蔡氏电路中非线性电阻的实验实现

陕西理工学院毕业论文（设计）PAGE第49页共49页引言蔡氏电路是美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠教授(Leon.O.Chua)设计的能产生混沌行为的最简单的自治电路,该典型电路并不唯一,最初发现的蔡氏电路实际上是同性质的某一族电路中的一个，这类电路被命名为“蔡氏振荡器”,从而将这一普适性电路与最初定义的“蔡氏电路”加以区别氏电路在非线性系统及混沌研究中占有极为重要的地位[2]。在蔡氏电路的分析及实验研究中,为电路建立一个精确的试验模型,从而观察混沌现象并定量分析它,这一点十分重要,而其中,非线性电阻的试验电路的实现这一环节是一个关键。实现蔡氏电路中非线性电阻的方法很多，本文采用的是运放加双二极管的电路来实现，这个实现电路是一个压控型电路，即其电流是输入电压的一个单值函数，从而测量出一定电压范围内每个输入电压对应的电流大小．本文就蔡氏电路中非线性电阻，建立了等效的硬件电路模型，并对其电路进行了测试和PSPICE软件的仿真，得到了该电路的伏安数据。而且从数据上得出了该电路伏安特性性是非线性的，并对比了软件仿真数据和硬件测试数据，给出了详细的误差分析，从而为蔡氏混沌现象和其它理论研究奠定了理论基础。1非线性电阻电路在电路系统中，如果元件的参数与其电压或电流有关，就称该元件为非线性元件，含有非线性元件的电路称为非线性电路。实际电路元件的参数总是或多或少地随着电压或电流而变化,所以、严格说来,一切实际电路都是非线性电路。但是,在工程计算中,特别是对于那些非线性程度比较微弱的电路元件作为线性元件来处理,不会带来本质上的差异,从而将会简化电路分析。但是,对于许多本质因素具有非线性特性的元件,如果忽略其非线性特性就将无法解释非线性电路所发生的物理现象;可能导致计算结果与实际量值相差太大而无意义,甚至可能还会产生本质的差异。由于非线性电路本身固有的特殊性,分析研究非线性电路具有极其重要的工程物理意义。1.1非线性电阻的伏安特性在电阻电路中如果含有非线性电阻，该电路就称为非线性电阻电路。非线性电阻的伏安关系不满足欧姆定律，而是遵循某种特定的非线性的函数关系,其符号如图1.１a所示。(a)非线性电阻符号(b)流控型伏安特性(c)压控型伏安特性图1.1非线性电阻流控型的非线性电阻：若非线性电阻的伏安关系表示为(1.1.1)则非线性电阻两端的电压是其电流的单值函数，被称为流控型的非线性电阻,其典型的伏安特性如图1.1b所示,从其特性曲线上可以看到:对于同一电压值,与之对应的电流可能是多值的。独立电压源就是流控型电阻器，因为。（2）压控型的非线性电阻：若非线性电阻的伏安关系表示为(1.1.2)则非线性电阻中的电流是其两端电压的单值函数，被称为压控型的非线性电阻,其典型的伏安特性如图1.1c所示,从其特性曲线上可以看到:对于同一电流值,与之对应的电压可能是多值的。隧道二极管就具有这样的伏安特性。独立电流源就是压控型电阻器，因为从图1.1c、b中还可以看出,上述两种伏安特性曲线都具有一段下倾的线段。就是说在这一段范围内电流随着电压的增长反而下降,故在这一段范围内其动态电阻具有负电阻的特性。单调型的非线性电阻：若非线性电阻的伏安特性是单调增长或单调下降的，它同时是电流控制又是电压控制的，其特性即可以用或表示。例如电阻的电阻器就是这种电阻器。例如p-n结二极管也属于此类非线性电阻。其伏安特性可用下列函数式表示(1.1.3)式中为一常数,称为反向饱和电流,是电子的电荷(库),是波尔兹曼常数,为热力学温度,而且为绝对温度,在(室温下)时因此从式可求得(1.1.4)换句话说,电压可用电流的单值函数来表示。图1.2为它的伏安特性曲线。图1.2结二极管的伏安特性特别要指出的是线性电阻是双向性的,而许多非线性电阻却具有单向性。当加在非线性电阻两端的电压方向不同时,流过它的电流也完全不同,故其特性曲线不对称于原点。为了计算上的需要,对于非线性电阻元件引用静态电阻和动态电阻的概念。定义非线性电阻元件在某一工作状态下(如图1.2中点)的静态电阻等于该点的电压值与电流值之比,即显然点的静态电阻正比于。定义非线性电阻元件在某一工作状态下(如图1.2中点)的动态电阻等于该点的电压对电流的导数值,即(1.1.5)显然点的动态电阻正比于。当非线性电阻元件串联或并联时,只有所有非线性电阻元件的控制类型相同,才有可能得出其等效电阻伏安特性的解析表达式。如果把非线性电阻元件串联或并联对外当作一个一端口时,则端口的电压和电流关系或伏安特性称为此一端口的驱动点特性。对于图1.3a所示两个非线性电阻的串联电路,设两个非线性电阻的伏安特性分别为,,用表示图1.3a所示两个非线性电阻串联电路的一端口伏安特性。根据和,得:又有(1.1.6)因此对所有,则有(1.1.7)所以,其驱动点特性为一个电流控制的非线性电阻,因此两个电流控制的非线性电阻串联组合的等效电阻还是一个电流控制的非线性电阻。非线性电阻的串联等效伏安特性图1.3非线性电阻的串联也可以用图解的方法来分析非线性电阻的串联电路。图1.3b说明了这种分析方法,即在同一电流值下将和相加可得出。例如,当时,有,,而。取不同的值,可逐点求出其等效伏安特性,如图1.3b。如果这两个非线性电阻中有一个是电压控制型,在电流值的某范围内电压是多值的。很难写出其一端口等效伏安特性的解析式。但是用图解的方法不难获得其等效非线性电阻的伏安特性。图1.4a所示电路由线性电阻和直流电压源及一个非线性电阻组成。线性电阻和电压源的串联组合可以是一个线性一端口的戴维宁等效电路。设非线性电阻的伏安特性如图1.4b所示。这里介绍另一种图解法,称为“曲线相交法”。应用这种图解法可以求出图1.4a虚线方框所示一端口的伏安特性。(a)(b)图1.4静态工作点此电路可能有一个、两个或三个工作点。对此电路用,可得下列方程(1.1.8)此方程可以看作是图1.4a虚线方框所示一端口的伏安特性。它在平面上是一条如图1.4b中的直线。设非线性电阻的伏安特性可表示为(1.1.9)直线与此伏安特性的一个交点同时满足式和式,选交点作为该电路的工作点。所以有:和；交点称为电路的静态工作点,它就是图4a所示电路的解集中的一个解。在电子电路中直流电压源通常表示偏置电压,表示负载,故直线通常表示称为负载线。图1.5所示为两个非线性电阻的并联电路。按和有(1.1.10)设两个非线性电阻均为电压控制型的,其伏安特性分别表示为(1.1.11)图1.5非线性电阻的并联由此并联电路组成的一端口的驱动点特性用来表示。利用以上关系,可得(1.1.12)所以此一端口的驱动点特性是一个电压控制型的非线性电阻。如果并联的非线性电阻中之一不是电压控制的,就得不出以上的解析式,但可以用图解法来解。用图解法来分析非线性电阻的并联的非线性电阻电路时,把在同一电压值下的各并联非线性电阻的电流值相加,即可得到所需要的驱动点特性。对于一个含有独立电源的特定的非线性电阻电路,若将其中任意一个独立电压源或独立电流源分离出来,构成一个独立电源激励下的一端口。对于这种特定的非线性电阻电路,它的一端口驱动点特性,是指一端口內部所有独立电源均为定值时,改变端口电压(或端口电流),在一端口平面上绘制的端口伏安特性曲线,这种一端口驱动点特性图简称为(drivingpoint)图。注意:对于同一个电路当抽出其中不同的电源时，就可以形成不同的一端口，端口就有不同的驱动点特性。对于非线性电阻电路形成的二端口，当的一个端口接有电压源或电流源，该端口称为驱动端口，另一个端口开路或短路，称为响应端口。当二端口内部所有独立源取定值时，驱动端口的电压（或电流）与响应端口的电压或电流的变化曲线称为转移特性，这种转移特性图简称为TC（transfercharacteristic）图。1．2分段线性化方法分段线性化方法(又称折线法)是研究非线性电路的一种有效方法,它的特点在于能把非线性的求解过程分成几个线性区段,就每个线性区段来说,其伏安特性可用直线的斜率和表征该段直线的电压和电流来唯一的确定，因而又可以应用线性电路的计算方法。图1.6a中的虚线为隧道二极管的伏安特性,此特性可用图示的三段直线来粗略地表示。,当(区域1),当(区域2),当(区域3)其中确定了这三个区域,而和为转折点的电压值。图1.6a所示的伏安特性可以分解为三个伏安特性,即直线,折线和,并设图1.6a中有关直线段的斜率分别为和,根据非线性电阻(或电导)并联的图解法原则,就可以确定和。(a)(b)图1.6分段线性化特性的合成在区域1应当有或在区域2有或同理,在区域3有或因此,可得,,而图1.6a所示的伏安特性则是和这三个电导并联后的等效电导的伏安特性。其静态工作点也可以用图解法来确定。不过应当注意,如果静态工作点位于图1.7a所示的位置,表示该点确实是工作点,如果负载线与分段线性的伏安特性交点位于图1.7b所示位置,则只有为实际的工作点,而、并不代表实际的工作点,因为其交点并不位于对应的区段。(a)静态工作点(b)负载线与分段线性的伏安特性交点图1.7隧道二极管的静态工作点在用折线表示非线性电阻的伏安特性后，对每一段直线都可以用代维宁或诺顿等效电路来代替。其等效电流源和等效电压源分别是其直线在坐标纵轴（电流轴）和横轴（电压轴）上的截距。其等效的或参数则取决于对应的各段直线的斜率。应该注意的是，非线性电阻伏安特性中垂直线段必须用用代维宁等效电路来代替；水平线段必须用诺顿等效电路来代替。1.3非线性电阻电路综合简介当给定了非线性电阻电路的工作点，DP图、TC图或其组合形式表示的技术条件，要求其符合预定技术条件的电路，这一类问题称为综合问题。在非线性电阻电路的DP图综合中，凹电阻和凸电阻起着重要作用。若一端口电路的图上每一点的斜率都是正值，就称为单调图，如果给定的一端口电路的图是单调的，就可将该图分解为多个凸电阻或凹电阻所对应的伏安特性，当分段线性化的图中有几个转折点时，就有几个凸电阻、凹电阻所对应的伏安特性。当给定一个待综合的非线性电阻电路伏安特性是位于一、二象限的分段线性化图时,首先从左到右根据转折点的电压和斜率逐段地分解为凸电阻或凹电阻。当待分解段的斜率大于前一段的斜率时。该段可用一个凹电阻表示,且与前面的电路相并联;当待分解段的斜率小于前一段的斜率时,该段可用一个凸电阻表示,且与前面的电路相串联。依次进行即可得到待综合的非线性电阻电路及各元件的参数。当给定一个待综合的非线性电阻电路伏安特性是位于三、四象限的分段线性化图时,首先将图逆时针旋转,对于旋转后的图进行综合,一旦获得其综合结果,将所得电路反过来连接即可。需要注意的是非单调的分段线性化图上的折线段至少有一段的斜率为负值时,这类图不能仅靠凹电阻、凸电阻的串并联组合来综合。实现这类非单调的分段线性化图的综合一般需要用负电阻。当待综合的一端口的图是流控型分段线性化图时,若这个流控型分段线性化图含有条负斜率段。设其中负斜率绝对值最大的线段电阻为,则选择一个正电阻与串联。总能得到一个特性单调的图,然后对其综合。当待综合的一端口的图是压控型分段线性化图时,可用对偶的方法进行综合,即用一个负电导与特性单调的图所对应的一端口相并联,而与对应的一端口相并联电导绝对值的大小应选择大于斜率最负段的电导绝对值。1.4含有非线性电阻的电路方程[3]对于任一非线性电阻电路，分析时,首先要考虑以下两点：电路的拓扑结构；非线性电阻元件特有的伏安特性。基尔霍夫定律KCL和KVL是分析非线性电路的基本定律。注意：叠加定理不适用于非线性电路，因为叠加性是线性的直接结论，互易定理也不适用于非线性电路。通常应用支路电流法，回路电流法，结点电压法，戴维宁定理，特勒根定理等来编写非线性电阻电路的方程。对偶原理也可适用于非线性电路，因为互为对偶的元件特性也应当是对偶的。在非线性电路中，替代定理也是成立的，既任何一条支路总可以用下列方式替代：（1）的理想电压源，其中为被替代支路的端电压；（2）的理想电流源，其中为被替代支路的电流。通常，非线性电阻电路的代数方程式是一组独立的非线性的函数方程式，即………………（1.4当电源随时间变化时，则未知量均为的显函数。式（1）共有个电压变量，个电流变量，故式（1）共有个独立方程式。其解也是时间的函数。如果电路中电源不随时间变化，即为直流电源，则电路为直流电路，其方程式变为………………（1.４其解是一组数。我们把式（1.４.２）的解称为非线性电路的工作点。一个非线性电路可能有一个工作点，，也可能有无限多个工作点，甚至还可能根本就没有工作点。对于交流也可能有几个工作点非线性电路来说，每一瞬间都有确定的工作点，随着时间的推移，工作点也要跟着变化。这里介绍几种编写非线性电阻电路代数方程式的常用方法：A根据KCL,KVL以及元件伏安特性编写非线性电阻电路代数方程式B结点电压方程式以结点电压（电位）为独立变量建立的电路方程式。解出电路中各结点电压（电位）之后，再根据KCL,KVL以及元件伏安特性计算出各支路电压和各支路电流。需要注意的是结点电压（电位）法要求电路中非线性电阻元件的伏安关系必须是电压控制型的，不能含有流控型的非线性电阻元件，且电路中不能有纯电压源支路。C列表方程式列表方程式是应用KCL,KVL和支路元件伏安特性VCR等逐一列写而组成的电路方程式。列表方程式包括了电路中的元件互联和元件特性的完整关系。在电路中,不管非线性电阻元件的伏安关系是压控型的,还是流控型的,它对电路元件特性没有任何限制,因此,列表方程式是一种全面而通用的电路方程式。采用矩阵形式时，系数矩阵是稀疏的，应用计算机计算很方便，这里仅介绍结点电压列表方程式。设电路中有b条支路（列表法规定一个元件一条支路），n个结点。应用基尔霍夫定律,则有KCL（1.4.３）KVL（1.4.４）当电路为线性电路时，支路元件伏安特性为线性矩阵方程,则有将上述3个方程组合在一起，便得到线性电阻电路的结点列表方程的矩阵形式，即有（1.4.５）上式中，为支路电流列向量;，为支路电压列向量；，为结点电压列向量;分别为b阶电压源列向量和b阶电流源列向量，是b阶单位矩阵，而A为电路的图G的阶关联矩阵，F和H为b阶方阵，因此方程的总数为，其未知量为b条支路电压，b条支路电流，个独立结点电压。当电路中某些支路含有非线性电阻时，非线性电阻的伏安特性可表示为非线性方程：（1.4.6）非线性电阻电路的结点列表方程的矩阵形式为(1.4.7)2蔡氏电路以及蔡氏电路中非线性电阻的结构2.1蔡氏电路的结构[4][5]我们知道,蔡氏电路的原理如图2.1所示,其中包含四个线性元件——一个线性电阻、一个线性电感及两个线性电容——以及一个非线性电阻元件。图2.1蔡氏电路图2.2非线性电阻的伏安特性在蔡氏电路中,非线性电阻元件都是电路组成中必要的部分,非线性电阻的伏安特性(v-i特性)一般如图2.2所示。下面我们着重来分析分段线性的非线性电阻的伏安特性的数学模型。由图2.2可得,非线性电阻的伏安特性为,它是一个三段线性的分段线性函数,其函数表达式如下（２.１.１）根据分段函数式,可以将其写成:2.2蔡氏电路中非线性电阻的结构所谓蔡氏电路中非线性电阻元件，也就是人常说的蔡氏二极管，就可以等同一个非线性的电路；这个电路由运放，电阻和二极管组成，其图2.3如下：下面我们对非线性电阻的实现电路中的器件（主要是运放）作简单的介绍：集成运算放大电路的概述：集成电路是一种将“管”和“路”紧密结合的器件，它以半导体单晶硅为芯片，采用专门的制造工艺，把晶体管，场效应管，二极管，电阻和电容元件以及它们之间的连线所组成的完整电路制作在一起，使之具有特定的功能。集成放大电路最初多采用于各种模拟信号的运算（比如求和，求差，积分，微分）上，故被称为集成运算放大电路，简称集成运放，集成运放广泛用于模拟信号的处理和发生电路之中，因其高性能，底价位，在大多数情况下，已经取代了分立元件放大电路。图2.3非线性电阻实现电路集成运放的电路结构特点：在集成电路中，相邻元器件的参数具有良好的一致性，纵向晶体管的@大，横向晶体管的耐压高，电阻的阻值和电容的容量均有一定的限制，以及便于制作互补式MOS电路模型。这些特点就使得集成放大电路与分立元件放大电路在结构上有较大的差别。观察它们的电路图可以发现，后者除放大管外，其余元件多为电阻，电容，电感等；而前者一晶体管和场效应管为主要元件，电阻和电容的数量很少。归纳起来，集成运放有如下的特点：一：由于硅片上不能制作大电容，所以集成运放均采用直接耦合方式。二：由于相邻元件具有良好的对称性，而且受环境温度和干扰等环境影响后的变化也相同，所以集成运放中大量采用各种差分放大电路（作输入级）和恒流源电路（作偏置电路或有源负载）。三：由于制作不同形式的集成电路，只是所用掩摸不同。增加原器件并不增加制造工序，所以集成运放允许采用复杂的电路形式，以达到提高各方面性能的目的。四：由于硅片上不直接制作高阻值电阻，所以在集成运放中常用有源元件（晶体管或场效应管）取代电阻。五：集成晶体管和场效应管因制作工艺不同，性能上有较大差异，所以在集成运放中常采用复合形式，以得到各方面性能俱佳的效果。集成运放电路的组成以及其各部的作用：集成运放电路由四个部分组成，包括输入极，中间极，输出极和偏置电路，如图2.4所示。他有两个输入端，一个输出端，图中所标Up,Un,Uo均以“地”为公共端。中间极输出极输入极中间极输出极输入极UpUpUnUo偏置电路偏置电路图2.4集成运放电路框架图A.输入极：输入级级由称前置级，它往往是一个双端输入的高性能差分放大电路，一般要求其输入电阻高，差模放大倍数大，抑制共模信号能力高，静态电流下，输入级的好坏直接影响集成运放的大多数性能参数，如输入电阻，共模以至比等。因此，在几代产品的更新过程中，输入级的变量大。B.中间极：中间级是整个放大电路的主要放大器，其作用是使集成运放具有较强的放大功能，多采用共射（或共源）放大电路。而且为了提高电压放大倍数。经常采用复合管做放大管，以恒流源做集电极负载，其电压放大倍数可达千倍以上。C.输出极：输出极应具有输出电压级性范围宽，输出电阻小（即带负载能力强），非级性失真小等特点。集成运放的输出极多采用互补对称输出电路。D.偏置电路：偏置电路用于设置集成运放各级放大电路的静态工作点，与分立元件不同，集成运放采用电流源电路为各级提供适合的集电极（或发射极，漏极）静态工作电流从而确定了适合的静态工作点。4.工作在非线性范围的运算放大器在线性电路中,把运放的工作范围局限在线性区域,即认为输出电压与成正比,而且（２.１.２）为运放输出电压的饱和值。设运放的放大倍数为无限大,并考虑到输出电压达到饱和值,则运放的输出电压与差动电压之间的关系可用图2.5所示特性曲线来表示。这时可用以下表达式描述运放的工作状态:,,这里把电压的关系分为个区域来考虑:线性区,（２.１.３）正饱和区,（２.１.４）负饱和区,（２.１.５）图2.5理想运放的饱和特性注意,在正饱和区和负饱和区,差动输入电压不再等于零,而在线性区被强制为零。在线性区工作时,虽然等于零,但是不定值而其大小取决于外电路。当运放在正饱和区和负饱和区工作时,我们说它在非线性区工作。图2.6所示电路是一个实现分段线性电阻的电路,其中运放通过实现负反馈,通过和实现正反馈。如果计及运放工作在饱和区的情况,这个电路的输入电阻在一定范围内具有负电阻的性质。现主要分析这个电路的驱动点特性。(a)分段性电阻的实现电路(b)实现电路的伏安特性图2.6负电阻的实现在线性区,对于图2.6根据“虚短”,有,根据“虚断”,由于流过中的电流等于流过中的电流,因此可以得出（２.1.6）其中,而（２.1.7）应用,有（２.1.8）把代入,则得（２.1.9）上式可以用图2.6b的直线段表示。对应此线段的两个端点和的电压值可以求得如下。在线性区,由于,故（２.1.10）直线段的斜率是负的,且正比于。在正饱和区,,应用,有:（２.1.11）（２.1.12）为了确定电压的范围,应用,得:（２.1.13）由于,故。这与式(1-8)确定了图2.6b中的直线段,它表示在正饱和区的伏安特性,其斜率正比于。在负饱和区,,有（２.1.14）由于,故。图2.6b中的直线段表示在负饱和区的伏安特性,其斜率正比于。所以这个电路可以实现一个折线或分段线性电阻,此电阻在运放线性工作范围内具有负电阻性质,其值等于。以上求解电路的工作点，DP图、TC图，均属于非线性电阻电路的分析问题。3.蔡氏电路中非线性电阻的实现电路及试验数据采集3.1蔡氏电路中非线性电阻的实现电路以及元器件参数蔡氏电路产生混沌现象的关键元件是称为蔡氏二极管的非线性电阻,实现方法很多。本文采用单运放加双二极管实现蔡氏电路，如图3.1所示。图中±E点为分段点,对照图1,E为使二极管导通的临界电压值。[1]图中,R1=R2=300Ω,R3=1.25kΩ,R4=R5=3.3kΩ,R6=R7=46.2kΩ,运放用μA741,二级管用IN4148图3.1蔡氏二极管的电路结构蔡氏二极管的分段线性有如下特性:,信号较小，二极管截止，如图7，（３.1.1）增至>E时,导通,截止,如图8,（３.1.2）同上,当<-E时,导通,截止,则,因此:（３.1.3）图3.2图3.3>E图3.4蔡氏二极管的特性曲线由此可得出蔡氏二极管的特性曲线,如图3.4.分析表明,蔡氏二极管在不同值下呈分段线性.R较大时,电路呈正阻性,产生衰减振荡;减小R值,电路因呈负阻性而出现增幅振荡,导致电路不稳定并产生混沌现象..μA741和周围电阻电路形成线性负阻,仍属线性,本身不产生混沌现象.3.2试验数据的采集A.试验电路的连接:按照图3.1所示电路在面包板上插接电路,在R7端接-15V电压,R6端接+15V电压,运放UA741的4管脚接-9V电压,7管脚接+9V电压.B.试验电路数据的测量和纪录:在两端依次加上0V,1V,2V……8V,-1V,-2V…..-7V电压,用万用表测取电流，记录数据；数据如下表1。表1硬件测试结果电压(V)电流(mA)电压(V)电流(mA)0.00.000.00.001.0-0.85-1.00.702.0-1.80-2.01.853.0-2.60-3.02.684.0-3.10-4.02.945.0-3.75-5.03.606.0-4.20-6.04.107.0-4.35-7.04.208.0-0.20-8.00.184.蔡氏电路中非线性电阻的实现电路的仿真本毕业设计软件仿真采用PSPICE9.2这个软件，具体操作步骤如下：4.1放置原器件以及参数的设定1．先在OrcadCapture把建立仿真电路图，其图如下[4]:图4.1仿真电路图设定原器件的参数：双击所要设定参数的原器件，就会出现一个窗口，在窗口里直接填写所要求的参数；例如，我要设定电阻R1的阻值，只要双击电阻R1就会出现一个如图４.２的窗口，在Value里面直接填写所要求的数值，后点OK就可以了。同样的方法，按图４.１中所示的参数设定。图4.2参数设顶窗口4.2软件仿真照上面的方法该变V6的数据，点击下图中的蓝色三角，进行仿真。图4.3仿真开始按键仿真-8到+8V的结果图如下：当V6处加0V电压时，仿真的结果如下：图4.4V6=0时的电流当V6处加-1V电压时，仿真结果如下：当V6处加+1V电压时，仿真结果如下：图4.5V6=-1V时的电流图4.6V6=+1V时的电流当V6处加-2V电压时，仿真结果如下当V6处加+2V时，仿真结果如下图4.7V6=-2V时的电流图4.8V6=+2V事的电流当V6处加-3V电压时，仿真结果如下当V6处加+3V电压时，仿真结果如下图4.9V6=-3时的电流图4.10V6=+3V时的电流当V6处加-4V电压时，仿真结果如下当V6处加+4V电压时，仿真结果如下图4.11V6=-4V时的电流图4.12V6=+4V时的电流当V6处加-5V电压时，仿真结果如下当V6处加+5V电压时，仿真结果如下图1.13V6=-5V时的电流图1.14V6=+5V时的电流当V6处加-6V电压时，仿真结果如下当V6处加+6V电压时，仿真结果如下图1.15V6=-6V时的电流图1.16V6V=+6V时的电压当V6处加-7V电压时，仿真结果如下当V6处加+7V电压时，仿真结果如下图1.17V6=-7V时的电流图1.18V6=+7V时的电流当V6处加-8V电压时，仿真结果如下当V6处加+8V电压时，仿真结果如下图1.19V6=-8V时的电流图1.20V6=+8V时的电流同样的方法，进行-8V到+8V的仿真，其结果如下表2。表2软件坊真结果电压（V）电流（mA）电压（V）电流（mA）080.00uA080.00uA1-0.80-1+0.802-1.49-2+1.493-1.90-3+1.904-2.50-4+2.505-2.90-5+2.906-3.40-6+3.407-3.90-7+3.908-0.72-8+0.724.3结果对比与误差分析4.3.1结果对比以及误差计算：表3软硬件结果对比及摘要电压（测试）V电流mA电压（仿真）V电流mA绝对误差相对误差0.000-80uA0.080.00080uA0.081.0-0.851-0.800.056.25%-1.00.70-10.800.056.25%2.0-1.602-1.490.117.38%-2.01.55-21.490.064.02%3.0-2.003-1.900.105.26%-3.02.15-31.900.2513.15%4.0-2.854-2.500.3514.00%-4.02.90-42.500.4016.00%5.0-3.155-2.900.258.62%-5.03.20-52.900.3010.34%6.0-3.606-3.400.205.88%-6.03.75-63.400.357.92%7.0-4.157-3.900.256.41%-74.20-73.900.307.69%8-0.898-0.720.1723.61%-80.84-80.720.1230.77%绝对误差：表示某次测量植偏离算术平均值的测量误差绝对值的大小，即相对误差：反映绝对误差对被测物理量的影响，相对误差用符号E表示，他定义为4.3.2误差分析由表1和表2的实验结果看出，本次实验已经显示出了蔡氏电路中非线性电阻的特性，但是两组数据还存在着一定的误差，造成误差的原因如下：硬件电路中由于实验室没有46.2K和1.25K的电阻，实验采用的是47K和1.2K的电阻，从而造成误差。硬件电路的搭接和实验数据的测试都是人为活动，存在着一定的人为误差。仿真本来就是理想条件，况且放大器的放大倍数为无穷大，这些实验条件都是无法达到了。结论蔡氏电路中的二端非线性电阻是典型的分段线性电阻,在仿真及试验研究中需要进行实验电路模型的建立。本文首先对蔡氏电路中非线性进行了硬件的测试，接着有对蔡氏电路中非线性电阻的实现电路进行了SPICE仿真演示。本次毕业设计比较成功，通过对蔡氏电路中非线性电阻的硬件测试和软件仿真，都得出了非线性的特性，而且通过对比硬件与软件的数据，说明了造成误差的原因。但本次毕业设计中的软件仿真也存在着一定的遗憾，由于软件是一个试用版以及对PSPICE这个软件的了解性还不强，没能做到V、I特性的连续仿真，只能进行电压与电流的单个仿真。这点非常值得的我注重，这个说明我的知识还不够多，运用知识还不够灵活。我想这次毕业设计将会鼓励我在今后的生活和工作中不断的学习不断探索。致谢经过18周的毕业设计，我的毕业设计终于完成了，它不光光是我自己的成果，而是给予我帮助的老师、同学共同的成果。在次我要真诚的感谢帮助过我的老师和同学，尤其是我的指导老师冉起武老师。在毕业设计过程中他不厌其烦的给我指导和帮助，就像是一盏油灯指引着走着夜路的人我，我想没有他的帮助我也不可能完成我的毕业设计。接着我还要感谢我们学校里的王学智老师，他虽说不是我的指导老师，但在我作毕业设计的过程中多次为我排忧解难。最后我还要感谢我的同学们，是他们陪同我走过这18个星期的毕业设计，在其间我们一起相互帮助，相互鼓励。最后我在这里向那些帮助了我的老师和同学真诚的说一声：“谢谢你们了，没有你们也不会有我今天的成功”！参考文献[1]张华，王牛等。蔡氏电路及蔡氏震荡器中非线性电阻的实验研究。西南工学院学报。2000[2]冯久超，陈宏滨。蔡氏电路的仿真研究。华北航天工业学院学报。2005[3]常文利，网新新。蔡氏电路的计算机仿真研究。兰州铁路学院学报。2002[4]卢元元，薛利萍。蔡氏电路实验研究。电气电子教学学报。2003[5]袁国炜，网力洋。对蔡氏电路的简单研究。邢台学院学报。2005[6]C.MIGUELBLAZQUEZANDEL~ASTUMA。DynamicsoftheDoubleScrollCircuit。IEEETRANSACTIONSONCIRCUITSANDSYSTEMS,VOL.37,NO.5,MAY1990[7]MarcoGotz,UteFeldmann,andWolfgangSchwarz。SynthesisofHigherDimensionalChuaCircuits。IEEETRANSACTIONSONCIRCUITSANDSYSTEMS-I:FUNDAMENTALTHEORYANDAPPLICATIONS,VOL.40,NO.11,NOVEMBER1993[8]LEON0.CHUA,FELLOW,IEEE,MOTOMASAKOMURO,ANDTAKASHIMATSUMOTO,FELLOW,IEEE。TheDoubleScrollFamily。IEEETRANSACTIONSONCIRCUITSANDSYSTEMSV,OL.CAS-33,NO.11,NOVEMBER1986附录Ａ英文资料以及翻译出处：IEEETRANSACTIONSONCIRCUITSANDSYSTEMS-I:FUNDAMENTALTHEORYANDAPPLICATIONS,VOL.40,NOSynthesisofHigherDimensionalChuaCircuitsMarcoGotz,UteFeldmann,andWolfgangSchwarz[Abstract]Inthispaper,wepresentauniversalmethodtodesignn-dimensionalpiecewiselinearcircuits.Thesecircuitsaredescribedbyasystemofdifferentialequationassociatedwithapiecewiselinearcontinuousvector-fieldinthen-dimensionalstate-space,whichconsistsoftwodifferentlinearregions.Thecircuitscontainonlytwo-terminalelements,onepiecewiselinearresistorandanumberoflinearresistorscapacitorsandinductors.Thedevelopedmethodleadstoavarietyofstructures.Itispossibletodesignn-dimensionalcanonicalcircuitscontainingaminimumnumberofinductorsaswellasinductor-freecircuits.Asurprisingresultisthetransformationofthe3-DChuacircuitintoaninductor-freecircuitthatexhibitsthedoublescrollaswell.WecompareourresultswiththerecentlypublishedmethodofKocarev.Usingourapproach,atheoremthatspecifiestherestrictionofeigenvaluepatternsassociatedwithapiecewiselinearvector-fieldhavingatleasttwoequilibriumpointscanbeproved.I.INTRODUCTIONTHEINVESTIGATIONofnonlinearautonomousdynamicsystemswhichcanexhibitalargevarietyofbehaviourwasstronglyforcedinthepast.Onedirectionofeffortsisthedesignofphysicalsystemsgeneratingchaoticmotioninthestatespace.Forthispurposeespeciallyelectricalcircuitsareeasytohandle.Undercertainconditionswecanrealizeapiecewiselinearcontinuousvector-fieldwithsuchcircuitsandstudyanypossiblebehaviourexperimentally.FromthispointofviewonegoalistodesignacircuitcapableofrealizingeverymemberofthehigherdimensionalChuaCircuitfamily.One3-DcanonicalChuacircuitisgivenin.Furthermore,oneextensiontohigherdimensionalcanonicalcircuitsispublishedbyKocarev.Bothrepresentananalysisofagivenstructureinthetimedomainandmadesurethatthestructureiscanonical.Herewechooseasynthesisapproachinthefrequencydomainwhichiscapableofgeneratingawholeclassofstructurescontainingbothonesmentionedabove.Withthismethod,wedesignasexamplesacanonicalaswellasanoncanonicaln-dimensionalpiecewiselinearcircuit.Canonicalinoursensemeans1)canonicalwithrespecttothebehaviori.e.,capableofrealizingallpossiblebehaviouroftheassociatedvectorfield.Wewillcallitcanonicalinbehavior2)canonicalwithrespecttothenumberofcircuitelementsi.e.,containingtheminimumnumberofelementsnecessary.Wewillcallitcanonicalinstructure.ManuscriptreceivedMarch15,1993;revisedMay10,1993.ThispaperwasrecommendedbyAssociateEditorL.0.Chua.TheauthorsarewiththeTechnicalUniversityofDresden,FacultatfurElectrotechik,Dresden,11.NETWORK-DESIGN-ALGOFUTFHORMTHEDIMENSIONALPIECEWISELINEARCIRCUITA.GeneralApproachWechooseanelectricalnetworkconsistingofanonlinearstatictwo-terminalelementconnectedtoalineartwo-terminaldynamicnetwork.ConsidertheclassL(n,2)ofn-dimensionaltwo-regioncontinuouspiecewiselinearvector-fieldsandtheclassC(n,3)ofn-dimensionalsymmetricwithrespecttotheoriginthree-regioncontinuouspiecewiselinearvector-fieldsdefinedin.Onerealizationofthisclassofvector-fieldsisshowninprincipleinFig.1.Thissystemconsistsofeitheratwo-segmentstaticresistorasamemberofL(n,2)orathreesegmentsymmetric(withrespecttotheorigin)staticresistorasamemberofC(n,3)andan-dimensionaltwo-terminallinearnetwork.Thecommonfeatureofbothclassesistheexistenceoftwodifferentlinearregions.NowweincreasethenumberofsegmentstoICretainingthefeatureofthentwodifferentlinearregions.LetuscallthismorecommonclassL(n,IC/m).Nrepresentsthedimension,ktheregionandmthenumberofthedifferentregions.ConsidernowaL(n,k/2)andasubsetC(n,k/2)thatrepresentsavectorfieldsymmetric(withrespecttotheorigin).Subsequentlythevector-fieldofL(n,k/2)orC(n,k/2)shallberepresentedbytheeigenvaluesofthelinearsystemsofdifferentialequationsinthetwodifferentregions.Assumingthattheeigenvaluesineachregionaregiven,acircuitthatrealizesallpossiblepatternsof2neigenvalueshastobedesigned.Thiscircuitwillbecanonicalinbehaviour.First,wehavetodecideontheminimumnumberofelementparametersneededforacircuitthatiscanonicalinstructure.Itispointedoutinandthatatleast2.n+1parametersareneededtogenerateanysetof2.neigenvaluesbecauseoftheimpedancescalingpropertyoflinearsystems.Thisimpedancescalingdealswithnormalizedparameters:Zn/aforimpedancesandY,.aforadmittanceswiththescalingfactora.B.CoeficientsoftheCharacteristicPolynomialsThestateequationsofanautonomouspiecewiselinearnetworkaregivenbywhereDoanD1denotethetwodifferentregions.Theeigenvaluesofthesesystemsofhomogeneousdifferentialequationsaredeterminedbydet(Ai-SI)=0,i=0,1,whereIistheunitymatrixThisleadstothecharacteristicpolynomialAccordingto[3]wedenotethecoefficientsandD1byforregionsDOUsuallytheeigenvaluesofagivensystemarecalculatedfrom(2).Herewehavetheinverseproblem-tocalculatethecoefficients(3)fromthegiveneigenvaluesineachregion.ThiscanbedoneusingVieta'sformulas:wherepiandvi(i=1,...,n)aretheeigenvaluesinDOandD1respectively.C.NetworkFunctionOurgoalistodeterminethestructureofthetwo-terminallinearnetworkandtocalculateallparametersofthecircuitshowninFig.I(b).BysimplyapplyingKirchhoffsvoltagelawtothecircuitinthecomplexdomainweobtainwhereG,andGbdenotethesmall-signalconductancecorrespondingtotheslopeofthev-i-characteristicsofthepiecewiselineartwo-terminalelementandsisthecomplexfrequencys=o+jw.AssumingthecomplexadmittancefunctionofthelinearnetworktobeandIfthecircuitinFig.l(b)hastorealizethestateequation(l),(8)and(9)havetocorrespondtothecharacteristicpolynomials((2),withrespectto(3)).Thiswillbeachievedbycomparisingthecoefficientsofbothgroupsofequations.D.DesignAlgorithmThealgorithmtodesignanetworkwhichrealizesthegivensetsofeigenvalueswillconsistofthefollowingtwosteps:Stepone:Determinethecoefficients(b0...~-1,a0...,-I)ofthepolynomialofthetwo-terminalfunction,andalsotheparametersG,andGbbycomparingitwiththecharacteristicpolynomialresultingfromthegivensetofeigenvalues.Designthenetworkwhichrealizesthetwo-terminalfunction.Steptwo:Notethatweuseadmittancefunctionsindevelopingouralgorithm.Usingimpedancefunctionsisalsopossibleandleadstothedualnetwork,aswillbeshownattheendofthischapter.Tocarryoutthefirststepwehavetoconvert(8)and(9)intotheformofthecharacteristicequation(2)forcomparison.Multiplying(8)and(9)withthedenominatorpolynomialweobtain:Firstdecidehowtheorderofthedenominatorandnumeratorpolynomialshastobechosen.Sincetheorderofthedenominatorandnumeratorofatwo-terminalnetwork-functioncanonlydifferby1atmaximum,wehavethreepossiblecases:InthefollowingwechoosetheCase3,forthisistheonlyone,whichdoesnotincluderestrictionstothechoiceofthecomponentvalues(especiallyG,,GbandK)ofthecircuitandhencecanleadtoacanonicalstructure.Then,(10)and(11)canbewrittenintheformTABLEIComparingthecoefficientsof(15)and(16)withthoseofthecharacteristicpolynomial(2)TableI,weobtainthesystemof(17)-(20)showninTableI.Theseare2.nequationsforthe2.n+2unknownvaluesai(i=O,.-.,n-2),bi(i=O,...,n-l),Ga,GbandK.Hencetoclearlydetermineallunknownvalues,twoadditionalequationsarerequired.Thedefinitionofthemallowstointroduceadditionalconditionsconcemingthedesiredformofthenetwork.Togetthefirstadditionalequationwecarryoutthefirststepofpolynomialdivisionin(7)thusseparatingaparallelcapacitortobethefirstnetworkelementseenfromtheinput(see(21)inTableI).C1isthenormalizedvalueoftheparallelcapacitor.Sinceonecircuitelementparametercanbechosenarbitrarilybecauseoftheimpedancescalingproperty,wesetitforconvenienceandsimplicityasin(22)inTableI.Therearedifferentwaystodeterminethesecondadditionalequation(forinstance(23)inTableI).Twoofthesepossibilitiesareshowninthetablebelow.Ifallnecessary2n+2equationsaredetermined,theunknownvaluescanbecalculatedasfollows:Subtracting(18)from(17)and(20)from(19)givesSubstituting(24)into(25)weobtainallai(i=0,1,...,n-2)in(26)inTableI.ThekindofthestructurewewillobtaindependsonthechosenwayshowninTableI.Notethatthereistherestrictionwhichalsoarisesin[l]and[3].Howeverp,-l#qn-lisasingularsituationandcanbeeliminatedbyperturbingoneoftheeigenvalueswithoutsubstantiallychangingthebehaviourofthesystem.WegiveexamplesofbothproposedwaysinSections111andIV.ClosingthischaDterwementionthatthereexistsadualnetworktoeverycircuitrealizationoutlinedabove.Theninsteadof(8)and(9),wehavewhereRap,.denotestheslopeofthei-v-characteristicofthepiecewiselinearone-port.111.SYNTHESISOFCANONICALCHUACIRCUITSInthischapterwetakethefirstpossibilityinTableI.Firstwedeterminethecoefficientsandtheparametersofthenon-linearity.Substituting(26)fori=n-2into(23):Nowwecancalculatetheparametersofthenon-linearityandallremainingcoefficientsb;:NowallneededcoefficientsofY(s)arecalculated.Next,wecarryoutthesecondpointi.e.,wedeterminethestructureofYrl(s).Differentwaysarepossible.Ourcurrentgoalistodesignacanonicaln-dimensionalChuacircuit.Theeasiestwaytoachievethisisusingthemethodofcontinuedpolynomialdivision.OneexamplestructureanditsdualnetworkisshowninFig.2.Theassociatedequationis:whereforevenn:Hn=RnandKn=Lnandforoddn:Hn=GnandKn=Cn.ItisthesamestructureaschosenbyKocarevin.Anotherstructurecontainingonlyonesingleinductorcanbesynthesizedinthefollowingway:InsteadofcalculatingtheconductanceG3in(33)wecalculatearesistanceofthereciprocaltermhavingseparatedthecapacitorC3before,etc.ThecorrespondingequationisThestructureisshowninFig.3.Obviously,thereexistfurthercanonicalrealizationsofChuacircuitcontainingwinductors,wherewisanumberwith:NowwefollowthesecondpossibilityinTableI.Weuseourmethodtodesignaninductor-freecircuit.Inductorscanbeavoidedbyamodificationofthepolynomialdivision.Insteadofcalculatingaconductanceafterseparatingacapacitorwecalculatearesistancefromthereciprocalterm.Assumingthatwecancompletelydeterminethetwo-terminalfunctionY(s)byaddinganysecondequationadditionalto(17)-(20)and(22)weobtainthecontinuedfractionFig.4showsthecorrespondingstructureofaRCladdernetwork.Nextweproposeanideatofindthenecessarysecondequation.Then-dimensionalpolynomialrepresentingthelineartwo-terminalnetworkcontains2.ncoefficients(bo...,-l,a0...~-2andK).Thisleadsto2.ncircuitelements.Thereforeourcircuithas2.n+2parametersRI...~G,,,Gb).Inordertofindthesecondadditionalequation,weuseTheorem1:LetG,denotethelastconductorattheendofthen-dimensionalRC-laddernetwork.Thenthefollowingequivalenceisvalid:Gn=0ifandonlyifbo=0.ProofiSeeAppendixI.ThisallowsustoeliminatethelastconductorG,inthestructureofFig.4.WechooseTherefore,wemaketheinductor-freecircuitcanonicalinstructurebecauseitcontainsexactlytheminimumnumberofcircuitparameters.Usingtheequations(17)-(20),(22)and(38),weobtaintheremainingcoefficients:NextwedetermineC‘2...n,2...nbypolynomialdivisiondescribedabove.WiththisapproachweareabletodesignaninductorfreenetworkcapableofrealizinganydesiredmemberofL(n,k/2)andC(n,lc/2).V.INDUCTORFREETHREE-DIMENSIONCAHLUACIRCUITVector-fieldsofC(3,3/2)a