第六章平面连杆机构的运动分析和设计2

第六章

平面连杆机构的运动分析和设计（2）6.6平面连杆机构的运动设计设计要求通常用在输出构件（连杆或连架杆）上的点或直线的一系列有序的位置来描述。这些点或直线位置叫做精确点或精确位置。精确点或精确位置的含义是：必须保证设计出来的机构能够到达这些点或位置，而在精确点或精确位置之间的机构的运动情况却不能保证。平面连杆机构设计内容：

机构的类型选择。机构中各个构件的运动尺寸设计1、机构的类型选择多自由度机构单自由度机构

多杆机构(六杆或八杆)四杆机构

带移动副的机构

铰链四杆机构2、机构中各个构件的运动尺寸设计

机构的运动尺寸：

是指对机构的运动有影响的尺寸

运动副之间的距离（如杆长）固定铰链点的位置滑块导路的方向多自由度机构的运动设计内容：

机构的运动尺寸原动件的运动控制单自由度机构的运动设计内容：

函数发生：连架杆之间实现一些给定的运动关系刚体导引：连杆实现一些给定的刚体位置轨迹生成：连杆实现一些给定的刚体上点的轨迹6.6.1连杆机构运动设计的图解法例6-5

设计一个曲柄摇杆机构ABCD，要求机构能够实现给定的行程速比系数K，并且已知摇杆的长度及其摆角。分析过程：

机构类型：铰链四杆机构曲柄摇杆机构：最短杆为连架杆A21C34BDabcd已知：摇杆的长度CD、摆角φ及行程速比系数K

机构中各个构件的运动尺寸设计

问题：设计曲柄摇杆机构，求杆长、固定铰链点位置。其中，最短杆为连架杆动画链接作图过程设计步骤过程回放结果校验

思考一下

试设计一偏置曲柄滑块机构（如图所示），设已知其滑块的行程速比系数K=1.5，滑块的冲程H=40mm，偏距e=15mm

设计步骤分析过程机构的类型：A21C34BDabcd已知：连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。机构中各个构件的运动尺寸设计

问题：设计铰链四杆机构，求杆长、固定铰链点位置。铰链四杆机构

例6-6

设计一个铰链四杆机构ABCD，实现连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。

怎样求杆长？求铰链点，由铰链点求杆长

怎样求铰链点？其他铰链点：运动轨迹为圆固定铰链点：无位置变化A21C34BDabcdAB1B2B3C1C2C3D讨论：固定铰链与活动铰链的关系已知：连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。A21C34BDabcd连杆上P、Q与铰链点A、B、C、D之间的关系PQCBP、Q、B、C为同一个构件上的点，无相对运动。P1Q1C1B1P2Q2C2B2P3Q3C3B3P1Q1C1B1P2Q2C2B2P3Q3C3B3AD求解结果：四杆机构：AB1C1D图解法求解过程：求解过程：假设：铰链B、C生平简介Burmester(1840.5.5～1927.4.20),德国人，几何和运动学家。花匠之子。14岁进入机械厂。因其聪明，被PolytechnicalPreparatorySchool录取，后以几何方面的博士论文获得博士学位，在机构综合和速度分析上有重要贡献。布尔梅斯特补充知识：Burmester理论

布尔梅斯特（1840---1927）是一位数学家，主要研究射影几何学。1876年有人提出了实现直线轨迹的机构设计问题和设计方法，引起了布尔梅斯特的研究兴趣，使得他开始考虑在一个给定的四杆机构连杆平面上是否存在轨迹为直线的点，同时，他还开始研究更为一般的问题：任意给出的一系列平面运动刚体的离散齐次位置是否在一个圆上。对于刚体的四个位置问题，他提出并证明了圆点曲线和圆心点曲线的主要特性，指出：五个刚体位置的齐次点在一个圆上。他立即将这个理论应用于机构的设计问题，提出了确定机构杆长的方法，并获得了成功。1888年，布尔梅斯特将研究成果总结，出版了一本教科书。此教科书成为机构学非常重要的著作之一，被许多学者研究和引用。布尔梅斯特Burmester理论

当给定刚体三个位置，刚体平面上任意一点都为圆点当给定刚体五个位置时，设计问题的解是确定的：圆点可能有4个、或者2个，或者没有解！

铰链四杆机构最多可实现五个连杆精确位置，即：铰链四杆机构实现连杆精确位置的最大数目为5

结论：当给定刚体四个位置时，圆点和圆心点为三次曲线，称为Burmester曲线转动极P12

就是a12和d12的交点

设两个连杆位置之间的夹角是转动极的概念刚体从第一位置运动到第二位置，可以看成是绕着转动极P12的转动。或刚体绕着转动极P12从第一位置运动转动到第二位置。半角转动法

转动极:

转动极P12

就是a12和d12的交点动画演示等视角定理：铰链四杆机构ABCD中，两连架杆AB、CD对转动极P12所张的角度相等（或互为补角），并等于连杆转角的一半；连杆BC与机架AD对转动极P12所张的角度相等（或互为补角）。

等视角定理∠B1P12A=∠

C1P12D=12/2∠B1P12C1=∠

AP12D如图：两连架杆AB、CD对转动极P12所张的角度相等并等于连杆转角的一半：连杆BC与机架AD对转动极P12所张的角度相等：图解法（解法一）：优点是比较直观简单，但在给定圆心点A、D的位置的情况下确定圆点B、C就比较困难；比较：图解法与半角转动法半角转动法（解法二）：无论是在哪一种情况下作图都比较简单。6.6.2平面连杆机构运动设计的位移矩阵法

是解析法的一种；基本思想：根据给定机构运动设计要求，建立机构设计的数学模型，即设计方程，再利用计算机进行求解；设计关键：建立设计方程，求解运动参数。

位移矩阵法

讨论：如何建立设计方程？

讨论：如何建立设计方程？(1)平面连杆机构运动设计的内容包括

机构的类型选择；

机构中各个构件的运动尺寸设计。

本节：机构中各个构件的运动尺寸设计(2)如何求杆长运动尺寸设计：求杆长、固定铰链点。杆长：由铰链点确定先求铰链点，后求杆长A21C34BDabcd(3)建立设计方程铰链点为未知数

确定未知数、建立未知数之间的关系(4)如何建立设计方程B1B2B3C1C2C3DA

讨论:B1、

B２、B３哪个为未知数？B1、

B２、

B３之间的关系？杆长不变！根据上式一般取：A、D、B1、C1为未知数。一般取第一个位置为未知数,即B1、C1(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2(xCi-xD)2+(yCi-yD)2=(xC1-xD)2+(yC1-yD)2（i=2,3,...,n)(1)(5)B1、

B２、

B３之间的关系？位移矩阵法：求B1、B２、B３之间的关系令：B1为：XB1、YB1Bi为：XBi、YBiA为：XA、YA

XB1

=XA+LABcos1

YB1

=YA+LABsin1(2)分析一B1B2B3C1C2C3DABiyxO求B1与B的其他位置的关系(5)B1、

B２、

B３之间的关系？

XBi

=XA+LABcosi

YBi

=YA+LABsini(3)B1ABiyxO假设：1i=i-1

同理：

XBi

=XA+LABcosi

=XA+LABcos(1i+1)

=XA+LAB(cos1icos1-sin1isin1

)(4)YBi

=YA+LAB(sin1icos1+cos1isin1

)(5)由式（4）、(5)得：

XBi

=XA+LAB(cos1icos1-sin1i

sin1

)YBi

=YA+LAB(sin1icos1+cos1i

sin1

)(6)XBi

XA

cos1i-sin1iYBi

YAsin1i+cos1i+LABcos1

LABsin1(7)=或：XBi–

XA

cos1i-sin1iYBi

–

YA

sin1i+con1i=LABcos1

LABsin1(8)B1B2B3C1C2C3DABiyxOB1ABiyxO由式（2）得：LABcos1=

XB1

-

XA

LABcos1=YB1-

YA（9）将式（9）代入（8）得：XBi–

XA

cos1i-sin1iYBi

–

YA

sin1i+con1i=XB1

-

XA

YB1-

YA(10)RΘ1i=cos1i-sin1isin1i+cos1i令：由式（10）得：不含杆长平面矢量旋转矩阵XBi–

XAYBi

–

YAXB1–

XAYB1

–

YA=RΘ1i(11)B1B2B3C1C2C3DABiyxO

讨论:

由式（10）引起的思考XBi–

XA

cos1i-sin1iYBi

–

YA

sin1i+cos1i=XB1

-

XA

YB1-

YA(10)AB1

=XB1–

XAYB1

–

YA由矢量：XBi–

XAYBi

–

YAABi=；式（10）建立了杆件AB位置i与位置1之间的关系；式（10）也称为矢量旋转方程。可得：RΘ1i(12)（6-31′）ABi=AB1B1B2B3C1C2C3DABiyxOB1B2B3C1C2C3DABiyxO

小节:XBi–

XA

cos1i-sin1iYBi

–

YA

sin1i+cos1i=XB1

-

XA

YB1-

YA(10)矢量旋转方程式(10)给出了连架杆位置i与位置1之间的关系；怎样求连杆位置之间的的关系?B1B2B3C2C3Bi连杆位置关系分析二：讨论一般性yxOP1B1PiBi1.刚体运动的位移矩阵方程

1i=i-1

B1为：XB1、YB1Bi为：XBi、YBiP1为：XP1、YP1Pi为：XPi、YPi假设：P1B1

=XB1–

XP1YB1

–

YP1XBi–

XPiYBi

–

YPiPiBi

=；可得：分析二：讨论一般性yxOP1B1PiBi已知P点的位置，求解B点；建立B1与Bi之间的关系。将1i=i-1

代入上式（2’）：

XB1

=XP1+LPBcos1

YB1

=YP1+LPBsin1（1′）XBi

=XPi+LPBcos(1i+1)YBi

=YPi+LPBsin(1i+1)（3′）

XBi

=XPi+LPBcosi

YBi

=YPi+LPBsini（2′）XBi

XPi

cos1i-sin1iYBi

YPisin1i+cos1i+LPBcos1

LPBsin1(4′)=由式（3′）得：由式（1′）得：LPBcos1=

XB1

–

XP1

LPBsin1=YB1–

YP1（5′）将式（5′）代入（3′）得：XBi–

XPi

cos1i-sin1iYBi

–

YPi

sin1i+cos1i=XB1

–

XP1

YB1–

YP1(6′)RΘ1i(7′)

（6-31′）PiBi

=P1B1得：由式（6′）可得：XBi

XPi

cos1i-sin1iYBi

YPisin1i+cos1i+XB1

–

XP1

YB1–

YP1=XPi

cos1i-sin1iYPisin1i+cos1i–XP1YP1=XB1

YB1cos1i-sin1isin1i+cos1i+=cos1i-sin1iXPi–XP1cos1i+YP1sin1isin1i+cos1iYPi–XP1sin1i–YP1cos1i0

01XB1

YB1

1XBi

YBi

1(8′)

（6-32）得刚体运动位移矩阵方程：D1i=令cos1i-sin1iXPi–XP1cos1i+YP1sin1isin1i+cos1iYPi–XP1sin1i–YP1cos1i0

01位移矩阵=XB1

YB1

1XBi

YBi

1D1i(9′)D1i=cos1i-sin1iXPi–XP1cos1i+YP1sin1isin1i+cos1iYPi–XP1sin1i–YP1cos1i0

01小节:位移矩阵=cos1i-sin1iXPi–XP1cos1i+YP1sin1isin1i+cos1iYPi–XP1sin1i–YP1cos1i0

01XB1

YB1

1XBi

YBi

1刚体运动位移矩阵方程建立了同一刚体在不同位置时,刚体上任意一点之间的关系=XB1

YB1

1XBi

YBi

1D1i简写:

讨论:刚体运动的特殊情形由位移矩阵：(1)针对AB杆B1B2B3C1C2C3DABiyxOXPi=XP1=XAYPi=YP1=YAD1i=cos1i-sin1iXPi–XP1cos1i+YP1sin1isin1i+cos1iYPi–XP1sin1i–YP1cos1i0

01D1i=cos1i-sin1iXA–XAcos1i+YAsin1isin1i+cos1iYA–XAsin1i–YAcos1i0

01可得：(2)如果：由位移矩阵：D1i=cos1i-sin1iXPi–XP1cos1i+YP1sin1isin1i+cos1iYPi–XP1sin1i–YP1cos1i0

01i=11i=i-1=0可得：D1i=10

XPi–XP101

YPi–YP10

0112123P1P2yxO平动2.运用位移矩阵进行连杆机构运动设计的方法例1

设计一铰链四杆机构，要求

能导引杆平面通过以下三个位置：

P1(1.0,1.0)、1=0º；

P2(2.0,0.5)、2=0º；

P3(3.0,1.5)、3=45°。12123P3P1P23yxO分析1：铰链四杆机构结构A21C34BDabcd12123P3P1P23yxO设计实质：设计一铰链四杆机构，要求能导引杆平面通过以下三个位置。分析2：P1、1；P2、2；P3、3与四杆之间的关系？结论：Pi、i为连杆上的点；

P1、1；P2、2；P3、3为连杆的三个位置PiiA21C34BDbcda

ω分析3：确定未知数A、D、B1、C1求解过程：PiiA21C34BDbcda

ω（1）根据构件1、3(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2(i=2、3)

(1)(xCi-xD)2+(yCi-yD)2=(xC1-xD)2+(yC1-yD)2(i=2、3)(2)（2）根据构件2=XB1

YB1

1XBi

YBi

1D1i位移矩阵方程：12123P3P1P23yxO由杆2得：，（3）求得：Bi、Ci、(i=2,3)式（1）（2）各为2个方程的方程组，各有四个未知数xB1、yB1、xA、yA及xC1、yC1、xD、yD

。可有无穷多个解，每个方程组可选定两个参量。选定A（0.0,0.0)、D(5.0,0.0)，代入两组方程组并整理得：

(a)(b)（4）解方程组解(a)、(b)两组方程组得B1、C1的坐标为：B1(0.994,3.238)

C1(3.548,–1.655)将上式代入式（1）、式（2）（5）求出杆长xP3P1P23B1-1C1yO12345123DAB2B3C3C2小节之求解过程(2)

确定未知数；(3)

针对每一个构件建立方程；(1)

确定机构类型或机构的结构形式；(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2(i=2、3)(xCi-xD)2+(yCi-yD)2=(xC1-xD)2+(yC1-yD)2(i=2、3)根据杆1、3得：根据构件2得：=XB1

YB1

1XBi

YBi

1D1i

位移矩阵方程：PiiA21C34BDbcda

ω讨论：设计的关键

所求机构的结构形式；

一般取第一个位置为未知数；

针对每一个构件建立什么方程；

如果方程数不等于未知数如何处理？例2

设计一滑块机构

，要求

能导引杆平面通过以下三个位置：

P1(1.0,1.0)、1=30º；

P2(2.0,0.5)、2=30º;

P3(3.0,1.5)、3=75°。12123P3P1P23=75°yx02=30°分析1：滑块机构结构xABCy321（1）根据构件2得：同理12123P3P1P23=75°yx02=30°=XB1

YB1

1XBi

YBi

1D1i

求解过程：求(xB2,yB2)和(xB3,yB3)与(xB1,yB1)、

(xC2,yC2)和

(xC3,yC3)与(xC1,yC1)的关系，（2）根据构件1建立方程(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2(i=2、3)

（1）

式(1)为2个方程的方程组，有四个未知数

xB1、yB1、xA、yA，及可有无穷多个解，该方程组(1)可选定两个未知数。(i=3)(2)式(2)为1个方程，有两个未知数

xC1、yC1

，及可有无穷多个解，该方程(2)可选定一个未知数。（3）根据构件3建立方程解方程组（1）、（2）得B1、C1的坐标为：（4）解方程组B1(0.994078,3.238155)

C1(10,–1.0106)（5）求出杆长取定A（0.0,0.0)、XC1=10,代入两组方程组求解：（6）求偏距exAB1C1β

yeθ

2.按两连架杆的预定位置设计四杆机构当输入构件转动a1i，则输出构件转动Ф1iADFF12φφEEEF123312121313函数发生机构倒置（1）设计方法

机构转化法或反转法：指根据机构的倒置理论，通过取不同构件为机架，将按连架杆预定位置设计四杆机构转化为按连杆预定刚体位置设计四杆机构的方法。

函数发生是求机构杆件之间的相对运动，机构倒置不会改变机构之间的相对运动。讨论:A的位置参数动画链接反转法的原理（1）将机构的第i位置ABiCiD钢化（2）ABiCiD绕D转动-Ф1i角度，CiD与C1D重合（3）机构位置为Ai´B´iC´iD反转后的