系的说法中，是正确的。（A）弯矩为正的截面转角为正。（B）弯矩最大的截面挠度最大。（C）弯矩突变的截面转角也有突变。（D）弯矩为零的截面曲率必为零。DD弯曲变形7、在等直梁的最大弯矩所在面附近，局部加大横截面的尺寸