谁高数-绪论、第一节

一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.第一章函数与极限第一节映射与函数记为：集合表示：M={x|x所具的特征}2.邻域:。二、映射定义：设X、Y是两个非空集合，若存在使对

X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，一个法则f

，则称f为从X到Y的映射，记作f：X→Y定义设数集D,则称映射f:D→R记作y=f(x)，x∈D为定义在D上的函数，三、函数x1-1yo(1)符号函数几个特殊的函数举例1.函数概念12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(2)取整函数阶梯曲线

y=[x][x]表示不超过

x

的最大整数(3)狄利克雷函数当x>0

时当

x≤0时2、函数的几种特性（1）函数的有界性:设函数f(x)的定义域为D，定义：则称函数f(x)在X上有界，否则称无界。则称函数f(x)在X上有上界。有下界。函数f(x)在X上有界的充要是：

f(x)在X上既有上界又有下界.例3证明有界证有界（2）函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间若对区间I上的任意两点x1与x2,当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，称y=f(x)在区间I

上是单调增加的.xyo减少xyo（3）函数的奇偶性:偶函数yxox-x（或奇函数）yxox-x奇函数例4证明两个奇函数的乘积是偶函数证设f(x)、g(x)都是奇函数记h(x)=f(x)g(x)故h(x)是偶函数两个偶函数的乘积是偶函数一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数

证明定义在R上的任意函数，一个奇函数与一个偶函数之和。都可以表示为证奇函数偶函数（4）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。3.反函数与复合函数（1）反函数定义：设函数

y=f(x)x∈X,若对存在唯一的x∈X,使

y=f(x)成立，则在f(X)中定义了一个函数称为

y=f(x)的反函数.例5求的反函数解反函数定理1设函数

y=f(x)在X上单调增(减),则设

y=f(x)必存在反函数且它在f(X)上也是单调增(减).（2）复合函数定义:,函数u=g(x)设函数y=f(u)的定义域为

的定义域为D，

则称函数y=f(g(x))为由函数y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数

若存在

定义域(-1,1)例5解综上所述1.常数函数基本初等函数

常函数的定义域为(-,+)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。

三、初等函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数3.指数函数

定义域为(-,+)，值域为(0,+)，都通过点(0,1),当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时，函数单调减少。4.对数函数

对数函数是指数函数y=ax的反函数,定义域为(0,+),图形通过(1,0)点,当a>1时,函数单调增加；当0<a<1时,函数单调减少。对数的基本性质：换底公式对数恒等式5.三角函数正弦函数余弦函数

y

=

sinx与y

=

cosx的定义域均为(-,+)，均以2p为周期。y

=

sinx为奇函数，y

=

cosx为偶函数。它们都是有界函数。定义域:x(2n+1)p/2。周期:p。奇函数。正切函数定义域:xnp。周期:p。奇函数。余切函数正割函数余割函数6.反三角函数定义域：值域：单调增加函数；奇函数.定义域：值域：单调减少函数；无奇偶性.xy定义域：值域：单调增加函数；奇函数.反余切函数xy定义域：值域：单调减少函数；无奇偶性.

由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为初等函数.初等函数例如，等等。本课程讨论的函数绝大多数都是初