《用向量方法研究立体几何中的度量关系（1）》示范公开课教案【高中数学北师大】

《用向量方法研究立体几何中的度量关系（1）》教案教学目标教学目标1．能用向量语言表述线线、线面角．2．能理解研究线面所成角的向量法的形成过程．2．能用向量方法求线线角和线面角以及相关应用．3．通过线线角和线面角求解问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养．教学重难点教学重难点重点：能用向量语言表述线线、线面角．难点：能用向量方法求线线角和线面角以及相关应用．教学过程教学过程一、新课导入问题引入：之前我们学习了空间向量，并分别用几何的方法和向量的方法研究了空间中直线和平面的特殊位置关系——线线、线面、面面的平行、垂直关系，那么我们还可以研究哪些问题呢？学生回答：（1）研究度量关系；（2）研究既不垂直也不平行的一般情况.师小结：刻画这些位置关系的一个关键的量就是角．垂直与平行，从某种意义上来说都是特殊的角的关系(0°与90°)，这也是一种特殊的度量关系.师出示课题：用向量方法研究立体几何中的度量关系（1）．设计意图：通过开放性问题，让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法.引导学生回顾学过的知识，通过复习回顾有利于后续问题的研究，顺利进入本节课内容．二、新知探究探究1：研究异面直线所成角的求法.问题：如何用空间向量求两条直线的夹角？分析：（1）两条直线夹角的定义（2）两条直线夹角的取值范围（3）两条直线夹角的向量求法结论（1）两条直线夹角的定义平面内，两条直线a与b相交时，我们把两条直线交角中范围在（0空间中，当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O，过点O直作线a'与b'，使得a'//a，b'//b，把a'与（2）两条直线夹角θ的取值范围0（3）两条直线夹角θ与它们的方向向量的夹角关系思考：如下图，<CD，AB>与θ的关系？分析：设直线CD的方向向量为a，直线AB的方向向量为b.则直线AB与CD所成的角θϵ[0，π2]，且当0≤<a，b>≤π故cosθ=|探究2：研究直线与平面所成角的求法问题：如何用空间向量求直线与平面所成的角？分析：（1）直线与平面所成角的定义（2）直线与平面所成角的取值范围（3）直线与平面所成角的向量求法结论：（1）直线与平面所成的角定义：平面α外的一条直线l与它在平面α内的投影的夹角.特殊地：①若l//α或l⊂α，则l与α的夹角为0.②若l⊥α，则l与α的夹角为（2）直线与平面所成角的取值范围0（3）直线与平面所成角θ和<l，n思考：如图，设AB的方向向量为l，AC⊥平面α，垂足为C，平面α的法向量为n，思考：直线AB与平面α所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角分析：直线AB与平面α所成的角是∠ABC=θ，设计意图：通过对用向量方法研究几何中的度量关系进行探究，在探究中引导学生一步步思考，在思考中获得知识，形成知识点以及对知识点在实践中的运用．三、应用举例例1如下图，在空间直角坐标系中有长方体直三棱柱ABCD-A'B'C'解：设s1，s2分别是s1因为A0，0，0所以s1=设AC'与A'cosθ=|cos<故AC'与A'小结：用空间向量求两条直线l1，l2例2．如下左图，在正三棱柱ABC-A1B1C1解：由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以点A为原点，AC，A由∆ABC是边长为2的正三角形，可得B'所以A设直线AB'与侧面ACCsinθ=|cos<所以直线AB'与侧面ACC小结：用空间向量求直线l与平面α所成角θ的步骤与方法：设计意图：通过两个例子对用线线角、线面角进行实际应用，加强对线线角和线面角实际问题的思考，学生在实践中加强练习，懂得运用方法进行问题解决，尝试自主实践，进行迁移应用．四、课堂练习1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120∘，A.12B.105C.1552.设直线l1的方向向量为s1=（1，1，1），直线l23.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1参考答案：1.C解析：解：由题意得知：AB1∙BC1=-BA

+BB1∙BC

+B2.1解析：由题意得知：cosθ=cos<s1，s2>3.60解析：因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为3，AB=1，所以AA1=3.以D为原点，DA为x设直线AB1与CD1所成的角为θ，则所以θ=60°，所以直线AB1五、课堂小结1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．2．两类夹角问题的向量求法角