概率论与数理统计第八章

第八章假设检验

在实际工作中，经常遇到这样的情况：人们对所考察的总体的分布虽然缺乏确切的了解，但由于问题的实际意义、历史资料或实践经验，能对总体的某种统计特征做出一定的推测．比如，某总体的均值为或方差为

；两个总体的均值或方差相同；总体服从某一已知的分布等等．那么自然要问，这种推断或假设是否合理或正确呢？又当如何去检验呢？这便是统计推断的另一类基本问题——假设检验．

假设检验可分为参数检验和非参数检验．当总体分布形式已知，只对某些参数做出假设，进而做出的检验为参数检验；对其它假设做出的检验为非参数检验．

一种合理、科学的方法是：从总体中随机抽样，然后运用概率论的知识，对所提出的推测或假设做出适当的判断．凡是有关总体分布的统计特征的假设，称为统计假设，而通过抽样的方法来判断统计假设的合理性、正确性的工作，称作统计假设检验，简称假设检验．一、假设检验的统计思想

无论是参数检验还是非参数检验，其原理和步骤都有共同的地方，我们将通过下面的例子来阐述假设检验的一般原理和步骤．先看一个简单的例子．

某企业自称其某种产品的合格率为99%，如何来判断这一说法的正确性？

自然地，可以从其产品中随机抽取一些，根据所得的次品数多少作出适当的判断．为简单起见，假定只抽取一件产品，并根据抽样的结果作出判断．一般人的判断通常是这样的：(1)如果得到的是次品，则会否定或拒绝其说法．因为如果其假设正确，即次品率为1%，直观地说，任意抽取一件产品得到次品，这是百次一遇的事件．而现在竟然在一次试验中便发生了，这种可能性太小．(2)相反地，如果得到的是合格品，就接受其说法，因为没有充足的理由否定其假设．

从例子中可以看到，当否定或拒绝假设时，并不是认为它绝对不正确．事实上，如果次品率为1%，虽然很小，但在一次试验中仍然有发生的可能，之所以否定假设，是因为“抽到次品”这一事件发生的概率太小．这里，用于否定假设的主要依据是“实际推断原理”——小概率事件在一次试验中几乎不可能发生．

根据这个原理，可得到一般的推断方法：在某假设为真的条件下，事件A是一个小概率事件，现进行一次试验，如果事件A发生了，则自然有理由否定此假设，也就是拒绝此假设．这便是假设检验的基本思想．

我们当然希望犯两类错误的概率要尽可能地同时小，最好都是零．但是，进一步研究讨论可知，当样本容量n固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大．若要使犯两类错误的概率都减小，则只有增加样本容量．

图8-1

注意：

原假设究竟是真实还是不真实，事实上是不知道的．在参数的假设检验中，不论是接受原假设或拒绝原假设都可能犯错误，总是要承担一定的风险．在作检验决策的时候，当然希望所有真实的原假设都能得到接受，尽量避免真实的假设被拒绝，少犯或不犯第一类错误．也希望所有不真实的原假设都被拒绝，尽量避免不真实的假设被接受，少犯或不犯第二类错误．因此需要对可能犯两类错误的概率作分析．请看下面的例子．

二、检验的两类错误分析

确定拒绝域的形式.（3）按求出拒绝域.三、假设检验的主要步骤与方法

假设检验的具体步骤如下：

双侧假设检验的拒绝域见图8-6．图8-60000

<

0

>

0Z检验法

(2已知)原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域U检验法0000

<

0

>

0T检验法

(2未知)原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域T检验法2022>022<022022=02202原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域

检验法(

已知)（2）关于2的检验X2检验法2022>022<022022=02202原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域(

未知)

检验法（2）关于2的检验(二)两个正态总体均值差的检验1.两总体方差已知，关于均值差的检验(z检验)图8-7

图8-8

图8-9

图8-10

图8-11

图8-12注意1–2

=(12，22

已知)(1)关于均值差1–

2

的检验1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1–2

检1–2

=1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

其中12,

22未知12=

22原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域

12=

22

12

22

12

22

12>

22

12

22

12<

22(2)关于方差比

12

/

22的检验1,

2

均未知原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域

12

/

22检接受域置信区间假设检验区间估计统计量

枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系

假设检验与置信区间对照接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布

00（2

已知)（2

已知)原假设

H0备择假设

H1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设

H0备择假设

H1待估参数

0

0（

2未知）（

2未知）接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设

H0备择假设

H1待估参数2