2018-2019数学新学案同步必修二浙江专用版讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.3。2平面与平面垂直的判定学习目标1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3。掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直．知识点一二面角的概念（1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．（2）相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．（3)画法：(4）记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5）二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l,则二面角α－l－β的平面角是∠AOB。知识点二平面与平面垂直思考若直线l垂直于平面α，是否经过直线l的任意一个平面都垂直于平面α？答案是．梳理两面垂直的定义及判定（1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作:α⊥β.（2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√）2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（√）类型一证明面面垂直例1如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD。（1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．(2）证明:平面PAB⊥平面PBD。考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直（1）解取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下:因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD,所以BC∥AM，且BC＝AM。所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB。（说明:取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)（2）证明由已知，PA⊥AB,PA⊥CD.因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2）AD,所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.又BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝eq\f（1，2）AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，所以BD⊥平面PAB。又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD。引申探究1．若将本例条件改为“PA垂直于矩形ABCD所在的平面”，试证明:平面PCD⊥平面PAD。证明因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.2．若将本例条件改为“PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形,PB＝BC,M是PC中点”,试证明：平面MBD⊥平面PCD.证明连接AC，则BD⊥AC。由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA,又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，因为PB＝BC,M是PC中点，所以BM⊥PC，又BD∩BM＝B，BM，BD⊂平面BMD，所以PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD。反思与感悟证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．（2）判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面．跟踪训练1如图，在四棱锥P－ABCD中,AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M,N分别为PB，AB，BC,PD，PC的中点，求证：平面EFG⊥平面EMN.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA。又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG。又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG。又M，N分别为PD,PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG。又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN。类型二求二面角的大小例2(1)有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直,则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②考点二面角题点二面角的概念答案B解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.(2)如图,已知Rt△ABC，斜边BC⊂α,点A∉α，AO⊥α，O为垂足,∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．考点二面角题点求二面角的大小解如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC。又AO∩DO＝O,∴BC⊥平面AOD。而AD⊂平面AOD，∴BC⊥AD,∴∠ADO即为二面角A－BC－O的平面角,由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，得AO⊥OB，AO⊥OC，又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴AO＝a，则AC＝eq\r(2)a，AB＝2a,在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,∴BC＝eq\r(AC2＋AB2）＝eq\r（6）a，∴AD＝eq\f（AB·AC，BC）＝eq\f(2a·\r(2）a,\r（6）a）＝eq\f(2\r（3),3）a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq\f（AO,AD）＝eq\f（a，\f（2\r（3),3）a）＝eq\f（\r(3),2）,∴∠ADO＝60°,即二面角A－BC－O的大小为60°。反思与感悟（1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．（2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线）所成的角，即为二面角的平面角．（3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．跟踪训练2如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．考点二面角题点求二面角的大小解由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC。∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC。又∵PA∩AC＝A,PA，AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC。又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°,即二面角P－BC－A的大小是45°。1．直线l⊥平面α，l⊂平面β,则α与β的位置关系是（)A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案C解析由面面垂直的判定定理,得α与β垂直，故选C。2．已知m，n为不重合的直线,α,β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是(）A．m⊥α,n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ,β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α,n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案C3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为（)A．30°B．45°C．60°D．90°考点二面角题点看图索角答案C解析由已知BD＝2CD,翻折后，在Rt△BCD中,∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案D解析∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD，又CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，∴平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB,∴共有5对互相垂直的平面．5．如图所示,在四棱锥S－ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD,E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD。考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD。又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1）本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路:处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．一、选择题1．下列不能确定两个平面垂直的是（）A．两个平面相交,所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案D解析如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α,则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β。其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案C解析①若m∥α,n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2。3。如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD,E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案C解析因为AB＝BC,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC。又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE。因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.4．过两点与一个已知平面垂直的平面（）A．有且只有一个 B．有无数个C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案C解析若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．5．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD,∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°考点二面角题点求二面角的大小答案A解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a,取BD中点F,连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝eq\f(\r（2）,2）a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中,可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°,故选A.6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P为C1D1的中点，则二面角P－AC－D的余弦值是()A。eq\f(1，3)B．－eq\f（1，3)C.eq\f（4,9)D．－eq\f（4，9)考点二面角题点求二面角的大小答案A解析取CD中点Q，连接PQ，则PQ⊥平面ABCD.作QO⊥AC交AC于点O，连接PO，∵AC⊥PQ,PQ，QO⊂平面PQO，PQ∩QO＝Q，∴AC⊥平面POQ，∴PO⊥AC，∴∠POQ是二面角P－AC－D的平面角；设正方体棱长为1，则在Rt△PQO中,PQ＝1，OQ＝eq\f（\r（2)，4)，∴PO＝eq\f（3，2\r（2)）。因此cos∠POQ＝eq\f(OQ，PO）＝eq\f（\f(\r(2），4)，\f（3，2\r（2）))＝eq\f(1，3）,故选A.7．如图,在梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4,E，F分别是AB，CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论:①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是（）A．①③ B．②③C．②④ D．③④考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案B解析对于①，因为BC∥AD,AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图,设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足,故②可能成立；对于③,当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立;对于④,因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立，故选B。8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB,BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(）A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案C解析如图所示,∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF,∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE,PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE)，∴D正确．二、填空题9．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题_____．考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直答案①③④⇒②解析m⊥n,将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α,∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直,从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°,∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.10．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x,y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案DM⊥PC（或BM⊥PC等）解析由题意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A,∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC。∴当DM⊥PC(或BM⊥PC）时,即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD。三、解答题12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1。考点题点证明（1)由直三棱柱ABC－A1B1C1,得A1B1∥AB。因为A1B1⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以直线A1B1∥平面ABD。（2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCC1B1.13．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：(1）EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面PAC。考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1）∵四边形ABCD是正方形,∴E是BD的中点．又F是PB的中点,∴EF∥PD。又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD。（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A,PA,AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC。四、探究与拓展14．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.考点