常用不等式的解法

常用不等式的解法【教学目标】本节内容目标层级是否掌握解一元二次不等式及高次不等式★☆☆☆☆☆解分式不等式★★☆☆☆☆解绝对值不等式★★★☆☆☆讨论含参不等式★★★★☆☆一、一元二次不等式及高次不等式【知识点】1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）两根式：.2．三个“二次”之间的关系判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．【例题讲解】★☆☆例题1.解下列二次不等式（1）(2)(3)（4）答案：（1）或（2）(3）或（4）或★☆☆练习1.解下列二次不等式（1）（2）答案：（1）（2）★☆☆练习2.解下列二次不等式（1）（2）答案：（1）（2）★☆☆练习3.解下列二次不等式（1）；（2）；（3）答案：（1）或（2）（3）无实数解★★☆例题3.解下列高次不等式（1）（2）答案：（1）或（2）或★★☆练习1.解下列高次不等式（1）（2）答案：（1）或（2）或或知识点要点总结：二次不等式、高次不等式的解题步骤：因式分解（常用十字相乘法）；求根、标根；根据二次函数图像判断、穿根判断；“穿根法”或“穿根引线法”：从右上方开始穿，每个根穿一次，奇穿偶不穿.二、解分式不等式【知识点】对于分式不等式和高次分式不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1．分式不等式的解法若与是关于的多项式，则不等式(或<0，或0，或0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即;;;.对于形如(或)的分式不等式，其中，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解.【例题讲解】★☆☆例题1.解下列分式不等式（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）★★☆例题2.解下列分式不等式（1）（2）（3）（4）答案：（1）或（2）（3）或（4）或★★☆例题3.解下列高次分式不等式（1）（2）（3）答案:（1）或（2）（3）或或★★☆练习1.解下列分式不等式：（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）（2）（3）或（4）或或（5）或【题型知识点总结】分式不等式的解题方法（“化分为整，保证分母不为零”）：步骤：1.常数移左边，右边化为0；2.化分为整，保证分母不为0；3.因式分解；4.找根、标根；5.穿根判断.二、解绝对值不等式【知识点】、绝对值不等式的解法:时，令，求得x的范围为解.，令或,求得x的范围为解.绝对值不等式—“大于取两边，小于取中间”,令不等号两边同时平方，化简后得一元二次不等式，求得x的范围为解.【例题讲解】★☆☆例题1.解下列绝对值不等式（1）（2）（3）答案：（1）（2）或（3）或★☆☆例题2.解下列绝对值不等式（1）（2）（3）（4）|2x＋1|－2|x－1|>0.答案：（1）（2）（3）或（4）★☆☆练习1.解下列绝对值不等式：（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）或（3）（4）或【题型知识点总结】绝对值不等式的解答方法：绝对值不等式—“大于取两边，小于取中间”二、解含参不等式【知识点】1．解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(>0),一根(=0),无根(<0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：.【例题讲解】考点一：可因式分解的含参一元二次不等式求解集★★☆例题1．解关于的不等式:答案：见解析解析：由则，因为，故对分情况讨论：当时，则，所以，不等式的解集为；当时，由，不等式的解集或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.备注：本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的求解，二次项含有参数，需对二次项系数分情况讨论.★★☆练习1.（2022·北京市西城外国语学校高一月考）解关于的不等式：（Ⅰ）若，解上述关于的不等式；（Ⅱ）若，解上述关于的不等式．答案：（Ⅰ）或；（Ⅱ）详见解析解析：（Ⅰ），得，化简得，然后求解即可（Ⅱ）把化简得，，然后，对进行分类，①，②，③，④，分类后逐个进行讨论并求解即可【详解】解：（Ⅰ）把代入，得，化简得，该不等式的解为：或（Ⅱ）把化简得，，①当时，不等式的解为②，即，得，此时，不等式的解为或③，即，得或，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为，④，得，此时，，解得且综上所述，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为且当时，不等式的解为或备注：本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；属于难题★★☆练习2.解关于的不等式:

().答案：见解析解析：原不等式对应方程的两根为.，分情况讨论如下：①若，则所求不等式的解集为．②若，原不等式可化为.此时，所求不等式的解集为.③若，则所求不等式的解集为．综上所述：当，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为考点二：不可因式分解的含参一元二次不等式求解集★★☆例题2.解关于x的不等式.答案：见解析解析：因为等式不易因式分解，所以求当时，即，恒成立，解集为R.当时，即当时，得到的解为当时，得到的解为当时，即，等式得到所以，解集为★★☆练习1.解关于的不等式:答案：见解析解析：因为所以（1）当即时，原不等式的解集为；当时得当时，原不等式即为，所以当时，原不等式得解集为当时，原不等式即为，所以当时，原不等式得解集为(2)当即时，原不等式的解集综上所述①当时，原不等式的解集为②当时，原不等式得解集为③当时，原不等式得解集为④当时，原不等式的解集为考点三：已知含参一元二次不等式解集求参数范围★★☆例题3.（2022·全国高一）设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________答案：解析：【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.【详解】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.备注：本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力★★☆练习1.（2022·全国高一）关于的不等式的解集中恰有3个整数，则的取值范围是_______.答案：解析：【分析】对原不等式因式分解，利用分类讨论解集，从而求得参数的取值范围.【详解】由题可知，不等式，当时，解集为，期内恰有3个整数即为，故；当时，解集为，期内恰有3个整数即为，故；当时，解集为空集不符合题意，故的取值范围是.故答案为：备注：本题考查利用分类讨论思想解决一元二次不等式中参数的取值范围问题，属于简单题.★★☆练习2.（2022·江西省靖安中学高一月考）若不等式组的整数解只有，则k的取值范围是________．答案：解析：【分析】本题首先求出不等式的解集，把不等转化为，此时一定注意根据已知条件确定解集的表示，这是本题易犯错误的地方，再利用数形结合的方法，借助于数轴确定的取值范围．【详解】不等式的解集为，不等式可转化为：，根据已知条件不等式组的整数解只有，不等式的解集为，再借助数轴可得的取值范围为，解得，综上k的取值范围是，故答案为．备注：本题考查的是解一元二次不等式和数形结合思想应用，属于中档题．★★☆例题4.（2022·全国高一）已知不等式的解集为，则不等式的解为（）A． B．或C． D．或答案：A解析：【分析】由题意知的两根为，且，将根代入方程从而可得，则所求不等式可化简为，解出即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，的两根为，且，则，解得，则代入得.因为，则，所以可化为，解得.故选A.备注：本题考查了一元二次不等式的解.本题的关键是由已知不等式的解求出系数间的关系.本题的易错点是忽略或者没有正确判断出的符号.★★☆练习1.（2022·霍邱县第二中学高一月考）设一元二次不等式的解集为则的值为（）A．1 B． C．4 D．答案：B解析：试题分析：由题意可知方程的根为，所以有★★☆练习2.（2022·济南市历城第二中学高一期末）关于的不等式，解集为，则不等式的解集为（）A． B． C． D．答案：D解析：【分析】由不等式的解集可得,则解出不等式即可【详解】由题,是方程的两根,可得,即,所以不等式为,即,所以,故选D备注：本题考查解一元二次不等式,考查方程的根与系数的关系,考查运算能力【题型知识点总结】本题考查类一元二次不等式的恒成立问题，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．【课后练习】【巩固练习】★☆☆1.解二次不等式（1）；（2）；（3）答案：（1）或（2）或（3）★☆☆2.解分式不等式（1）（2）（3）答案：（1）（2）或或（3）★☆☆3.解绝对值不等式（1）（2）答案：（1）或（2）★★☆4.（2022·梅河口市第五中学高一月考）已知关于的不等式：．（1）当时，解该不等式；（2）当为任意实数时，解该不等式．答案：（1）；（2）当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为.解析：【分析】（1）移项后通分，将分式不等式转化为一元二次不等式后可求其解；（2）移项后通分，将分式不等式转化为整式不等式，再就分类讨论后可得其解.【详解】（1）当时，原不等式可化为即，故，所以，故原不等式的解为.（2）原不等式可化为即，当时，不等式的解为或；当时，原不等式可化为即；当时，原不等式可化为，若，则不等式的解为；若，则不等式的解为；若，则不等式的解为.综上，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为.备注：本题考查含参数的分式不等式的解，注意先观察分母的符号是否确定，如果不确定，则可以移项通分后转化为整式不等式来求解，对于含参数的一元二次不等式，注意分类讨论的层次.★★☆5.解关于的一元二次不等式为实数).答案：见解析【分析】对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判别式的符号，而这里的是关于未知系数的代数式，的符号取决于未知系数的取值范围，因此，再根据解题的需要，对的符号进行分类讨论.解析:，①当所以，原不等式的解集为或；②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为x≠－eq\f(a,2)；③当为一切实数.综上，当a