三角函数概念、同角关系、诱导公式

在此处键入公式。任意角的三角函数、同角关系及诱导公式基础训练1.角则的终边落在________________象限.2.扇形的圆心角是，半径为5cm，它的弧长为________,面积为3.把表示成的形式，使最小的值是4．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，那么tanθ的值是________．5．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．6.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值为7．设α＝－eq\f(35,6)π，则eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋sinπ－α－cos2π＋α)的值等于________．典型例题例1：已知sinα＝－eq\f(3,5)，求cosα，tanα的值．跟踪训练1已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．例2：已知α是第三象限角，化简：eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα)).跟踪训练21．化简：eq\r(1－2sin40°cos40°)＝________.2．化简：eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α)=例3：求证：eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).跟踪训练3(1)求证：eq\f(2sinxcosx－1,cos2x－sin2x)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1).(2)求证：eq\f(tanθ·sinθ,tanθ－sinθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ).例4：已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α≤eq\f(3π,2)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))的值．跟踪训练4已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值．例5化简：eq\f(sin2π－αcosπ＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)π－α)),cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)π＋α))).跟踪训练5求证：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(3,2)π)))＝eq\f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).例6：已知sin(5π－θ)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－θ))＝eq\f(\r(7),2)，求sin4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋cos4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋θ))的值．跟踪训练6已知sin(θ－eq\f(3,2)π)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋θ))＝eq\f(3,5)，求sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))的值．四当堂检测1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值为2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．4．已知角α终边上一点P(－4m,3m)(m<0)，则sin(π＋α)＋cos(π－α)5．若α是第三象限角，则化简eq\r(1－2sinπ－αcosπ－α)的结果为________．6．如果|cosx|＝cos(x＋π)，则x的取值集合是________．7．有下列命题，其中正确的命题个数是________．(1)终边相同的角的同名三角函数的值相等；(2)终边不同的角的同名三角函数的值不同；(3)若sinα＞0，则α是第一、二象限角；(4)若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).8．已知：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋x))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))的值．9．已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，求tan(2π－α)的值．课后练习一、填空题1、已知cosθ＝eq\f(3,5)，且eq\f(3π,2)＜θ＜2π，那么tanθ的值为________．2．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，那么tanθ的值是________．3．已知cosα＝tanα，则sinα＝________.4．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．5．在△ABC中，若cosA＝eq\f(\r(3),2)，则sin(π－A)＝________；若sinA＝eq\f(1,2)，则cosA＝________.6．已知sin(45°＋α)＝eq\f(5,13)，则sin(225°＋α)＝________.7．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________.8．已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈(－eq\f(π,2)，0)，则tan(2π－α)的值为________．9．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,3)，那么sin(eq\f(3π,2)－α)等于________．10．下列各命题中，正确的是________．①存在角α，使cosα＝eq\f(1,3)，tanα＝eq\f(15,4)②不存在角α，使sinα＝cosα＝eq\f(2\r(2),3)③coseq\f(2π,3)＝eq\r(1－sin2\f(2π,3))④若sinα－cosα＝eq\f(\r(3),3)，则α是锐角11．若cosα＝－eq\f(3,5)且tanα＞0，eq\f(tanα·cos3α,1－sinα)=12．sin95°＋cos175°的值为________．13．已知sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，则cos(eq\f(π,4)＋α)的值等于________．14．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．①cos(A＋B)＝cosC；②sin(A＋B)＝－sinC；③cos(eq\f(A,2)＋C)＝cosB；④sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2).二、解答题15．化简：eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(sinx＋cosx,tan2x－1).16．(1)已知0＜α＜π，sinα·cosα＝－eq\f(60,169)，求sinα－cosα的值；(2)已知0＜α＜π，sinα·cosα＜0，且sinα＋cosα＝eq\f(1,4)，求sinα－cosα的值．17．已知tan(x＋eq\f(8,7)π)＝a，求证：eq\f(sin\f(15,7)π＋x＋3cosx－\f(13,7)π,sin\f(20,7)π－x－cosx＋\f(22,7)π)＝eq\f(a＋3,a＋1).18．若cosα＝eq\f(2,3)，α是第四象限角，求eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值．19．已知cos(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(\r(3),3)，求证：sin(eq\f(4π,3)＋α)＋cos2(eq\f(2π,3)－α)＝eq\f(2－\r(3),3).20.已知f(α)＝eq\f(sinα－3πcos2π－α·sin－α＋\f(3,2)π,cos－π－αsin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－eq\f(3,2)π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．部分习题答案1、已知cosθ＝eq\f(3,5)，且eq\f(3π,2)＜θ＜2π，那么tanθ的值为________．解析：因为θ为第四象限角，所以tanθ＜0，sinθ＜0，sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\f(4,5)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)2．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，那么tanθ的值是________．解析：设P(x，y)是角θ终边上任一点，P到坐标原点的距离为r，则r＝eq\r(x2＋y2)≠0，且sinθ＝eq\f(y,r)，cosθ＝eq\f(x,r).由已知有eq\f(y＋x,r)＝eq\f(1,5)，①即25(x＋y)2＝x2＋y2，整理并解得eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4)或eq\f(y,x)＝－eq\f(4,3)，②.因为0＜θ＜π，所以y＞0，又由②知x＜0，再由①知x＋y＞0，则|x|＜|y|.所以－1＜eq\f(x,y)＜0，eq\f(y,x)＜－1.所以tanθ＝eq\f(y,x)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)3．已知cosα＝tanα，则sinα＝________.解析：利用同角三角函数关系式求解．因为cosα＝tanα，所以cosα＝eq\f(sinα,cosα)，即sinα＝cos2α≥0，可得sinα＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝eq\f(－1±\r(5),2)，舍去负值，得sinα＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)4．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．解析：原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.答案：25．在△ABC中，若cosA＝eq\f(\r(3),2)，则sin(π－A)＝________；若sinA＝eq\f(1,2)，则cosA＝________.解析：sin(π－A)＝sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(1,2)，cosA＝±eq\r(1－sin2A)＝±eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(1,2)±eq\f(\r(3),2)6．已知sin(45°＋α)＝eq\f(5,13)，则sin(225°＋α)＝________.解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－eq\f(5,13).答案：－eq\f(5,13)7．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________.解析：由cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，易得cosα＝eq\f(5,13)，又因为sin(－2π＋α)＝sinα，所以只需求出sinα即可．答案：－eq\f(12,13)8．已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈(－eq\f(π,2)，0)，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sinα＝log8eq\f(1,4)＝－eq\f(2,3)，tan(2π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(－\f(2,3),\r(1－sin2α))＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)9．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,3)，那么sin(eq\f(3π,2)－α)等于________．解析：∵cos(π＋α)＝－eq\f(1,3)，∴cosα＝eq\f(1,3)，又∵sin(eq\f(3π,2)－α)＝－cosα，∴sin(eq\f(3π,2)－α)＝－eq\f(1,3).10．下列各命题中，正确的是________．①存在角α，使cosα＝eq\f(1,3)，tanα＝eq\f(15,4)②不存在角α，使sinα＝cosα＝eq\f(2\r(2),3)③coseq\f(2π,3)＝eq\r(1－sin2\f(2π,3))④若sinα－cosα＝eq\f(\r(3),3)，则α是锐角解析：②中sin2α＋cos2α＝eq\f(8,9)＋eq\f(8,9)＝eq\f(16,9)＞1.故不存在这样的角α.答案：②11．若cosα＝－eq\f(3,5)且tanα＞0，求eq\f(tanα·cos3α,1－sinα)的值．解：eq\f(tanα·cos3α,1－sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)·cos3α,1－sinα)＝eq\f(sinα·cos2α,1－sinα)＝eq\f(sinα(1－sin2α),1－sinα)＝eq\f(sinα(1－sinα)(1＋sinα),1－sinα)＝sinα(1＋sinα)．由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＞0，cosα＝－eq\f(3,5)＜0，∴sinα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，∴原式＝sinα(1＋sinα)＝－eq\f(4,5)·(1－eq\f(4,5))＝－eq\f(4,25).12．sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：013．已知sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，则cos(eq\f(π,4)＋α)的值等于________．解析：∵(eq\f(π,4)＋α)－(α－eq\f(π,4))＝eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)＋(α－eq\f(π,4))，∴cos(eq\f(π,4)＋α)＝cos[eq\f(π,2)＋(α－eq\f(π,4))]＝－sin(α－eq\f(π,4))＝－eq\f(1,3).14．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．①cos(A＋B)＝cosC；②sin(A＋B)＝－sinC；③cos(eq\f(A,2)＋C)＝cosB；④sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2).解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，所以①②都不正确；同理B＋C＝π－A，所以sineq\f(B＋C,2)＝sin(eq\f(π,2)－eq\f(A,2))＝coseq\f(A,2)，所以④是正确的．9．化简：eq\f(sin2x,sinx－cosx)－eq\f(sinx＋cosx,tan2x－1).11．(1)已知0＜α＜π，sinα·cosα＝－eq\f(60,169)，求sinα－cosα的值；(2)已知0＜α＜π，sinα·cosα＜0，且sinα＋cosα＝eq\f(1,4)，求sinα－cosα的值．解：(1)∵0＜α＜π，sinα·cosα＝－eq\f(60,169)＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×(－eq\f(60,169))＝eq\f(289,169)，∴sinα－cosα＝eq\f(17,13).(2)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,4)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,16)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,16)，∴2sinαcosα＝－eq\f(15,16).又∵0＜α＜π，sinα·cosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(31,16)，∴sinα－cosα＝eq\f(\r(31),4).15．求证：eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)＝－tanα.证明：左边＝eq\f(\f(sin2π－α,cos2π－α)·sin－α·cos－α,cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(－sinα·－sinα·cosα,cosα·－cosα·sin