隨機化集區拉丁方陣與相關設計

.PAGE@:隨機化集區，拉丁方陣，與相關設計隨機化集區，拉丁方陣，與相關設計Chap4.RandomizedBlocks,LatinSquares,andRelatedDesign4-1随机化完全集区设计〔TheRandomizedCompleteBlockDesign〕在任何实验中，扰动因子〔NuisanceFactor〕引起的变异对其结果会有影响。扰动因子之定义：一设计因子，其对反响有效果而实验者却对此效果无兴趣。未知且无法控制〔UnknownandUncontrolled〕的扰动因子：不知其存在及实验进展时可能改变水准。随机化是一种设计技巧用来防范此『埋伏』的扰动因子。然而，但不可控制〔KnownbutUncontrollable〕的扰动因子，倘于每次实验时会观测到此的扰动因子之值，那么于ANOVA时其会被补偿。如扰动变异来源是且可控制〔KnownandControllable〕时，集区划分〔Blocking〕之设计将可系统化地消除其对处理间统计比较的影响。兹欲研究硬度机性能测试实验，共有4种锋利物和4块可供测试的金属物品。每1种锋利物在每块金属物品上测试一次，另期望实验误差是愈小愈好，因此从实验误差中将金属物品间的变异给隔分开来，成为一随机化完全集区设计〔RandomizedCompleteBlockDesign〔RCBD〕〕。〞完全〞即是每个集区〔金属物品〕包含了所有的处理〔锋利物种类〕。经由此设计，集区〔金属物品〕形成一同构型更高的实验单位来比较锋利物，同时在任一集区内，4种锋利物测试的顺序是随机，那么此策略亦很有效地改善锋利物间比较之准确性。锋利物种类金属物品〔集区〕123419.39.49.610.029.49.39.89.939.29.49.59.749.79.610.010.2〔RockwellC尺度之硬度值〕-40随机化完全集区设计使用非常广泛，如测试仪器、机器设备、原料的批次、人、与时间，这些经常是实验中扰动变异的来源〔KnownandControllable〕，可用集区划分的方式加以系统化地控制。4-1.1随机化完全集区设计之统计分析〔StatisticalAnalysisoftheRCBD〕假设有a种处理要比较及b个集区，在每个集区里每种处理各有一观测值，同时每个集区中各处理进展的顺序是随机决定的，因为单一的处理的随机化是在集区里，故通称集区是一受限制之随机化〔RestrictedRandomization〕。Block1Block2….Blockby11y12…y1by21y22…y2by31y23….y3b..….ya1ya2…yab此设计之统计形式是yij=+i+j+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b 〔4-1〕式中，是总平均、是i第i种处理的效果、是j第j个集区的效果、与随机误差项ij~NID〔0,2〕。处理与集区暂时考虑为固定效果因子，另处理与集区效果均定义为从总平均的离差〔Deviation〕，所以， i=1ai =0 and j=1bj=0 另亦可用〞均值形式〞表示，yij=ij+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b式中，ij=+i+j，欲研究处理平均是否相等，检定假设为H0：1=2=…=a H1：至少一个ij因为第i种处理平均值i=〔1/b〕j=1b〔+i+j〕=+i，如此检定假设另一种表示为H0：1=2=…=a H1：至少一个i0 假设yi为第i种处理下之所有观测值总和、yj为第j个集区下之所有观测值的总和、y为所有观测值总和、及N=ab为所有观测值的数目，那么 yi=j=1b〔yij〕 i=1,2,…,a 〔4-2〕yj=i=1a〔yij〕 j=1,2,…,b 〔4-3〕y=i=1aj=1b〔yij〕=i=1a〔yi〕=j=1b〔yj〕 〔4-4〕同理，为第i种处理下之所有观测值的平均值、为第j个集区下之所有观测值的平均值、为所有观测值的平均值，那么 =yi/b；=yj/a； =y/N 〔4-5〕总〔校正〕平方和〔TotalCorrectedSumofSquares〕 〔4-6〕 =〔4-7〕此表示对总平方和的一种分割，故〔4-7〕式可表示成，SST=SSTreatments+SSBlocks+SSE 〔4-8〕变异来源平方和SS自由度df处理〔组间〕SSTreatmentsa-1集区SSBlocksb-1误差〔组内〕SSE 〔a-1〕〔b-1〕总和SSTN-1〔4-8〕式左右两边之自由度相等，因此，如假设误差项为常态，那么可引用Cochran定理证明SSTreatments/2，SSBlocks/2，与SSE/2均为独立分配的卡方随机变量。另每个平方和除以本身之自由度即为个别的均方，这些均方的期望值，当处理和集区为固定时，那么 E[MSTreatments]=2+bi=1a〔i2〕/〔a-1〕E[MSBlocks]=2+aj=1b〔j2〕/〔b-1〕E[MSE]=2所以，假设欲检定处理平均值相等与否，其检定统计式为， F0=MSTreatments/MSE ，当F0＞F,〔a-1〕,〔a-1〕〔b-1〕，回绝H0。 另亦可对集区平均值做比较，倘这些平均值无太大差异，那么将来实验时可无须集区划分。变异来源平方和SS自由度df均方MSF0处理〔组间〕SSTreatmentsa-1SSTreatments/a-1SSTreatments/MSE集区SSBlocksb-1SSBlocks/b-1误差〔组内〕SSE 〔a-1〕〔b-1〕SSE/〔a-1〕〔b-1〕总和SSTN-1〔4-6〕~〔4-8〕式亦可修改以利用手算，如SST=i=1aj=1byij2-y2/N 〔4-9〕SSTreatments=〔i=1ayi2〕/b-y2/N 〔4-10〕SSBlocks=〔i=1byj2〕/a-y2/N 〔4-11〕 SSE=SST-SSTreatments-SSBlocks 〔4-12〕************例题4-1欲研究硬度实验。共有4种锋利物和4块可供测试的金属物品。每1种锋利物在每块金属物品上测试一次，成为一个集区随机设计。锋利物种类金属物品〔集区〕123419.39.49.610.029.49.39.89.939.29.49.59.749.79.610.010.2SOL:变异来源平方和自由度均方FP-Value处理〔锋利物种类〕38.50312.8314.440.0009集区〔金属物品〕82.50327.50误差8.0090.89总和129.0015F〔=14.44〕值大于临界值〔=3.86〕，且P-值为0.0009小于显著水准0.05RejectH0锋利物种类确实会影响平均硬度读值。〔倘无考虑集区〕变异来源平方和SS自由度df均方MSF处理〔锋利物种类〕38.50312.831.70误差90.50127.54总和129.0015F〔=1.70〕值小于临界值〔=3.49〕。AcceptH0锋利物种类的平均硬度读值相等。*************另残差之计算， eij=yij-,其中配适值为， 所以 eij=yij-=yij 〔4-13〕下节再将用残差进展〞形式适当性检验〞。多重比较〔MultipleComparisons〕 倘随机化集区设计中之处理是固定的，且分析出处理平均值间有显著差异，那么用多重比较检视何者平均值不同，上一章〔第3-5.1节〕多重比较的方法均可使用。4-1.2形式适当性检本〔ModelAdequacyChecking〕 前一章已述，检查假设的形式之适当性是非常重要，一般而言，检查工程包括常态假设、处理或集区的不相等误差变异、与集区-处理的交互作用等潜在问题。如完全随机设计一样，残差分析是此种诊断检查的主要工具。图4-4例题4-1残差之常态机率图 由图4-4残差之常态机率图视出，未有严重的〞非常态〞迹象，与无任何可能的离群值。 倘某锋利物的残差相当离散，即表示此种锋利物所产生的硬度读值相当不稳定。又如某金属样本的残差相当离散，即表示此种金属样本本身硬度的均匀性不佳。〔a〕残差与处理图〔b〕残差与集区图图4-5例题4-1残差与处理、集区图由图4-5示，例题4-1看不出以处理或以集区有任何变异不相等的迹象。图4-6例题4-1残差与配适值图 检视图4-6，残差大小与配适值无任何关系，没有不寻常的讯息。有时残差与配适值呈曲线的形状，此意味着处理与集区的交互作用〔Interaction〕，如确有此形态发生，那么利用转换以尽可能消除或极小化该交互作用，有关这部分问题将于第5章详述。4-1.3随机化完全集区设计之其它方面〔SomeOtherAspectsoftheRandomizedCompleteBlockDesign〕随机化集区形式之可加性〔AdditivityoftheRandomizedBlockModel〕随机化集区设计的线性形式，yij=+i+j+ij,是具有完全地可加性，此表示 E[1]=5， E[1]=2， 那么 E[y11]=+1+1=+5+2=+7 此简单的加法形式是很有用的，但亦有不适用的情况，如处理与集区发生交互作用。同理，用不当的尺度量测反响时会造成处理与集区发生交互作用，假设原尺度是乘法关系，E[yij]=ij在对数尺度将是一线性或可加性的关系，如lnE[yij]=ln+lni+lnj残差分析及一些诊断手法有助于检视非可加性。一但出现交互作用，其严重甚至可能造成ANOVA无效，其会膨胀误差均方及可能影响处理间的比较，如有此况，那么用〞因子设计〔FactorialDesign〕〞，此部份5-9章详述。随机处理与集区〔RandomTreatmentsandBlock〕 上述已说明处理与集区为固定因子时之检定程序，同样步骤可以用在当处理或集区〔或两者〕是随机时，然所对应结果的解释上须有所改变，如希望处理间的比较对于实验随机选出的集区来自整个集区母体〔PopulationofBlocks〕是一样的。对于均方期望值亦有对应改变，如集区具有一样变异数的独立随机变量，那么 E[MSBlocks]=2+2其中2为集区效果的变异数，无论如何，E[MSTreatments]永远不包含任何集区效果，而处理间比较的检定统计量永远是 F0=MSTreatments/MSE当集区是随机时，倘处理与集区有交互作用，那么处理平均值间之比较不受交互作用的影响，理由是处理及误差的均方期望值均包含交互作用之效应，所以，处理平均值间差异之检定同前，亦即比较处理均方与误差均方，但不提供任何交互作用的讯息。样本大小之选择〔ChoiceofSampleSize〕 选择样本大小、或集区数目，是随机化集区设计中的一重要决策，样本大小之选择〔ChoiceofSampleSize〕选择样本大小、或集区数目，是随机化集区设计中的一重要决策4-1.4估计形式参数与一般性回归显著检定〔EstimatingModelParametersandtheGeneralRegressionSignificanceTest〕如处理与集区是固定的，用最小平方法来估计随机化完全集区形式中的参数，此线性统计形式是yij=+i+j+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b 〔4-17〕 常态方程式〔NormalEq.〕，那么… 〔4-18〕 …. 第2到第〔a+1〕个方程式加总即为第1个常态方程式，而最后b个方程式加总亦为第1个常态方程式，因此，2个线性相依在〔4-18〕式中，意味着需要有2个限制式来解，其限制式为 〔4-19〕利用限制式，常态方程式简化为 〔4-20〕而其解那么为 〔4-21〕利用〔4-21〕式中常态方程式的解，那么yij的估计值或配适值， 一般性回归显著检定可用来开展随机化集区设计的ANOVA，利用〔4-21〕式的常态方程式的解，为配适完好形式，其简化〔Reduction〕平方和为且有〔a+b-1〕个自由度，与误差平方和为，且有〔a-1〕〔b-1〕个自由度，此