第八章无穷级数

第八章无穷级数引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：1—1+1—1+・.・+(―1)n+1+・.・历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种(1—1)+(1—1)+…+(1—1)+…=0第二种1—(1—1)—(1—1)(1—1)—•..=1第三种设1—1+1—1++(—1)n+1+...=S则1-1—1+1—1+-•]=S1—S=S,2S=1,S=-2这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。什么是无穷多项相加？如何考虑？无穷多项相加，是否一定有“和”？无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。§8.1常数项级数(甲)内容要点一、基本概念与性质基本概念无穷多个数u,u,u，一,u，—依次相加所得到的表达式工u=u+u+u+—+u+—TOC\o"1-5"\h\z123nn123nn=1(n=1,2,3,—)称为级数的前n项的部分和，(n=1,2,3,—)称为级数的前n项的部分和，S=u=u+u+u++unk123nk=1k)(n=1,2,3,—)称为部分和数列。n..•若limS(存在)=S,则称级数工u是收敛的，且其和为S,记以工u=SnT3..n=1n=1若limS〃不存在，则称级数工匕是发散的，发散级数没有和的概念。(注：在某些特殊含nT8.n=1义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。)基本性质如果工u戒:V皆收敛，a,'为常数，则工0u+bv)收敛,且等于云u+疙Vnnnnnnn=1n=1n=1n=1n=1在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。级数工u收敛的必要条件是limu=0TOC\o"1-5"\h\z1nsn=1(注：引言中提到的级数工(-1)〃+1,具有lim(-11+1不存在，因此收敛级数的必要条件1nSn=1不满足，£(-11+1发散。调和级数£1满足lim-=0,但£1却是发散的，nnT8nnn=1n=1n=1所以满足收敛级数的必要条件limu广0，而£〃〃收敛性尚不能确定。)nS1n=1两类重要的级数等比级数(几何级数)£arn(a丰0)n=0当|r|<1时，£arn=-^收敛1一rn=0当|r槌1时，£arn发散n=0p一级数£-1npn=1当p>1时，乙一收敛，当p<1时£一发散npnpTOC\o"1-5"\h\zn=1n=1(注：p>1时，£—的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知£—=二)npn26n=1n=1当p>1时，乙一收敛，当二、正项级数敛散性的判别法若u>0(n=1,2,3,…)则£u称为正项级数，这时S>S(n=1,2,3,…)所以k｝是单调nnn+1nnn=1

增加数列，它是否收敛就只取决于七是否有上界，因此¥"〃收敛=Sn有上界，这是正n=1向级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1.比较判别法设c>0,当n>N时，cv>unn=1>0皆成立，如果工V收敛，则工un设c>0,当n>N时，cv>unn=1nn=12.比较判别法的极限形式设u>0,v>0,(n=1,2,3,1)当0<A<1)当0<A<+8时，工unn=1与工匕同时收敛或同时发散。n=13)3.当A=+8时，若工un收敛n=1比值判别法（达朗倍尔）则工七收敛。n=1设u>0，而limnsun+3)3.当A=+8时，若工un收敛n=1比值判别法（达朗倍尔）则工七收敛。n=1设u>0，而limnsun+1=pun1)当P<1时则工u收敛

nn=12)当P>1时（包括P=+8），则工un发散n=13)当P=1时，此判别法无效（注：如果limnsuf廿不存在时，此判别法也无un2)nn=1法用）根值判别法（柯西）设u>0，而limn-u=pnnsn1）当p<1时，n=1

当p>1时(包括p=+8)，则芝U发散nn=1当P=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在P=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法交错级数概念若un>0,£(—Dn+1un称为交错级数。n=1莱布尼兹判别法设交错级数£(-Dn+1un满足：n=11)u<u(n=1,2,3,)2)limu=0，nsn则£(-1)n+1Un收敛，n=1且2)limu=0，nsn则£(-1)n+1Un收敛，n=1且0<£(-1)n+1u<u1n=1四、绝对收敛与条件收敛定理若£|uj收敛n=12.定义则£u一定收敛；反之不然。nn=1若£|uj收敛n=1则称£un为绝对收敛;n=1n=1n=1n=13.有关性质1)绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。2)条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即£1(u|+u)或£1(u—u|)2nn2nnn=1n=1定是发散的。4.一类重要的级数n=11)当p>1时，y（-1）〃+1乙」^是绝对收敛的npn=12)当0<p<1时，尤旦生1是条件收敛的npn=13)当p<0时，£*兰是发散的

npn=1（乙）典型例题一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1.判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。1)£n=11\：'n(n+1)(v：n+\：n+1)21)当p>1时，y（-1）〃+1乙」^是绝对收敛的npn=12)当0<p<1时，尤旦生1是条件收敛的npn=13)当p<0时，£*兰是发散的

npn=1（乙）典型例题一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1.判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。1)£n=11\：'n(n+1)(v：n+\：n+1)2)£2n-12nn=11)解:£n=11飞：n(n+1)(n+\n+1)=£k=11.\..k(k+1)(、.k+h+1)S=£,(汜-、)f=£(4"=1-二nk=1<k(k+1)IVk+1妃顷，k=1展展+1气以+1£.=1*n(n+1)(*n+vn+1)收敛n=12)解:Sn2n-11=+++，，，+222232n1352n-32n-1=—+—+—+++——2223242n2n+11*111、2n-1①-②得一S=+2(—+—+•••+—)n222232/2n+1巾12n-132n+3=—+(1-——)=—2n-12n+122n+1,/limS=3nsn£2n-1..=32nn=1收敛例2设数列n）|攵敛，级数£n（ann=1-a「收敛，证明£a收敛n=0证:由题意可知limna=A存在

nsnlimS=lim£k(a-a

nsnns,1*'k=1k1)=S存在na-£ank因此，云a=na-Sk=0limIBa=limna-limS=A-Snsnsnns"k=0于是级数工。尸A-S是收敛的n=0二、主要用判别法讨论级数的敛散性例1.设级数Ba”(an>0)收敛，则B斗收敛TOC\o"1-5"\h\zn=1n=1」\-aa,1,1、，—…解：j=、JfV不(a+—)(几何平均值<算术平均值)n\n22nn2已知Ban收敛，工£收敛，故工2(an+：)收敛n=1n=1n=1E、a....收敛nn=1吁(土，是否攵敛？并说明理例2.正项数列，｝单调减少，且B(-1)吐发散n=1由。吁(土，是否攵敛？并说明理解：a>0,又单调减少，.•.lima=a存在，如果a=0,根据莱布尼兹判别法可知nSB(-1)nan收敛，与假设矛盾，a>0,这样，n=1—<-^<1,」）n<（上）na+1a+1a+1a+1由等比级数y上)n收敛袖较判别法可知®左)”收敛。例3・设a=J4tannxdxn0（1）求E"n+"n+2的值。（2）证明：对任意正常数人>0,E^收敛。nn人n=1n=11[h上、，=—J4tannx（1+tan2x）dx=n『nMtan尤=*〃+yTOC\o"1-5"\h\z芸an+a,匕£1nn(n+1)\o"CurrentDocument"n=1n=1几1tn(2)an=J4tannxdx(2)an01+t20vJtndtJn+1X+1>1,.・2n=1上收敛，由比较判别法可知乏二收敛。X+1>1,.・2n=1n入+1n人n=1例4.设有方程xn+nx-1=0,其中n正整数，证明方程有唯一正实根七,并证明当a当a>1时，级数£n=1xa收敛。n证:记f(x)=xn+nx-1当x>0时，f'(x)=nxa-1+n>0n故f3)在［0,+3)上单调增加nWfn(0)=-1<0,fn⑴=n>0,由连续函数的介值定理知xn+nx-1=0存在唯一正实根xn由x”+nx-1=0与x>0知1-xn1n<—,nn故当以>1时,0<xa<(L)a1n=1而正项级数艾C)a收敛,所以当a>1时，级数芸xa收敛。nnn=1§8.2幕级数(甲)内容要点一、函数项级数及其收敛域与和函数函数项级数的概念设气(x)(n=1,2,3,…)皆定义在区间I上，则£un⑴称为区间I上的函数项级数。n=1收敛域TOC\o"1-5"\h\z设xel,如果常数项级数£u(x)收敛，则称x是函数项级数£u(x)的收敛点，如0n00nn=1n=1果£u(x)发散，则称x是£u(x)的发散点。函数项级数£u(x)的所有收敛点构n00nnn=1n=1n=1成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。和函数在£气(x)的收敛域的每一点都有和，它与x有关，因此S(x)=£气(x)，xe收敛域n=1n=1称S(x)为函数项级数£un(x)的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。n=1二、幂级数及其收敛域幂级数概念党a(x-x)n称为(x-x)的幂级数，a(n=0,1,2,…)称为幂级数的系数，是常数，当n00nn=0x0=0时，£anxn称为x的幂级数。一般讨论£anxn有关问题，作平移替换就可以得n=0n=0出有关£a(x—x0)n的有关结论。n=0幂级数的收敛域幂级数£axn的收敛域分三种情形:nn=0收敛域为(-8,+8)，亦即£anxn对每一个x皆收敛，我们称它的收敛半径n=0R=+3收敛域仅为原点，除原点外幂级数£axn皆发散，我们称它的收敛半径R=0。(3)收敛域为(一R,R)或(一R,R］或［—R,R］中的一种，我们称它收敛半径为R(0<R<+8)所以求幂级数的收敛半径R非常重要，(1)(2)两种情形的收敛域就确定的。而(3)的情形，还需讨论土R两点上的敛散性。如果lim^n+i=l(包括+8)或lim=l(包括+8),则收敛半径R=-(若l=+8,nsan—8nl则R=0,若l=0则R=+8)，如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛半径，后面有所讨论.三、幂级数的性质1.四则运算、r.y8设工axnnn=0=f(x),|x|<R「工bxn=g(x),|x|<Rn=0则£(an土b「xn=f(x)土g(x),n=0(乙xn)(£bxn)=£(ab++ab++ab)xn=f(x)-g(x)nn0nkn-kn0n=0n=0n=02.分析性质|x|vmin(R,R)|x|<min(R,R)设幂级数工axn的收敛半径R>0,S(x)=工axn为和函数，则有下列重要性质。nnn=0n=0(1)S(x)在(-R,R)内可导，且有逐项求导公式s3=(工axn)r=£(axn)'=工naxn-1求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出n=0n=0n=1S(x)在(-R,R)内有任意阶导数，公式为S(k)(x)=工n(n-1).••(n-k+1)axn-k,|x|vRnn=k(2)S(x)在(-R,R)内有逐项积分公式(k=1,2,3,…)js(t)dt—切jatndt—切土xn+1且这个幂级数的收敛半径也不变。0n=00n=0⑶若工axn—S(x)在x=R(-R)成立，则有下列性质:nn=0①lim5(x)=S6/Rn成立(lim5(x)=Sa(-/?)»成立)TOC\o"1-5"\h\znnxtRn=oj-R)+”=ofS(x)(ix=工一^^R〃+i成立(js(x)(i¥=工一(~R)n+i成立)\o"CurrentDocument"n+1n+1qn=0_rn=0孙-i在x=R(—R)不一定收敛nn=l也即E混Rn-i=Sf(R)不一定成立.(S'(-R))n-+n=l如果"x=R(—R)发散,那么逐项求导后的级数nn=QEwSi在x=R(—R)一定发散，而逐项积分后的级数n72=1£-孙+i在X=R(—R)有可能收敛.n+1n=Q四、慕级数求和函数的基本方法1.把已知函数的慕级数展开式(§8.3将讨论)反过来用。下列基本公式应熟背：⑴乙—n=0kl<l(2)V—=exn\〃=o|x|<+00(―1)«n=0%2n+l|x|<+oo(—1)»n=QX2n(W—cosX,|x|<⑴乙—n=0kl<l(2)V—=exn\〃=o|x|<+00(―1)«n=0%2n+l|x|<+oo(—1)»n=QX2n(W—cosX,|x|<+00n=Q(6)1+工一xn=(l+x)«,-1<x<1(a为实常数)n\n=l2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。

五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和（乙）典型例题例1求下列幂级数的和函数。（1）工（2n+1）xnn=0解：（1）可求出收敛半径R=1,收敛域为(2)（-1，（1）工（2n+1）xnn=0解：（1）可求出收敛半径R=1,收敛域为(2)（-1，^(n-1)2n+1n=01)S(x)=£(2n+1)xn=£2nxn+工xnn=0n=0n=0:Efntn-1dtLn=10n=12xXn,+M=2xL亡1+1-x(1-x)21-x(1-x)2Xe(-1,1)（2）可以从求出和函数后，看出其收敛域S（x）=£Hxn=Y［（n+1）-21

n+1

n=0xnn+1n=0=£(n+1)xn-4工xn+4&n=0n=0Xnn+1n=0令S(x)=£(n+1)xnn=0,S2(x)=4^xn=4|x|V1,n=0S(x)=4工上xnn=0jS(t)dt=工j(n+1)tndt=£xn+1=11—x0n=00n=0Ix|V1x1S1⑴=匕),=ElxlV1n=1xS3(x)=Ngxn+1=-4S—n=0n=1=-4ln(1-x)(-1<xV1)

这里用到公式工(T)〃T"=ln(1+1)(-1<t<1)nn=1144于是S(x)=S1(x)-S2(x)+S3(x)=(1―--1—--ln(l-x)_4x-3=(1-x)24-ln(1-x)xxG(-1,1)且x丰0从上面运算也看先要假设x壬0,但S(0)=%=_4x-3=(1-x)24-ln(1-x)xxG(-1,1)且x丰0TOC\o"1-5"\h\zx-0x-0L(1-x)2x_=(-3)-4lim上二=1,说明S⑴在x=0处不但有定义而且是连续的这正x—01是幂级数的和函数应具备的性质.1,x=0因此,S(x)=]4x-34|R—ln(1-x)x<1,且x丰0(1-x)2x1例2已知f(x)满心'(x)=f(x)+xn-1ex,(n为正整数),且f⑴=-,求函数项级数nnnnn£f(x)之和.nn=1解：解一组微分方程可得通解fn(x)=exG-+,(n=1,2,3,)e，一由初始条件f(1)=—,得c-0(n=1,2,3,)故n(x)=1xnex(n=1,2,3,)•••从而£fn(x)=ex£三令S(x)=£1xn,xg[-1,1)n=1n=1n=1而在xG(-1,1内S，(x)=£xn-1=—i—1—x故S(x)=f—^—dt——ln(l—x)1-to于是(x)=—exln(l—x),|x|<1,n71=1又E/(-l)-e-iE(-1>--e-iIn2nnn=ln=l因此，在-1<X<W,都有£f⑴=-exln(l-x)nn=l例3设级数壬+任+赤+g<x<+8）的和函数为s⑴，求:（1）5（、）所满足的一阶微分方程(2)S(x)的表达式解：⑴5(0)=0\尤3X5X7TOC\o"1-5"\h\zS(X)=——+——++22-4246/入2X4X6、=X(—++4)22-42463+S3)得3)-#(])=一2因此，S(jt)是初值问题yr-xy=土,y(0)=0解.2(2)勺=丑为一阶线性非齐次方程，它的通解fX3fjq2^2y=eixdxf-^e~ixdxdx+c=-—-\+cei

x2x2由初始条件y(0)=0,求出。=1,故y=——-1+e22x2x2于是$(x)=-万-1+e2x2x2由初始条件y(0)=0,求出。=1,故y=——-1+e22x2x2于是$(x)=-万-1+e2求£㈠川2—〃+d的和2nn=0£(-1)n(n2-n+2nn=012=£n(n-1)(-2)n+工(-2)nn=2n=0——^w1而产(-)n=2n=0令S(x)=£n(n-1)(-4)nXn-2=2n=2£jn(n—1)(-1)ntn-2dtLn=202=£1、

n(-—)nxn-12」n=2£(-1)nxnn=21—x24x=1在收敛域的内部£n(n-1)(-)n=S⑴=——\o"CurrentDocument"27n=2n=0-n+1)24=—+=2n3272227§8.3将函数展开成幕级数n=02227(甲)内容要点一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念1.基本概念设函数f(x)在点x的某一领域x-xV5内具有任意阶导数则级数考处里(x-x)0】0n!0n=0称为函数f(x)在x0处的泰勒级数(注：这里泰勒级数是否收敛，是否收敛于f(x)均不知)，特别地，当％二°时，则级数£火芸xn称为f（x）的麦克劳林级数n=02.函数展成幂级数的条件设f（x）在|x-x0<人内有任意阶导数它的泰勒公式/(x)=f(x)+ff(x)(x-x)+f：0)(x-x)2++—(x-x)n+R(x)00。2!0n!0n其中R(x)为n阶余项，它的拉格朗日型为nR(x)=f(n+1)[V°(x-x0)](x-x)n+1n(n+1)!0(0<0<1)则f(x)=£P(x-x0)n

n=0x-x|<R的充要条件为limR(x)=0,I

nsx-xJ<R而田⑴在、处幂级数展开式是唯一的.特别地，当x0=0时，得到函数展成麦克劳林0级数的充分必要条件。二、函数展成幕级数的方法1.套公式nn=0nn!f(n)(x)贝ga=0—n

(n=0,1,2,)x<+8蚀x=£1xn,

n!x<+8n=0sinx=£(-1)nn=0x2n+1(2n+1)!'x<+8(1+x)a=1+冬-1)(a-n+Dxn,n!n=1x<1,（a为实常数）2.逐项求导例:cosx=(sinx)，=£(-1)nx22n=0(2n)!'x<+81(I)2=—(£x〃)，=£nxn-1,1-xlxl<1n=0n=13.变量替换法例：ex2=etn!n=0n!n=0X<+81_1+X21一(-x2)」=£(-X2)n=0=Y(-1)nx2n,n=04.逐项积分法例：ln(1+x)=j—dt=j工(-t)ndt1+100n=0=£=£土Xn+1n+1(-1<X<1)由此可得ln2=£n+1n=0arctanx=j1dt=DE(-t2)ndt=切*+!1+122n+100n=0n=0由此可得'由此可得'崇1=arctan1=4n=05.其它方法例=尹把汹2庶变童替挽法展开，代人化简即可上面都是把函数展成必儒级数遗瑟樨熟如果要展成;渊繇K麴泰勒级魏）,7朝适当处理后可利用表克劳林级数的籍果后面典型例题中再讨论’（乙）典型例题/(O)=arctanl=丁"珂)+嗣、忒=兰-方巨（一1）寸"出耳，n』=*戏*H皿第）4M2m+122（乙）典型例题/(O)=arctanl=例4.求f(x)=—(牛一-)在x=1处的泰勒级数

dxx-1解:ex-ex-1-e-e党^X^)-(s<x<+s)n!

n-0ex—e1工(x—1).(x—1)^.(x—1)n-1—e1+1+…++…x-1L2!3!n!_(这里补充定义x-1时函数值为e)dex—e12(n—1)()=e~+~(x-1)+1:—(x-1)n-2+dxx-12!3!n!(这里补充定义f⑴-e)2!兀…例5.求f(x)-sinx在x-—处的泰勒级数•兀兀、•兀，兀、，兀•,兀、解:sinx-sin一+(x一一)-sin—cos(x-—)+cos—sin(x-—)4444449]L4<2「，兀、，•/

=5(x一才)+sin(x一，兀、，兀、”(x-)2(x-)31+(x——)44—+…42!3!§8.4傅里叶级数(甲)内容要点一、三角函数系的正交性定义在Li,i](i>0)上的三角函数系.丸.丸2丸.2丸n丸.n兀1,cos—x,sin—x,cos——x,sin——x,…，cos——x,sin——x,•••

llllll看作实数域上的线性空间，再定义内积(f,g)—jf(x)g(x)dx则任意两个元素的内积皆为0,也即有-lj1.cos—dx-j1•sin—xdx—0l(n=1,2,)(一3<x<+3)mKsi二Jsinxcos—xdx—0,ll-1(m,n-1,2,)…[mn兀l.mn.n兀cosxcos——xdx—Jsinxsin——xdx—0(m,n—1,2,,且m丰n)llll-1-1故称这个三角函数系是正交的.二、傅里叶系数与傅里叶级数设f⑴以2/(l>0)为周期或只定义在［-1,l］上的可积函数令a=上Jf(x)cos竺xdx,

nl“l-1b=叮f(x)sin生xdx,

ll-1则称气,b为f(x)的傅里叶系数.n=0,1,2,n—0,1,2；••一n丸、sin——x)l称为f(x)的傅里叶级数(关于周期为2l,或只在［-l,l］)三角级数a0+£(acos—x+bn—1记以「(x)〜幻+X(acos竺x+bsin呸x)2nlnln—1值得注意在现在假设条件下有f(x)傅里叶系数和傅里叶级数的相关概念，但并不知道傅里叶级数是否收敛,更不知道傅里叶级数是否收敛于f(x)三、狄利克雷收敛定理设f(x)在［-l,l］上定义，且满足f(x)在［-l,l〕上连续或只有有限个第一类间断点f(x)在［-l,l］上只有有限个极值点则/(x)在［-l,l］上的傅里叶级数号+工(ann—1cosmx+bsin§x)—S(x)收敛,且f(x),2[f(x+0)+f(x-0)],1ri1[f(-l+0)+f(l-0)],<2当xe(-l,l)为了(x)的连续点当xe(-l,l)为(x)的第一类间断点当x—±l我们把上述两个条件称为狄利克雷条件四、正弦级数与余弦级数1.设f(x)以2l为周期或在［-l,l］上定义，且满足狄利克雷条件(1如果f⑴是奇函数，则气=0(n=0,1,2,)而b=|ff(x)sin?xdx(n=1,2,)0这时f(x)的傅里叶级数为正弦级数(2)如果/⑴是偶函数，则气=0(n=1,2,3)而a=—^f(x)cos竺xdx(n=0,1,2,)nl"l••-这时f(x)的傅里叶级数为余弦级数.•••2.设f(x)在［0,l］上定义，且在［0,l］上连续或只有有限个第一类间断点只有有限个极值点那么f(x)在［。,1］上可以有下列两个傅里叶展开式(1)f(x)〜a^+£acos竺x2n1n=1其中。=—^f(x)cos性xdx(n=0,