高三数学一轮复习-极坐标与参数方程讲义

极坐标与参数方程一、知识梳理1、极坐标系1）定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3）直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴⑵⑶⑷⑸⑹4）圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴⑵⑶⑷⑸⑹5、极坐标与直角坐标互化公式：二、参数方程曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1、过定点（x0，y0），倾斜角为的直线：其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．eq\o\ac(○,1)．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．eq\o\ac(○,2)．线段AB的中点所对应的参数值等于．2、中心在（x0，y0），半径等于r的圆：（为参数）3、中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：（为参数）（或）4、中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程二、经典例题题型一：极坐标与直角坐标的互化1）直线方程：例1、写出直线，，和的直角坐标方程；写出直线的极坐标方程。圆的方程例2、写出，，的直角坐标方程。写出，的极坐标方程。题型二：参数方程与普通方程的互化1）直线方程例3、写出直线为参数)，和的普通方程。写出经过点,倾斜角的参数方程；圆的方程例4、写出和为参数)的普通方程。写出和的参数方程3）椭圆方程例5、写出和的普通方程写出和的参数方程。在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求C和l的直角坐标方程；题型三：交点问题在极坐标系下，已知圆和直线。(1)求圆和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线于圆公共点的极坐标。例6、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线的极坐标方程是，求曲线与交点的极坐标.例7、在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=22a,曲线的参数方程为,(为参数,).(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围.题型四：轨迹问题例7、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－eq\f(π,3))＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程例8、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcos(θ－eq\f(π,4))＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．例9、以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最小值.题型五：弦长问题例1、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2eq\r(5)sinθ.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3，eq\r(5))，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．例3、已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．例4、已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋4cosθ,y＝2＋4sinθ))(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为eq\f(π,3).(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．例5、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P(eq\f(1,2)，1)，倾斜角α＝eq\f(π,6).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)cos(θ－eq\f(π,4)).(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．例6、已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为θ＝eq\f(π,6)，曲线C1，C2相交于A，B两点．(1)求A，B两点的极坐标；(2)曲线C1与直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．例7、极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)的值．例8、在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；(Ⅱ)设直线与直线的两个交点为、，求的值.例9、直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足=,点的轨迹为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.例10、已知曲线(t为参数)，(为参数)（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.例11、过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值。例12、在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,直线l的参数方程为:(为参数)，两曲线相交于,两点.（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若,求的值．例13、在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．例14、已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数)．

(I)将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(Ⅱ)若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值题型六：范围与最值问题例1、在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.例2、已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.例3、以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最小值.例4、已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．例5、已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,y＝sinθ))(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的eq\f(1,2)，纵坐标压缩为原来的eq\f(\r(3),2)，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．例6、在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．例7、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．（1）求与交点的直角坐标；（2）过原点作直线，使与，分别相交于点，（，与点均不重合），求的最大值．例8、已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）．(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围．例9、在直角坐标系xOy中，圆C1：x−12+y2(1)求C1(2)设曲线C3:x=tcosα,y=tsinα（t为参数且t≠0）,例10、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2,π3，点B在曲线C2上，求△例11、在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,12)＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2eq\R(,3))是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．题型七：面积问题例1、在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．例2、在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t,y＝t－3))(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(2cosθ,sin2θ).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．例3、直线l的极坐标方程为ρsinθ−π4=4曲线C的参数方程为x=4cos(1)将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C1,写出C(2)射线θ=π3与C1、l交点为M,N，射线θ=2例4、在平面直角坐标系中，曲线C1:x2（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C1，C2分别交于A，定点M(3,0)，求ΔMAB的面积．例5、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为．(I)写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积．例6、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，若与的公共点为，且是曲线的中心，求的面积．例7、在