《必要条件与充分条件（3）》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《必要条件与充分条件（3）》教学设计教学目标教学目标1．掌握充要条件的概念．2．理解充要条件的意义．3．会判断条件与结论之间的充要性．4．提高数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养逻辑思维能力．教学重难点教学重难点重点：掌握充要条件的概念和意义；会判断条件与结论之间的充要性．难点：会判断条件与结论之间的充要性．教学过程教学过程一、新课导入回顾：必要条件、充分条件的理解．分析：（1）一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，即p⟹q，称p是q（2）一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，即q⟹p，称p是q思考：当命题“若p，则q”是真命题时，既有p⟹q、又有即q⟹p，p是答案：充要条件．今天，我们将继续学习必要条件与充分条件（3）——充要条件．设计意图：从回顾旧知入手，从回顾前两节课所学必要条件和充分条件，来理解充要条件，建立新旧知识连接，思考充分、必要的关系，引出充要条件，从而顺利引出本节课题．二、新知探究探究一：充要条件的理解．实例分析：用学过的必要条件和充分条件分析以下定理．勾股定理：如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角．师分析勾股定理：“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件．答案：在勾股定理的逆定理中，“三角形有一边所对的角是直角”是“三角形这边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件；“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件．总结：1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”或“p与q等价”．3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．注意：充要条件是相互的，同时存在的，p⇔q即p和思考：判断p是q的什么条件时，有哪些可能情况？探究二：充要条件的可能情况．分析：（1）如果p⇒q，且q不能推出p，则称p是（2）如果p不能推出q，且q⇒p，则称p是（3）如果q⇒p，且q⇒p，则称（4）如果p不能推出q，且q不能推出p，则称p是q的既不充分也不必要条件．注意：p是q的充要条件也可以说成是：eq\o\ac(○,1)p和q是等价的；eq\o\ac(○,2)p成立当且仅当q成立；eq\o\ac(○,3)q成立当且仅当p成立．探究三：充要条件的判断方法．知识点：（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；（2）集合法：即利用集合之间的包含关系判断．（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p小结：对充要条件的理解：（1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．（2）要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．设计意图：通过对充要条件的理解、充要条件的可能情况以及判断方法的思考三个探究活动，循循渐进，深入理解充要条件．师生互动，启发教学，培养学生逻辑思维能力．三、应用举例例1：在下列各题中，试判断p是q的什么条件.（1）p:A⊆B（2）p:a=b（3）p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形．解：（1）因为命题“若A⊆B，则A∩B=A”为真命题，并且，“若A∩B也是真命题，所以p是q的充要条件．（2）因为“a=b”⟹“a=b”，但是“a=b=|-1|”，而“1≠-1”，所以p是q（3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．例2：设集合A={1，a2，-2}，集合B={2，4}，则“a=2解：若a=2，则A若A∩B={4}，则a2=4“a=2”是“A∩B={4}例3：若x∈[1，2]，则ax解：因为x∈[1，2]，ax2因为x∈[1，2]，所以ax2∈[4a,a]，所以a≤-1四、课堂练习1．判断下列说法是否正确，正确的在它的后面的括号里画“√”，错误的画“×”．（1）若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立．（）（2）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．（）（3）若p⇒q和q⇒p有一个成立，则p一定不是（4）q不是p的必要条件时，“p推不出q”成立．（）2．设a，b是实数，则“a+b>0”是ab3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．（1）p：-（2）p：x+2≠y（3）p：a是自然数，q：a是正数．4．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则求实数参考答案：1．（1）√（2）√（3）√（4）√解析：由充要条件的理解得出．2．既不充分也不必要解析：在a、b是实数的条件下，若a=-1，b=2，则即a+b>0不能推出ab>0，a+b>0不是ab>0的充分条件；若a=-1，b=-1，则ab>0成立，而a+b>0不成立，即ab>0不能推出3．（1）p是q的充要条件；（2）p是q的必要不充分条件；（3）p是q的既不充分也不必要条件解析：（1）因为-1≤x≤5⟺-（2）由q：（x+2）2≠y2，得x+2≠y且x+2≠（3）a是自然数，但0不是正数，故p推不出q；又1.2是正数，但1.2不是自然数，故q推不出p，因此p是q的既不充分也不必要条件．4．-1解析：由x2>1，x<-1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则由“x<a”可以推“x2>1”，但由“五、课堂小结1．对充要条件的理解：（1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．（2）要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，