数学命题教学

§3.3数学命题的教学一、数学命题的意义1、数学判断判断是对思维对象有所肯定或否定的思维形式。数学判断是对空间形式和数量关系有所肯定或否定的思维形式。任何判断都应具有两个基本特征：（1）一定“要有所断定”。“A比2大吗？”“四边形ABCD是菱形吗？”（2）判断有真假之分。“1是质数”“有些一元二次方程无实根”

2、数学命题的意义

命题：表达判断的语句。数学命题：表达数学判断的语句或符号的组合。判断以下语句是否是数学命题：（1）你在干什么？（2）x>7（3）x+5=9（4）2比3大吗？（5）2+3=5（6）“线段AB的长为10cm”，（7）“三角形ABC是等腰三角形”

命题学习是美国心理学家D.P.奥苏倍尔提出的概念。

（一）数学命题学习的内容

数学命题学习主要是指学习数学公理、定理、公式、法则，其目的是为了掌握这些数学命题，并能应用数学命题解决实际问题，或为进一步学习其他数学命题做必要的准备。

二、数学命题的学习

定理：从公理或从已被证明的其他真命题出发，用逻辑推理的方法推导出来，并可进一步作为判断其他命题真假的依据的真命题。

公式：是一种特殊形式的数学命题。公式一般是指用数学符号表示几个量之间的关系的式子，它具有普遍性，适用于同类关系的所有问题。公式是用字母和符号表示的定理。

公理：在一个演绎系统中，不需要证明而把它们作为判断其他命题的真假的初始命题。

直线与平面平行的判定定理如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。线线平行线面平行求证：l

∥

α已知：lα,mα,l∥m证明：∵l∥m∴l和m确定一平面，设平面为β，则α∩β=m如果l和平面α不平行，则l和α有公共点，设l∩α=P,则点P∈m，于是l和m相交，这与l∥m矛盾，所以l

∥α（二）数学命题学习的主要形式

1、接受学习

接受学习是将学习的内容以定论的形式呈现给学生，学生将这些内容加以内化（即把它们结合进自己的认知结构之内）。

接受学习可以是机械的，也可以是有意义的。如果学生只是逐字逐句地记住定理，而没有经过任何语义加工，那么这种学习就属于机械学习；如果学生能够主动地对定理进行深层次的加工，那么这种数学定理的学习就是有意义的学习。

（1）命题学习的过程中，机械学习

产生的两种条件

新命题本身与学生已有的知识没有内在的逻辑联系，学习者不得不进行机械记忆。学生没有建立新命题与已有的知识之间联系的心理倾向，即使新命题本身与学生已有的知识之间存在着逻辑联系，命题学习也还是机械的。

（2）有意义的学习过程至少包括:

在已有的知识中找到与新命题相联系的数学知识，经语义加工而明确新命题的前提和结论。利用已有数学问题解决的经验，明确新命题的前提与结论内在的联系。明确新命题与己有的数学知识之间的区别。2、发现学习

发现学习是学生独立地获得知识的学习方式。学生从具体例子出发，通过操作、实验、分析、推理，发现一般结论。在数学教学条件下，教师可以设计和呈现相应的问题情境来加快学生的发现进程。学生通过解决这些问题得到猜想，通过检验和修正猜想，从而导致新命题意义的发现。因此在教学条件下，新命题的发现一般是在教师指导下的发现。

数学命题的发现学习和接受学习两种形式各有利弊，教师应根据所学命题的特点选择适当的学习形式。接受学习是由教师控制的，它比较紧凑，节约时间。但在对激发学生学习的兴趣引起学生对实际问题的关注等方面又显得不足。发现学习有助于培养学生的探索精神，但要花费较多的时间。接受学习与发现学习所获得的知识应用于情境变化较大的问题中的成绩相比，发现学习的成绩较好。三、公理的教学（一）公理恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定。”公理的真实性不是由逻辑推理来确定的，而是经过人类长久以来的实践直接证实的。

中学数学中的公理，大多出现在几何教材里。数学中的公理体系，要满足相容性、独立性和完备性。对于中学生来说，完整的数学公理体系内容太多、太深，现行的初中几何教材采取扩大的欧式公理体系，来解决这个矛盾。在这个扩大的欧式公理体系中，所列的公理既有多余的，又有不足的，在独立性和完备性上都是不够严格的。在具体展开时，按照教学内容和学习顺序，根据需要逐步提出来。这样编排教材，既减少了学生学习上的困难，又有利于培养学生的推理能力。

既然公理是不加证明的命题，其真实性又是长期生活、生产实践总结出来的，在中学数学中又是证明其他命题的出发点，所以，在教学中应该让学生很好地理解公理的真实性。这就要从日常生活中所熟知的实际事例或从给学生提供的实验资料等直观因素中，归纳地引进公理。

（二）公理教学应注意的几个方面：

1、从学生熟悉的事例归纳出公理。

2、在学生实践的基础上归纳出公理。3、通过适当的练习，让学生巩固掌握结论、增加对公理认识的现实感，并学会将学到的公理作为演绎推理的依据和出发点，去推理证明其他问题。

四、定理的教学

（一）定理的引入

这是定理、公式教学的一个重要环节，这一环节处理的好坏，对培养学生的创新意识和实践能力有直接的影响。

1、通过实践、探索、猜想发现命题。2、通过已学过的定理过渡迁移引入。（二）认识定理的结构

认识定理的结构是证明定理的基本出发点，它的主要任务是帮助学生分辨定理的条件和结论，发掘定理所涉及的概念的特征或图形的性质，利用有关数学符号，把已知和求证确切而简练地表达出来。这一过程就是通常所说的读题、审题和弄清题意。

1、分清定理的条件和结论。2、正确理解定理中关键词语的意义，将定理的文字语言译成符号语言。3、注意定理的应用范围。（三）了解定理证明的思维过程，掌握定理的证明与推导定理教学的重点在于让学生掌握证明问题的思路和方法，对那些思路、方法和技巧上具有典型意义的要加以总结，以提高学生分析、解决问题的能力。它包括两个方面：

1、使学生了解怎样探索证明途径。2、使学生掌握定理证明过程中每一步推理的依据。（四）明确定理的应用价值和适用范围，并通过适量的练习进行巩固

在定理教学中，要注意安排好各类习题，除基本的巩固题、综合题外，还应该适当补充一些逆用、变用定理（包括公式、性质等）的例题和习题，以培养学生活用、逆用的能力。（五）及时揭示定理的内在联系，使学生的知识系统化1、中学数学中的许多定理，彼此联系紧密。在教完这些定理之后，应注意及时揭示这些定理之间的内在联系，使学生的知识系统化。2、引导学生对某些定理作适当的不同方向上的推