寿险精算学分析课件

ActurialMathematics(寿险精算学)

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1第三章NetSinglePremiumofLifeInsurance人寿保险趸缴纯保费的厘定第三章NetSinglePremiumofLife2本章结构人寿保险趸缴纯保费厘定原理theprincipalofnetsinglepremiun死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定netsinglepremiumpaidatthemonentofdeath死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定netsinglepremiumpaidattheendoftheyearofdeath递归方程recursionequations计算基数commutationfunctions本章结构人寿保险趸缴纯保费厘定原理3第二章中英文单词对照一趸缴纯保费精算现时值死亡即刻赔付保险死亡年末给付保险定额受益保险NetsinglepremiumActuarialpresentvalueInsurancespayableatthemomentofdeathInsurancespayableattheendoftheyearofdeathLevelbenefitinsurance第二章中英文单词对照一趸缴纯保费Netsinglepre4第二章中英文单词对照二定期人寿保险终身人寿保险两全保险生存保险延期保险变额受益保险TermlifeinsuranceWholelifeinsuranceEndowmentinsurancePureendowmentinsuranceDeferredinsuranceVaryingbenefitinsurance第二章中英文单词对照二定期人寿保险Termlifeins5第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理

第一节人寿保险61、人寿保险简介什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。1、人寿保险简介什么是人寿保险72、人寿保险的分类受益金额是否恒定定额受益保险levelbenefitinsurance变额受益保险varyingbenefitinsurance保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险non-deferredinsurance延期保险

deferredinsurance保障标的的不同人寿保险lifeinsurance生存保险pureendowmentinsurance两全保险endowmentinsurance保障期是否有限定期寿险termyearinsurance终身寿险wholelifeinsurance2、人寿保险的分类受益金额是否恒定保障标的的不同83、人寿保险的性质保障的长期性(longterm)这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性(uncertainofthesizeandtimeofpayment)人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性(largenumberoftheinsured)这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。3、人寿保险的性质保障的长期性(longterm)94、趸缴纯保费的厘定4.1假定条件(assumptions)假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合(fitting)。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。4、趸缴纯保费的厘定4.1假定条件(assumptions)104、趸缴纯保费的厘定4.2厘定原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则(itisnetbecauseithasnotbeenloaded)，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值(expectationofthepresentvalueofthenetpremiumequalsexpectationofthepresentvalueofthepayment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值

4、趸缴纯保费的厘定4.2厘定原则114、趸缴纯保费的厘定4.3基本符号——投保年龄的人。——人的极限年龄——保险金给付函数。——贴现函数。——保险给付金在保单生效时的现时值4、趸缴纯保费的厘定4.3基本符号124、趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值

趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于4、趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的定义13第二节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定第二节死亡即刻赔付141、死亡即刻赔付(payableatthemomentofdeath)死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。1、死亡即刻赔付(payableatthemoment152、主要险种的趸缴纯保费的厘定n年期定期寿险n-yeartermlifeinsurance终身寿险wholelifeinsurance延期m年的终身寿险m-yeardeferredwholelifeinsurancen年期生存保险n-yearpureendowmentn年期两全保险n-yearendowment延期m年的n年期的两全保险m-yeardeferredn-yearendowment递增终身寿险increasingwholelifeinsurance递减n年定期寿险decreasingn-yearterminsurance2、主要险种的趸缴纯保费的厘定n年期定期寿险n-yeart162.1、n年定期寿险定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险(theinsurerprovidesforapaymentonlyiftheinsureddieswithinthen-yearterm)。假定：岁的人，保额1元n年定期寿险基本函数关系2.1、n年定期寿险定义172.1、n年定期寿险趸缴纯保费的符号：厘定：2.1、n年定期寿险趸缴纯保费的符号：182.1、n年定期寿险现值随机变量的方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为2.1、n年定期寿险现值随机变量的方差公式19Example2.1.1ifshowExample2.1.1if20solutionssolutions212.2、终身寿险定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(theinsurerprovidesforapaymentfollowingthedeathoftheinsuredatanytimeinthefuture)。假定：岁的人，保额1元终身寿险基本函数关系2.2、终身寿险定义222.2、终身寿险趸缴纯保费的符号：厘定：2.2、终身寿险趸缴纯保费的符号：232.2、终身寿险现值随机变量的方差公式记所以方差等价为2.2、终身寿险现值随机变量的方差公式24Example2.2.1设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算Example2.2.1设(x)投保终身寿险，保险金额为125solutionssolutions26solutionssolutions27Example2.2.2Assumethateachof100independentlivesisagexissubjecttoaconstantforceofmortality,=0.04andisinsuredforadeathbenefitamountof10units,payableatthemomentofdeathThebenefitpaymentaretobewithdrawnfromaninvestmentfundearing=0.06.Calculatetheminimumamountthatatt=0sothattheprobabilityisapproximately0.95thatsufficientfundswillbeonhandtowithdrawthebenefitpaymentatthedeathofeachindividualExample2.2.2Assumethateacho282.3、延期终身寿险定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(provideforabenefitfollowingthedeathofoftheinsuredonlyiftheinsureddiesatleastmyearsafterpolicyissue)。假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险基本函数关系2.3、延期终身寿险定义292.3、延期终身寿险趸缴纯保费的符号：厘定：2.3、延期终身寿险趸缴纯保费的符号：302.3、延期终身寿险

现值随机变量的方差公式记所以方差等价于2.3、延期终身寿险现值随机变量的方差公式31例2.3.1假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知求：例2.3.1假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。32例2.3.1答案例2.3.1答案33exerciseConsidera5-yeardeferredwholelifeinsurancepayableatthemomentofthedeathof(x),theindividualissubjecttoaconstantforceofmortality=0.04,forthedistributionofthepresentvalueofthebenefitpayment,at=0.10,calculateexpectaionvariacemedianexerciseConsidera5-yeardefe342.4、n年定期生存保险定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险（theinsurerprovidesforapaymentattheendofthenyearsifandonlyiftheinsuredsurvivesatleastnyearsfromthetimeofpolicyissue）。假定：岁的人，保额1元，n年定期生存保险基本函数关系2.4、n年定期生存保险定义352.4、n年定期生存保险趸缴纯保费的符号：趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差：2.4、n年定期生存保险趸缴纯保费的符号：362.5、n年定期两全保险定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。(provideforanamounttobepayableeitherfollowingthedeathoftheinsuredoruponthesurvivaloftheinsuredtotheendofthen-yearterm,whicheveroccursfirst)。假定：岁的人，保额1元，n年定期两全保险基本函数关系2.5、n年定期两全保险定义372.5n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：厘定记：n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则2.5n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：382.5n年定期两全保险n年定期两全险现值随机变量的方差可计算为因为所以2.5n年定期两全保险n年定期两全险现值随机变量的方差可计39例2.5.1（例2.1.1续）设计算例2.5.1（例2.1.1续）设40例2.5.1答案例2.5.1答案412.6、延期m年n年定期两全保险定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定：岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险基本函数关系2.6、延期m年n年定期两全保险定义422.6、延期m年n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：厘定2.6、延期m年n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：432.6、延期m年n年定期两全保险记：

m年延期n年定期寿险现值随机变量为m年延期n年定期生存险现值随机变量为m年延期n年定期两全险现值随机变量为已知则现值随机变量的方差2.6、延期m年n年定期两全保险记：44exercise例：考虑一个50岁的人，其死亡服从计算下列五种保险计划的趸缴净保费，保额均为1000元，在死亡发生时立即给付。五年定期寿险终身寿险五年生存保险五年两全保险五年延期终身寿险exercise例：考虑一个50岁的人，其死亡服从452.7、递增终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别：一年递增一次(provide1atthemomentofdeathduringthefirstyear,2atthemomentofthesecondyearandsoon)一年递增m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceandincreasingby1/matmthlyintervalsthroughoutthetermoftheinsurance)一年递增无穷次（连续递增）(thelimitingcaseofthemthlyincreasing)2.7、递增终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特462.7.1一年递增一次现值随机变量趸缴保费厘定2.7.1一年递增一次现值随机变量472.7.2一年递增m次现值随机变量趸缴保费厘定2.7.2一年递增m次现值随机变量482.7.3一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量趸缴保费厘定2.7.3一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量49例2.7.1例：Z是（x）的n年定期寿险，bt为死亡时给付额的现值随机变量，计算Var(Z)，其中bt=(1+i)t提示：例2.7.1例：Z是（x）的n年定期寿险，bt为死亡时给付额502.8、递减定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数特别：一年递减一次(providenatthemomentofthedeathduringthefirstyear,n-1atmomentofdeathduringthesecondyearandsoon)一年递减m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceanddecreasingby1/matmthlyintervals)一年递减无穷次（连续递减）(thelimitingcaseofthemthlydecreasing)2.8、递减定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种512.8.1一年递减一次现值随机变量趸缴保费厘定2.8.1一年递减一次现值随机变量522.8.2一年递减m次现值随机变量趸缴保费厘定2.8.2一年递减m次现值随机变量532.8.3一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量趸缴保费厘定2.8.3一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量543、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩3、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩553、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩若，则的计算结果只须将的计算结果中的换为k即可，无需重新计算，这是一种很直接的运算技巧，比如3、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩若56第三节死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定第三节死亡年末赔付571、死亡年末赔付（payableattheendoftheyearofdeath）死亡年末赔付的含义死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。1、死亡年末赔付（payableattheendof582、基本符号

——岁投保的人整值剩余寿命——保险金在死亡年末给付函数——贴现函数。——保险赔付金在签单时的现时值。——保险赔付金在签单现时值的期望。2、基本符号——岁投保的人整593、定期寿险死亡年末赔付场合基本函数关系记k为被保险人整值剩余寿命，则3、定期寿险死亡年末赔付场合基本函数关系603、定期寿险死亡年末赔付场合趸缴纯保费的符号：厘定：3、定期寿险死亡年末赔付场合趸缴纯保费的符号：613、定期寿险死亡年末赔付场合现值随机变量的方差公式记等价方差为3、定期寿险死亡年末赔付场合现值随机变量的方差公式624、死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险4、死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期63例3.4.1（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万元，保险金死亡年末给付，按美国示例生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。例3.4.1（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万64例3.4.1答案例3.4.1答案65例3.4.2例：如果死亡服从，利率为0.04，并且设利率为0.04时，，计算例3.4.2例：如果死亡服从，利率为0.66例3.4.2答案例3.4.2答案67例3.4.3有一份保险，若（80）在第（k+1）年死亡，（k=0,1,2……），则在其死亡年末支付k+1，假设（1）V=0.925（2）则该保险的趸缴净保费为4，计算当时，该保险的趸缴保费。例3.4.3有一份保险，若（80）在第（k+1）年死亡，（k68例3.4.3答案例3.4.3答案695、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：在UDD假设下，k,s为相互独立的随机变量，且s服从均匀分布

5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)705、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)在满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的倍。条件1：条件2：只依赖于剩余寿命的整数部分，即

5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)715、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)725、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)对于连续递增的连续型和离散型趸缴保费，由于其支付额并不满足的关系式，因此相互关系要复杂一些5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)73例3.5.1（x）岁的人投保5年期的两全保险，保险金额为1万元，保险金死亡即刻给付，按附录美国示例生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。例3.5.1（x）岁的人投保5年期的两全保险，保险金额为1万74例3.5.1答案例3.5.1答案75例3.5.2对（50）岁的男性第一年死亡即刻给付5000元，第二年死亡即刻给付4000元，以此按年递减5年期人寿保险，根据附录美国示例生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率6%计算趸缴纯保费。例3.5.2对（50）岁的男性第一年死亡即刻给付5000元，76例3.5.2答案例3.5.2答案77exerciseCalculatethenetsinglepremiumandthevariancefora10000,3-yearendowmentinsuranceprovidingthedeathbenefitatthemomentofdeathforamaleagedat35atissueofthepolicy.usetheillustrativelifetable,theuniformdistributionofdeathsassumptionandi=0.06exerciseCalculatethenetsing78第四节递推公式Recursionequations第四节递推公式791、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形801、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式一：理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费。

1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式一：811、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形821、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式二：解释：个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的。

1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式二：831、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式三：解释：年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。

1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式三：841、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式四：解释(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。

1、终身寿险离散型趸缴纯保费递推公式及变形公式四：852、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式2、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式862、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式2、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式872、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式2、其他保单类型离散型趸缴纯保费递推公式88Example4.2.1If

Example4.2.1If89solutionssolutions90exercise简化exercise简化91第五节计算基数Commutationfunctions第五节计算基数921、常用计算基数计算基数引进的目的：简化计算常用基数：1、常用计算基数计算基数引进的目的：简化计算932、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费942、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费952、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费962、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费972、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费2、用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费98例5.2.1考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人寿保险。按附录2生命表及i=0.06计算（30）的人趸缴纯保费。（1）保障期至第10年底（2）保障期至第5年底例5.2.1考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻99例5.2.1答案例5.2.1答案100

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101第三章NetSinglePremiumofLifeInsurance人寿保险趸缴纯保费的厘定第三章NetSinglePremiumofLife102本章结构人寿保险趸缴纯保费厘定原理theprincipalofnetsinglepremiun死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定netsinglepremiumpaidatthemonentofdeath死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定netsinglepremiumpaidattheendoftheyearofdeath递归方程recursionequations计算基数commutationfunctions本章结构人寿保险趸缴纯保费厘定原理103第二章中英文单词对照一趸缴纯保费精算现时值死亡即刻赔付保险死亡年末给付保险定额受益保险NetsinglepremiumActuarialpresentvalueInsurancespayableatthemomentofdeathInsurancespayableattheendoftheyearofdeathLevelbenefitinsurance第二章中英文单词对照一趸缴纯保费Netsinglepre104第二章中英文单词对照二定期人寿保险终身人寿保险两全保险生存保险延期保险变额受益保险TermlifeinsuranceWholelifeinsuranceEndowmentinsurancePureendowmentinsuranceDeferredinsuranceVaryingbenefitinsurance第二章中英文单词对照二定期人寿保险Termlifeins105第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理

第一节人寿保险1061、人寿保险简介什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。1、人寿保险简介什么是人寿保险1072、人寿保险的分类受益金额是否恒定定额受益保险levelbenefitinsurance变额受益保险varyingbenefitinsurance保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险non-deferredinsurance延期保险

deferredinsurance保障标的的不同人寿保险lifeinsurance生存保险pureendowmentinsurance两全保险endowmentinsurance保障期是否有限定期寿险termyearinsurance终身寿险wholelifeinsurance2、人寿保险的分类受益金额是否恒定保障标的的不同1083、人寿保险的性质保障的长期性(longterm)这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性(uncertainofthesizeandtimeofpayment)人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性(largenumberoftheinsured)这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。3、人寿保险的性质保障的长期性(longterm)1094、趸缴纯保费的厘定4.1假定条件(assumptions)假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合(fitting)。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。4、趸缴纯保费的厘定4.1假定条件(assumptions)1104、趸缴纯保费的厘定4.2厘定原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则(itisnetbecauseithasnotbeenloaded)，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值(expectationofthepresentvalueofthenetpremiumequalsexpectationofthepresentvalueofthepayment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值

4、趸缴纯保费的厘定4.2厘定原则1114、趸缴纯保费的厘定4.3基本符号——投保年龄的人。——人的极限年龄——保险金给付函数。——贴现函数。——保险给付金在保单生效时的现时值4、趸缴纯保费的厘定4.3基本符号1124、趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值

趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于4、趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的定义113第二节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定第二节死亡即刻赔付1141、死亡即刻赔付(payableatthemomentofdeath)死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。1、死亡即刻赔付(payableatthemoment1152、主要险种的趸缴纯保费的厘定n年期定期寿险n-yeartermlifeinsurance终身寿险wholelifeinsurance延期m年的终身寿险m-yeardeferredwholelifeinsurancen年期生存保险n-yearpureendowmentn年期两全保险n-yearendowment延期m年的n年期的两全保险m-yeardeferredn-yearendowment递增终身寿险increasingwholelifeinsurance递减n年定期寿险decreasingn-yearterminsurance2、主要险种的趸缴纯保费的厘定n年期定期寿险n-yeart1162.1、n年定期寿险定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险(theinsurerprovidesforapaymentonlyiftheinsureddieswithinthen-yearterm)。假定：岁的人，保额1元n年定期寿险基本函数关系2.1、n年定期寿险定义1172.1、n年定期寿险趸缴纯保费的符号：厘定：2.1、n年定期寿险趸缴纯保费的符号：1182.1、n年定期寿险现值随机变量的方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为2.1、n年定期寿险现值随机变量的方差公式119Example2.1.1ifshowExample2.1.1if120solutionssolutions1212.2、终身寿险定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(theinsurerprovidesforapaymentfollowingthedeathoftheinsuredatanytimeinthefuture)。假定：岁的人，保额1元终身寿险基本函数关系2.2、终身寿险定义1222.2、终身寿险趸缴纯保费的符号：厘定：2.2、终身寿险趸缴纯保费的符号：1232.2、终身寿险现值随机变量的方差公式记所以方差等价为2.2、终身寿险现值随机变量的方差公式124Example2.2.1设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算Example2.2.1设(x)投保终身寿险，保险金额为1125solutionssolutions126solutionssolutions127Example2.2.2Assumethateachof100independentlivesisagexissubjecttoaconstantforceofmortality,=0.04andisinsuredforadeathbenefitamountof10units,payableatthemomentofdeathThebenefitpaymentaretobewithdrawnfromaninvestmentfundearing=0.06.Calculatetheminimumamountthatatt=0sothattheprobabilityisapproximately0.95thatsufficientfundswillbeonhandtowithdrawthebenefitpaymentatthedeathofeachindividualExample2.2.2Assumethateacho1282.3、延期终身寿险定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(provideforabenefitfollowingthedeathofoftheinsuredonlyiftheinsureddiesatleastmyearsafterpolicyissue)。假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险基本函数关系2.3、延期终身寿险定义1292.3、延期终身寿险趸缴纯保费的符号：厘定：2.3、延期终身寿险趸缴纯保费的符号：1302.3、延期终身寿险

现值随机变量的方差公式记所以方差等价于2.3、延期终身寿险现值随机变量的方差公式131例2.3.1假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知求：例2.3.1假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。132例2.3.1答案例2.3.1答案133exerciseConsidera5-yeardeferredwholelifeinsurancepayableatthemomentofthedeathof(x),theindividualissubjecttoaconstantforceofmortality=0.04,forthedistributionofthepresentvalueofthebenefitpayment,at=0.10,calculateexpectaionvariacemedianexerciseConsidera5-yeardefe1342.4、n年定期生存保险定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险（theinsurerprovidesforapaymentattheendofthenyearsifandonlyiftheinsuredsurvivesatleastnyearsfromthetimeofpolicyissue）。假定：岁的人，保额1元，n年定期生存保险基本函数关系2.4、n年定期生存保险定义1352.4、n年定期生存保险趸缴纯保费的符号：趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差：2.4、n年定期生存保险趸缴纯保费的符号：1362.5、n年定期两全保险定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。(provideforanamounttobepayableeitherfollowingthedeathoftheinsuredoruponthesurvivaloftheinsuredtotheendofthen-yearterm,whicheveroccursfirst)。假定：岁的人，保额1元，n年定期两全保险基本函数关系2.5、n年定期两全保险定义1372.5n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：厘定记：n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则2.5n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：1382.5n年定期两全保险n年定期两全险现值随机变量的方差可计算为因为所以2.5n年定期两全保险n年定期两全险现值随机变量的方差可计139例2.5.1（例2.1.1续）设计算例2.5.1（例2.1.1续）设140例2.5.1答案例2.5.1答案1412.6、延期m年n年定期两全保险定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定：岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险基本函数关系2.6、延期m年n年定期两全保险定义1422.6、延期m年n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：厘定2.6、延期m年n年定期两全保险趸缴纯保费的符号：1432.6、延期m年n年定期两全保险记：

m年延期n年定期寿险现值随机变量为m年延期n年定期生存险现值随机变量为m年延期n年定期两全险现值随机变量为已知则现值随机变量的方差2.6、延期m年n年定期两全保险记：144exercise例：考虑一个50岁的人，其死亡服从计算下列五种保险计划的趸缴净保费，保额均为1000元，在死亡发生时立即给付。五年定期寿险终身寿险五年生存保险五年两全保险五年延期终身寿险exercise例：考虑一个50岁的人，其死亡服从1452.7、递增终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别：一年递增一次(provide1atthemomentofdeathduringthefirstyear,2atthemomentofthesecondyearandsoon)一年递增m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceandincreasingby1/matmthlyintervalsthroughoutthetermoftheinsurance)一年递增无穷次（连续递增）(thelimitingcaseofthemthlyincreasing)2.7、递增终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特1462.7.1一年递增一次现值随机变量趸缴保费厘定2.7.1一年递增一次现值随机变量1472.7.2一年递增m次现值随机变量趸缴保费厘定2.7.2一年递增m次现值随机变量1482.7.3一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量趸缴保费厘定2.7.3一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量149例2.7.1例：Z是（x）的n年定期寿险，bt为死亡时给付额的现值随机变量，计算Var(Z)，其中bt=(1+i)t提示：例2.7.1例：Z是（x）的n年定期寿险，bt为死亡时给付额1502.8、递减定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数特别：一年递减一次(providenatthemomentofthedeathduringthefirstyear,n-1atmomentofdeathduringthesecondyearandsoon)一年递减m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceanddecreasingby1/matmthlyintervals)一年递减无穷次（连续递减）(thelimitingcaseofthemthlydecreasing)2.8、递减定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种1512.8.1一年递减一次现值随机变量趸缴保费厘定2.8.1一年递减一次现值随机变量1522.8.2一年递减m次现值随机变量趸缴保费厘定2.8.2一年递减m次现值随机变量1532.8.3一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量趸缴保费厘定2.8.3一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量1543、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩3、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩1553、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩若，则的计算结果只须将的计算结果中的换为k即可，无需重新计算，这是一种很直接的运算技巧，比如3、计算未来给付现值随机变量zt的高阶矩若156第三节死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定第三节死亡年末赔付1571、死亡年末赔付（payableattheendoftheyearofdeath）死亡年末赔付的含义死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。1、死亡年末赔付（payableattheendof1582、基本符号

——岁投保的人整值剩余寿命——保险金在死亡年末给付函数——贴现函数。——保险赔付金在签单时的现时值。——保险赔付金在签单现时值的期望。2、基本符号——岁投保的人整1593、定期寿险死亡年末赔付场合基本函数关系记k为被保险人整值剩余寿命，则3、定期寿险死亡年末赔付场合基本函数关系1603、定期寿险死亡年末赔付场合趸缴纯保费的符号：厘定：3、定期寿险死亡年末赔付场合趸缴纯保费的符号：1613、定期寿险死亡年末赔付场合现值随机变量的方差公式记等价方差为3、定期寿险死亡年末赔付场合现值随机变量的方差公式1624、死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险4、死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期163例3.4.1（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万元，保险金死亡年末给付，按美国示例生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。例3.4.1（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万164例3.4.1答案例3.4.1答案165例3.4.2例：如果死亡服从，利率为0.04，并且设利率为0.04时，，计算例3.4.2例：如果死亡服从，利率为0.166例3.4.2答案例3.4.2答案167例3.4.3有一份保险，若（80）在第（k+1）年死亡，（k=0,1,2……），则在其死亡年末支付k+1，假设（1）V=0.925（2）则该保险的趸缴净保费为4，计算当时，该保险的趸缴保费。例3.4.3有一份保险，若（80）在第（k+1）年死亡，（k168例3.4.3答案例3.4.3答案1695、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：在UDD假设下，k,s为相互独立的随机变量，且s服从均匀分布

5、死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(U