《离散型随机变量的均值》示范公开课教案【高中数学北师大】

《离散型随机变量的均值》教案教学目标教学目标1.通过实例理解离散型随机变量的均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系．2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．3.体会运用离散型随机变量的均值思想描述和分析某些随机现象的方法，在简单应用中培养学生分析和解决问题的能力．教学重难点教学重难点教学重点：离散型随机变量均值的含义及其应用．教学难点：离散型随机变量均值的含义及其应用．教学过程教学过程一、新课导入问题1：已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中不合格品的件数，求X的分布列．答案：根据分布列的求法，可以求得X的分布列如下表：k012P(X=k)问题2：在问题1的条件下，从这10件产品中任取3件，平均会取到几件不合格品？可否根据分布列得到一个数，这个数能“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？探究：由于随机变量X可能的取值为0，1，2．可否将三者的算术平均“1”“代表”这个随机变量的平均水平呢？为什么？探究新知：问题3：设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg，3个质量是6kg，5个质量是7kg，求这12个西瓜的平均质量．分析：西瓜的平均质量应为12个西瓜的总重量除以西瓜的总个数，即（kg），也即（kg）．显然，西瓜的平均质量不是5kg，6kg，7kg的算术平均，而是等于各个质量乘相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是5kg，6kg，7kg的加权平均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例．引导分析：类比问题3的方法，给出问题2的解决方法．用随机变量X三个取值0，1，2的加权平均来代表随机变量X的平均取值，其中0，1，2的权重分别是X取这个值时的概率，即在一次抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品．思考1：用上述方法求得随机变量X的平均取值是否合理？答案：合理，这种取平均值的方法，考虑到了不同变量在总体中的比例份额，变量所占份额越大，对整组数据的平均数影响越大．思考2：抽出的不合格品的平均值是否可以是小数？可以，这个平均值的意义在于告诉我们抽出的不合格品最有可能出现的一个值，作用在于对结果的估计，得到的结果可能是与它接近的一个整数．问题4.能否将上述求离散型随机变量平均值的方法推广到一般情形？1．概念形成设离散型随机变量X的分布列如下表：XP则称为随机变量X的均值或者数学期望（简称期望）．2.概念理解（1）均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征．（2）均值EX是随机变量X取各个值的加权平均，由X的分布列完全确定．问题5.随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？答案：随机变量的均值是一个常数，而样本均值是一个随机变量，样本均值随样本的变化而变化，这是两个均值的根本区别，在随机变量均值未知的情况下，通常用随机变量的观测值的平均值估计随机变量的均值．三、应用举例例1设随机变量X服从参数为p的两点分布，求EX．解：由均值定义，得EX=0•P（X=0）+1•P（X=1）=0•（1-p）+1•p=p．所以，服从参数为p的两点分布的均值EX=p．例2设X表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX．解：依题意知X的分布列为如下表：i123456P(X=i)根据均值的定义，可知．例3一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？解：设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2．，，．因此，Ｘ的分布列如下表：Ｘ012Ｐ根据均值的定义，可知：．总结：求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；(2)求出X取每个值时的概率；(3)写出X的分布列；(4)利用定义公式EX=例4根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．试比较哪一种方案好．解：用，和分别表示以上3种方案的损失．采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元，即=3800，故E=3800元．采用方案2，遇到大洪水时，损失62000元；没有大洪水时，损失2000元，因此E=62000×0.01+2000×（1-0.01）=2600（元）；采用方案3，遇到大洪水时，损失60000元；遇到小洪水时，损失10000元；无洪水时，损失为0元，因此E=60000×0.01+10000×0.25=3100（元）．由此可见，就平均而言，方案2的损失最小．思考3：为什么可以通过比较均值作出决策？答案：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，进而做出决策．四、课堂练习1.已知离散型随机变量Ｘ的分布列如下：X123P则数学期望E（X）=（）．A.B.C.1D.22.甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：甲得分：X1123P0.40.10.5乙得分：X2123P0.10.60.3则甲、乙两人的射击技术相比（）．A．甲更好B．乙更好C．甲、乙一样好D．不可比较3.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为______．4.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记Ｘ为小明的累计得分，求Ｘ的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．参考答案：1.由题意可知：．故选Ｄ．2.因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好．故选：B．3.记抽到自己准备的书的学生数为Ｘ，则Ｘ可能值为0，1，2，4，，，，则．4.（1）由题可知，Ｘ的所有可能取值为0，20，100．P(X=0)=1-0.8=0.2;P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32;P(X=100)=0.8×0.6=0.48．所以Ｘ的分布列为Ｘ020100P0.20.320.48（2）由（1）知，E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100．P(Y=0)=1-0.6=0.4；P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；P(Y=100)=0.8×0.6=0.48．所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=54.4．．因为54.4<57.6，所以小明应选择先