理论力学第12章-动量矩定理课件

第十二章动量矩定理第十二章1主要内容§12.1质点和质点系的动量矩§12.2动量矩定理§12.3刚体绕定轴的转动微分方程

§12.4刚体对轴的转动惯量§12.5质点系相对于质心的动量矩定理§12.6刚体的平面运动微分方程主要内容§12.1质点和质点系的动量矩§12.2动量矩21、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零，可见动量不能表征或度量这种运动。2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。前一章中讲的动量定理并不能完全描述出质点系的运动状态。因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。动量矩定理正是描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质心的运动状态的理论动量矩定理1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的快慢如3§12.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩

设质点某瞬时的动量为，质点相对点的位置用矢径表示，如图质点的动量对点的矩，定义为质点对点的动量矩，即以固定点为原点建立直角坐标系，质点的坐标为，则矢径和质点速度的解析投影式：§12.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩设质点4质点对点的动量矩可写为行列式形式：质点对某一固定点的动量矩是一个矢量，其方向垂直于由矢径和速度所确定的平面，其大小等于由矢径和动量所构成的平行四边形的面积，指向由右手螺旋法则确定，且质点对某定点的动量矩是一个定位矢量，应当画在矩心上。§12.1质点和质点系的动量矩质点对点的动量矩可写为行列式形式：质点对某一固定点的动5质点对点的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量对点的矩和对通过该点的轴的矩之间的关系可知，质点的动量对通过点的各坐标轴的矩分别为：

动量对某一固定点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于动量对于该轴的动量矩

动量对轴的矩是一代数量，其符号的规定与力对轴的矩的符号的规定相同，在规定了轴的正向之后，可由右手螺旋法则来确定其正方向。即动量矩在国际单位制中的单位是或§12.1质点和质点系的动量矩质点对点的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量对点的矩和对6二、质点系的动量矩质点系中所有各质点的动量对某固定点的矩的矢量和称为该质点系对点的动量矩，即

质点系中所有各质点的动量对于任一轴的矩的代数和，称为质点系对该轴的动量矩。质点系对点的动量矩向通过点的直角坐标系的各轴投影，即质点系对过点的轴的动量矩：且有§12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩质点系中所有各质点的动量对某固定点的矩7三、几种刚体的动量矩的计算

1、平动刚体对某固定点的动量矩：

平动刚体的动量矩的计算与质点动量矩的计算公式相似，即平动刚体在计算动量矩时，可以看成是一个质点，这个质点集中了平动刚体的全部质量，位于刚体的质心，且与刚体的质心一起运动。2、绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩：

令，称为刚体对轴的转动惯量。于是绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩等于刚体的角速度与刚体对该转动轴的转动惯量的乘积。§12.1质点和质点系的动量矩三、几种刚体的动量矩的计算1、平动刚体对某固定点的动量矩：8§12.2动量矩定理1、质点的动量矩定理

设质点对定点的动量矩为，作用力对同一点的矩为，如图将动量矩对时间取一次导数，得根据质点的动量定理且则上式写成因为于是得§12.2动量矩定理1、质点的动量矩定理设质点对定点9质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。将上式投影到以矩心为原点的直角坐标轴上，并注意到动量及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，可得：

2、质点系的动量矩定理

设质点系内有个质点，作用在每个质点的力分为内力和外力。根据质点的动量矩定理有§12.2动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等10这样的方程共有个，相加后得由于内力总是大小相等、方向相反成对出现，因此上式右端的第一项上式左端为于是得§12.2动量矩定理这样的方程共有个，相加后得由于内力总是大小相等、方向11质点系动量矩定理：质点系对于某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。应用时，取投影式必须指出，上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴。对于一般的动点或动轴，其动量矩定理具有较复杂的表达式。3、动量矩守恒定律（1）若作用于质点的力对于某固定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，即（2）若作用于质点的力对于某固定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即§12.2动量矩定理质点系动量矩定理：质点系对于某固定点的动量矩对时间的12

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理13

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理14

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理15

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理16

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理17

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理18

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理19例题12-1M高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。§12.2动量矩定理例题12-1M高炉运送矿石用的卷扬机20M例题12-1作用于质点系的外力除力偶、重力和外，尚有轴承

的反力

和轨道对小车的约束力

。其中

对

轴力矩为零。将沿轨道及其垂直方向分解为和

，与

相抵消。解：取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正，此质点系对轴的动量矩为而，则系统外力对轴的矩为§12.2动量矩定理M例题12-1作用于质点系的外力除力偶、重力21由质点系对O轴的动量矩定理，有因

，，于是解得若

，则,小车的加速度沿斜坡向上。例题12-1M§12.2动量矩定理由质点系对O轴的动量矩定理，有因22试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。例题12-2OvA§12.2动量矩定理试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。例题23解：

把单摆看成一个在圆弧上运动的质点

A，设其质量为

m，摆线长

l。又设在任一瞬时质点

A具有速度

v

，摆线

OA与铅垂线的夹角是

。

通过悬点

O而垂直于运动平面的固定轴

z作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理由于动量矩和力矩分别是和例题12-2OvA§12.2动量矩定理解：把单摆看成一个在圆弧上运动的质点A，设其质量为m，24从而可得化简即得单摆的运动微分方程例题12-2OvA§12.2动量矩定理从而可得化简即得单摆的运动微分方程例题12-2OvA25小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为ω0。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成θ角时系统的角速度ω。例题12-3zaallABzaaθθllAB§12.2动量矩定理小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质26例题12-3运动演示§12.2动量矩定理例题12-3运动演示§12.2动量矩定理27解:此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。当θ=0时，动量矩当θ≠

0时，动量矩因为Lz1=Lz2，得例题12-3zaallABzaaθθllAB§12.2动量矩定理解:此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此28§12.3刚体绕定轴的转动微分方程设定轴转动刚体上作用有主动力和轴承约束力，如图，这些力都是外力。刚体对于轴的转动惯量为，角速度为，对于轴的动量矩为。如果不计轴承中的摩擦，轴承约束力对于轴的力矩等于零，根据质点系对于轴的动量矩定理有或或或以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。§12.3刚体绕定轴的转动微分方程设定轴转动刚29刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，即：转动惯量是刚体转动惯性的度量。如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度α

。RαOF1F2例题12-4§12.3刚体绕定轴的转动微分方程刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，即：转动30解：根据刚体绕定轴的转动微分方程有于是得由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。例题12-4RαOF1F2§12.3刚体绕定轴的转动微分方程解：根据刚体绕定轴的转动微分方程有于是得由上式可见，只有当31

复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是

m，重心

C

到转轴

O

的距离

OC

=

b，复摆对转轴

O

的转动惯量是JO

，设摆动开始时

OC

与铅直线的偏角是

0，且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。例题12-5OCb§12.3刚体绕定轴的转动微分方程复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质32由此刚体绕定轴转动的微分方程有从而当复摆作微小摆动时，可令

sin≈

。于是上式经过线性化后，可得复摆微幅摆动的微分方程这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。例题12-5OCbF1F2mg解:

受力如图所示。设角以逆时针方向为正。当小角为正时，重力对点之矩为负。§12.3刚体绕定轴的转动微分方程由此刚体绕定轴转动的微分方程有从而当复摆作微小摆动时，可令33则复摆运动规律可写成摆动的频率

ω0

和周期T分别是利用关系(b)可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动周期T，然后由(b)式求得转动惯量考虑到复摆运动的初条件:当

t=0时例题12-5OCbF1F2mg§12.3刚体绕定轴的转动微分方程则复摆运动规律可写成摆动的频率ω0和周期T分别是利用34飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度ωO绕水平的O轴转动，如图所示。制动时，闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为fs，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。OωO例题12-6§12.3刚体绕定轴的转动微分方程飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度ωO绕水平35OωO解：以轮为研究对象。作用于轮上的力除FN外，还有摩擦力F和重力、轴承约束力。取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为由此解得FFNFOxFOyW例题12-6将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得§12.3刚体绕定轴的转动微分方程OωO解：以轮为研究对象。作用于轮上的力除FN外，还有摩擦力36ⅡⅠM1M2传动轴如图所示。设轴Ⅰ和Ⅱ的转动惯量分别为J1和J2，转动比,R1，R2分别为轮Ⅰ，Ⅱ的半径。今在轴Ⅰ上作用主动力矩M1，轴Ⅱ上有阻力力矩M2，转向如图所示。设各处摩擦忽略不计，求轴Ⅰ的角加速度。例题12-7§12.3刚体绕定轴的转动微分方程ⅡⅠM1M2传动轴如图所示。设轴Ⅰ和Ⅱ的转动37运动演示例题12-7§12.3刚体绕定轴的转动微分方程运动演示例题12-7§12.3刚体绕定轴的转38R2R1解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象，它们的受力情况如图所示。

因，于是得ⅡⅠM1M2两轴对轴心的转动微分方程分别为M1α1F'F'NM2α2FNF例题12-7§12.3刚体绕定轴的转动微分方程R2R1解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象，它们的受力情况如图所示39§12.4刚体对轴的转动惯量一、转动惯量的概念1、定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。对于质量是连续分布的刚体，则2、简单形状物体的转动惯量计算（1）匀质细直杆设杆的线密度为，取微段，则此微段质量为，所以此杆对轴的转动惯量为杆的质量为，于是§12.4刚体对轴的转动惯量一、转动惯量的概念1、定义：刚40（2）均质薄圆环（3）均质圆板设圆环质量为，质量到中心轴的距离都等于半径，所以圆环对于中心轴的转动惯量为设圆板的半径为，质量为，圆板对中心轴的转动惯量为（4）均质矩形板§12.4刚体对轴的转动惯量（2）均质薄圆环（3）均质圆板设圆环质量为，质量41二、回转半径回转半径定义为所以三、平行移轴定理定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即§12.4刚体对轴的转动惯量二、回转半径回转半径定义为所以三、平行移轴定理定理：刚体对任42质量为，长为的匀质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心的轴的转动惯量。解：均质细直杆对于通过杆端点且与杆垂直的轴的转动惯量为应用平行移轴定理，对于轴的转动惯量为钟摆简化如下图。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为和，杆长为，圆盘直径为。求摆对于通过悬挂点的水平轴的转动惯量。例题12-8例题12-9§12.4刚体对轴的转动惯量质量为，长为的匀质细直杆如图，求此杆对于垂直43OC解：摆对于水平轴的转动惯量式中设为圆盘对于中心的转动惯量，则于是得§12.4刚体对轴的转动惯量OC解：摆对于水平轴的转动惯量式中设为圆盘44§12.5质点系相对于质心的动量矩定理前面表述的动量矩定理只适用于惯性参考系中的固定点或固定轴，那么当矩心运动时，应当怎样来应用动量矩定理呢？进一步的研究表明，在一定条件下，动量矩定理的形式保持不变。其中最重要的一种情况就是：在随同质心一起运动的平动坐标系中，取质心为矩心，则动量矩定理的形式保持不变。以质心为原点，取一平移参考系如图。在此平移参考系内，任一点的相对矢径为、相对速度为质点系相对于其质心的动量矩为实际上，以质点的相对速度或以其绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的，即§12.5质点系相对于质心的动量矩定理前面表述的动45质点对固定点的矢径为，绝对速度为，则质点系对定点的动量矩为由图可见于是根据点的速度合成定理，有由质点系动量计算式有其中为质点系总质量，为其质心的速度。代入上两式，质点系对于定点的动量矩可写为上式最后一项就是，而由质心坐标公式有其中为质心对于动系的矢径。此处为此动系的原点，显然，即，于是上式中间一项为零，而§12.5质点系相对于质心的动量矩定理质点对固定点的矢径为，绝对速度为46上式表明，质点系对任一点的动量矩等于集中于系统质心的动量对于点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩（为矢量和）质点系对于定点的动量矩定理可写成展开上式括弧，注意右端项中，于是上式化为因为于是上式成为§12.5质点系相对于质心的动量矩定理上式表明，质点系对任一点的动量矩等于集中于系统质心的47上式右端是外力对于质心的主矩，于是得即质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点系上的外力对质心的主矩。这就是质点系对于质心的动量矩定理。该定理在形式上与质点系对于固定点的动量矩定理完全一样。§12.5质点系相对于质心的动量矩定理上式右端是外力对于质心的主矩，于是得即质点系相对于质心的动量48§12.6刚体的平面运动微分方程平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，如图，它的坐标为。设为刚体上的任一点，与轴的夹角为，则刚体的位置可由和确定。刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。图中为固连于质心的平移参考系，平面运动刚体相对于此动系的运动就是绕质心的转动，则刚体对质心的动量矩为其中为刚体对通过质心且与运动平面垂直的轴的转动惯量，为其角速度。设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得§12.6刚体的平面运动微分方程平面运动刚体的49其中为刚体质量，为质心加速度，为刚体的角速度。上式也可写成以上两式称为刚体的平面运动微分方程。§12.6刚体的平面运动微分方程其中为刚体质量，为质心加速度，50半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为ρC，作用于圆轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为fs，问力偶矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑动。MCrx例题12-10§12.6刚体的平面运动微分方程半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所51MCrxα解：根据刚体的平面运动微分方程可列出如下三个方程：式中M和α均以顺时针转向为正。因aCy=0，故aCx=aC。aCmgFFN根据圆轮滚而不滑的条件，有aC=

rα例题12-10§12.6刚体的平面运动微分方程MCrxα解：根据刚体的平面运动微分方程可列出如下三个方程：52联立求解，得：欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必须有F≤fsFN,或F≤fsmg。于是得圆轮只滚不滑的条件为MCrxαaCmgFFN例题12-10§12.6刚体的平面运动微分方程联立求解，得：欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必须有F≤53均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。RθC例题12-11§12.6刚体的平面运动微分方程均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，54RθC解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有重力mg，圆弧表面的法向反力FN和摩擦力F。设θ角以逆时针方向为正，取切线轴的正向如图，并设圆轮以顺时针转动为正，则图示瞬时刚体平面运动微分方程在自然轴上的投影式为(a)(b)(c)r（+）αFmgFN例题12-11§12.6刚体的平面运动微分方程RθC解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有重力mg，圆弧55由运动学知，当圆轮只滚不滑时，角加速度的大小为取s为质心的弧坐标，由图有注意到,,当θ

很小时，，联立（a），（c），（d）求得令则上式成为(d)RθCr（+）αFmgFN例题12-11§12.6刚体的平面运动微分方程由运动学知，当圆轮只滚不滑时，角加速度的大小为取s为质心的56此方程的解为式中s0和β为两个常数，由运动起始条件确定。如t=0

,

s=0

初速度为v0，于是：解得：RθCr（+）αFmgFN例题12-11§12.6刚体的平面运动微分方程此方程的解为式中s0和β为两个常数，由运动起始条件确定。如57最后得式中右端第一项为附加动压力，其中这就是质心沿轨迹的运动方程。由式(b)可求得圆轮在滚动时对地面的压力RθCr（+）αFmgFN例题12-11§12.6刚体的平面运动微分方程最后得式中右端第一项为附加动压力，其中这就是质心沿轨迹的58第十二章动量矩定理第十二章59主要内容§12.1质点和质点系的动量矩§12.2动量矩定理§12.3刚体绕定轴的转动微分方程

§12.4刚体对轴的转动惯量§12.5质点系相对于质心的动量矩定理§12.6刚体的平面运动微分方程主要内容§12.1质点和质点系的动量矩§12.2动量矩601、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零，可见动量不能表征或度量这种运动。2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。前一章中讲的动量定理并不能完全描述出质点系的运动状态。因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。动量矩定理正是描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质心的运动状态的理论动量矩定理1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的快慢如61§12.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩

设质点某瞬时的动量为，质点相对点的位置用矢径表示，如图质点的动量对点的矩，定义为质点对点的动量矩，即以固定点为原点建立直角坐标系，质点的坐标为，则矢径和质点速度的解析投影式：§12.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩设质点62质点对点的动量矩可写为行列式形式：质点对某一固定点的动量矩是一个矢量，其方向垂直于由矢径和速度所确定的平面，其大小等于由矢径和动量所构成的平行四边形的面积，指向由右手螺旋法则确定，且质点对某定点的动量矩是一个定位矢量，应当画在矩心上。§12.1质点和质点系的动量矩质点对点的动量矩可写为行列式形式：质点对某一固定点的动63质点对点的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量对点的矩和对通过该点的轴的矩之间的关系可知，质点的动量对通过点的各坐标轴的矩分别为：

动量对某一固定点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于动量对于该轴的动量矩

动量对轴的矩是一代数量，其符号的规定与力对轴的矩的符号的规定相同，在规定了轴的正向之后，可由右手螺旋法则来确定其正方向。即动量矩在国际单位制中的单位是或§12.1质点和质点系的动量矩质点对点的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量对点的矩和对64二、质点系的动量矩质点系中所有各质点的动量对某固定点的矩的矢量和称为该质点系对点的动量矩，即

质点系中所有各质点的动量对于任一轴的矩的代数和，称为质点系对该轴的动量矩。质点系对点的动量矩向通过点的直角坐标系的各轴投影，即质点系对过点的轴的动量矩：且有§12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩质点系中所有各质点的动量对某固定点的矩65三、几种刚体的动量矩的计算

1、平动刚体对某固定点的动量矩：

平动刚体的动量矩的计算与质点动量矩的计算公式相似，即平动刚体在计算动量矩时，可以看成是一个质点，这个质点集中了平动刚体的全部质量，位于刚体的质心，且与刚体的质心一起运动。2、绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩：

令，称为刚体对轴的转动惯量。于是绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩等于刚体的角速度与刚体对该转动轴的转动惯量的乘积。§12.1质点和质点系的动量矩三、几种刚体的动量矩的计算1、平动刚体对某固定点的动量矩：66§12.2动量矩定理1、质点的动量矩定理

设质点对定点的动量矩为，作用力对同一点的矩为，如图将动量矩对时间取一次导数，得根据质点的动量定理且则上式写成因为于是得§12.2动量矩定理1、质点的动量矩定理设质点对定点67质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。将上式投影到以矩心为原点的直角坐标轴上，并注意到动量及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，可得：

2、质点系的动量矩定理

设质点系内有个质点，作用在每个质点的力分为内力和外力。根据质点的动量矩定理有§12.2动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等68这样的方程共有个，相加后得由于内力总是大小相等、方向相反成对出现，因此上式右端的第一项上式左端为于是得§12.2动量矩定理这样的方程共有个，相加后得由于内力总是大小相等、方向69质点系动量矩定理：质点系对于某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。应用时，取投影式必须指出，上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴。对于一般的动点或动轴，其动量矩定理具有较复杂的表达式。3、动量矩守恒定律（1）若作用于质点的力对于某固定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，即（2）若作用于质点的力对于某固定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即§12.2动量矩定理质点系动量矩定理：质点系对于某固定点的动量矩对时间的70

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理71

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理72

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理73

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理74

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动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理76

动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理77例题12-1M高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。§12.2动量矩定理例题12-1M高炉运送矿石用的卷扬机78M例题12-1作用于质点系的外力除力偶、重力和外，尚有轴承

的反力

和轨道对小车的约束力

。其中

对

轴力矩为零。将沿轨道及其垂直方向分解为和

，与

相抵消。解：取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正，此质点系对轴的动量矩为而，则系统外力对轴的矩为§12.2动量矩定理M例题12-1作用于质点系的外力除力偶、重力79由质点系对O轴的动量矩定理，有因

，，于是解得若

，则,小车的加速度沿斜坡向上。例题12-1M§12.2动量矩定理由质点系对O轴的动量矩定理，有因80试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。例题12-2OvA§12.2动量矩定理试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。例题81解：

把单摆看成一个在圆弧上运动的质点

A，设其质量为

m，摆线长

l。又设在任一瞬时质点

A具有速度

v

，摆线

OA与铅垂线的夹角是

。

通过悬点

O而垂直于运动平面的固定轴

z作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理由于动量矩和力矩分别是和例题12-2OvA§12.2动量矩定理解：把单摆看成一个在圆弧上运动的质点A，设其质量为m，82从而可得化简即得单摆的运动微分方程例题12-2OvA§12.2动量矩定理从而可得化简即得单摆的运动微分方程例题12-2OvA83小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为ω0。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成θ角时系统的角速度ω。例题12-3zaallABzaaθθllAB§12.2动量矩定理小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质84例题12-3运动演示§12.2动量矩定理例题12-3运动演示§12.2动量矩定理85解:此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。当θ=0时，动量矩当θ≠

0时，动量矩因为Lz1=Lz2，得例题12-3zaallABzaaθθllAB§12.2动量矩定理解:此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此86§12.3刚体绕定轴的转动微分方程设定轴转动刚体上作用有主动力和轴承约束力，如图，这些力都是外力。刚体对于轴的转动惯量为，角速度为，对于轴的动量矩为。如果不计轴承中的摩擦，轴承约束力对于轴的力矩等于零，根据质点系对于轴的动量矩定理有或或或以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。§12.3刚体绕定轴的转动微分方程设定轴转动刚87刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，即：转动惯量是刚体转动惯性的度量。如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度α

。RαOF1F2例题12-4§12.3刚体绕定轴的转动微分方程刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，即：转动88解：根据刚体绕定轴的转动微分方程有于是得由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。例题12-4RαOF1F2§12.3刚体绕定轴的转动微分方程解：根据刚体绕定轴的转动微分方程有于是得由上式可见，只有当89

复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是

m，重心

C

到转轴

O

的距离

OC

=

b，复摆对转轴

O

的转动惯量是JO

，设摆动开始时

OC

与铅直线的偏角是

0，且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。例题12-5OCb§12.3刚体绕定轴的转动微分方程复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质90由此刚体绕定轴转动的微分方程有从而当复摆作微小摆动时，可令

sin≈

。于是上式经过线性化后，可得复摆微幅摆动的微分方程这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。例题12-5OCbF1F2mg解:

受力如图所示。设角以逆时针方向为正。当小角为正时，重力对点之矩为负。§12.3刚体绕定轴的转动微分方程由此刚体绕定轴转动的微分方程有从而当复摆作微小摆动时，可令91则复摆运动规律可写成摆动的频率

ω0

和周期T分别是利用关系(b)可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动周期T，然后由(b)式求得转动惯量考虑到复摆运动的初条件:当

t=0时例题12-5OCbF1F2mg§12.3刚体绕定轴的转动微分方程则复摆运动规律可写成摆动的频率ω0和周期T分别是利用92飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度ωO绕水平的O轴转动，如图所示。制动时，闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为fs，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。OωO例题12-6§12.3刚体绕定轴的转动微分方程飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度ωO绕水平93OωO解：以轮为研究对象。作用于轮上的力除FN外，还有摩擦力F和重力、轴承约束力。取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为由此解得FFNFOxFOyW例题12-6将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得§12.3刚体绕定轴的转动微分方程OωO解：以轮为研究对象。作用于轮上的力除FN外，还有摩擦力94ⅡⅠM1M2传动轴如图所示。设轴Ⅰ和Ⅱ的转动惯量分别为J1和J2，转动比,R1，R2分别为轮Ⅰ，Ⅱ的半径。今在轴Ⅰ上作用主动力矩M1，轴Ⅱ上有阻力力矩M2，转向如图所示。设各处摩擦忽略不计，求轴Ⅰ的角加速度。例题12-7§12.3刚体绕定轴的转动微分方程ⅡⅠM1M2传动轴如图所示。设轴Ⅰ和Ⅱ的转动95运动演示例题12-7§12.3刚体绕定轴的转动微分方程运动演示例题12-7§12.3刚体绕定轴的转96R2R1解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象，它们的受力情况如图所示。

因，于是得ⅡⅠM1M2两轴对轴心的转动微分方程分别为M1α1F'F'NM2α2FNF例题12-7§12.3刚体绕定轴的转动微分方程R2R1解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象，它们的受力情况如图所示97§12.4刚体对轴的转动惯量一、转动惯量的概念1、定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。对于质量是连续分布的刚体，则2、简单形状物体的转动惯量计算（1）匀质细直杆设杆的线密度为，取微段，则此微段质量为，所以此杆对轴的转动惯量为杆的质量为，于是§12.4刚体对轴的转动惯量一、转动惯量的概念1、定义：刚98（2）均质薄圆环（3）均质圆板设圆环质量为，质量到中心轴的距离都等于半径，所以圆环对于中心轴的转动惯量为设圆板的半径为，质量为，圆板对中心轴的转动惯量为（4）均质矩形板§12.4刚体对轴的转动惯量（2）均质薄圆环（3）均质圆板设圆环质量为，质量99二、回转半径回转半径定义为所以三、平行移轴定理定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即§12.4刚体对轴的转动惯量二、回转半径回转半径定义为所以三、平行移轴定理定理：刚体对任100质量为，长为的匀质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心的轴的转动惯量。解：均质细直杆对于通过杆端点且与杆垂直的轴的转动惯量为应用平行移轴定理，对于轴的转动惯量为钟摆简化如下图。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为和，杆长为，圆盘直径为。求摆对于通过悬挂点的水平轴的转动惯量。例题12-8例题12-9§12.4刚体对轴的转动惯量质量为，长为的匀质细直杆如图，求此杆对于垂直101OC解：摆对于水平轴的转动惯量式中设为圆盘对于中心的转动惯量，则于是得§12.4刚体对轴的转动惯量OC解：摆对于水平轴的转动惯量式中设为圆盘102§12.5质点系相对于质心的动量矩定理前面表述的动量矩定理只适用于惯性参考系中的固定点或固定轴，那么当矩心运动时，应当怎样来应用动量矩定理呢？进一步的研究表明，在一定条件下，动量矩定理的形式保持不变。其中最重要的一种情况就是：在随同质心一起运动的平动坐标系中，取质心为矩心，则动量矩定理的形式保持不变。以质心为原点，取一平移参考系如图。在此平移参考系内，任一点的相对矢径为、相对速度为质点系相对于其质心的动量矩为实际上，以质点的相对速度或以其绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的，即§12.5质点系相对于质心的动量矩定理前面表述的动103质点对固定点的矢径为，绝对速度为，则质点系对定点的动量矩为由图可见于是根据点的速度合成定理，有由质点系动量计算式有其中为质点系总质量，为其质心的速度。代入上两式，质点系对于定点的动量矩可写为上式最后一项就是，而由质心坐标公式有其中为质心对于动系的矢径。此处为此动系的原点，显然，即，于是上式中间一项为零，而§12.5质点系相对于质心的动量矩定理质点对固定点的矢径为，绝对速度为104上式表明，质点系对任一点的动量矩等于集中于系统质心的动量对于点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩（为矢量和）质点系对于定点的动量矩定理可写成展开上式括弧，注意右端项中，于是上式化为因为于是上式成为§12.5质点系相对于质心的动量矩定理上式表明，质点系对任一点的动量矩等于集中于系统质心的105上式右端是外力对于质心的主矩，于是得即质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点系上的外力对质心的主矩。这就是质点系对于质心的动量矩定理。该定理在形式上与质点系对于固定点的动量矩定理完全一样。§12.5质点系相对于质心的动量矩定理上式右端是外力对于质心的主矩，于是得即质点系相对于质心的动量106§