2023高考真题知识总结方法总结题型突破：41 导数中不等式的证明问题(学生版)

专题41导数中不等式的证明问题【高考真题】1．(2022·北京)已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．2．(2022·浙江)设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：(ⅰ)若，则；(ⅱ)若，则．(注：是自然对数的底数)3．(2022·新高考Ⅱ)已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．【方法总结】构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．【题型突破】1．已知函数f(x)＝ax－axlnx－1(a∈R，a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x＞1时，求证：eq\f(1,x－1)＞eq\f(1,ex)－1．2．已知函数f(x)＝1－eq\f(x－1,ex)，g(x)＝x－lnx．(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－eq\f(1,e2)．3．(2021·全国乙)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．(1)求a；(2)设函数g(x)＝eq\f(x＋f(x),xf(x))，证明：g(x)＜1．4．已知f(x)＝(x－1)ex＋eq\f(1,2)ax2．(1)当a＝e时，求f(x)的极值；(2)对∀x>1，求证：f(x)≥eq\f(1,2)ax2＋x＋1＋ln(x－1)．5．已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)ax2＋x＋1．(1)当a＝－2时，求f(x)的极值点；(2)当a＝0时，证明：对任意的x>0，不等式xex≥f(x)恒成立．6．设函数f(x)＝x＋axlnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的极大值点为x＝1，证明：f(x)≤e－x＋x2．7．已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3．(1)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，lnx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)恒成立．8．已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，g(x)＝e－x＋bx，a，b∈R，e为自然对数的底数．(1)若函数y＝g(x)在R上存在零点，求实数b的取值范围；(2)若函数y＝f(x)在x＝eq\f(1,e)处的切线方程为ex＋y－2＋b＝0．求证：对任意的x∈(0，＋∞)，总有f(x)>g(x)．9．已知f(x)＝xlnx．(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立．10．(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝aex－lnx－1．(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a的值并求f(x)的单调区间；(2)求证：当a＝eq\f(1,e)时，f(x)≥0．11．已知函数f(x)＝x－1－alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))＜m，求m的最小值．12．已知函数f(x)＝ln(1＋x)．(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，eq\f(x,1＋x)<f(x)<x；(2)已知e为自然对数的底数，求证：∀n∈N*，eq\r(e)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n2)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n2)))<e．13．已知f(x)＝lnx－x＋a＋1．(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，eq\f(1,2)x2＋ax－a＞xlnx＋eq\f(1,2)成立．14．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－eq\f(3,4a)－2．15．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(a(x－1),x＋1)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设m>n>0，求证：lnm－lnn>eq\f(2(m－n),m＋n)．16．已知函数f(x)＝eq\f(1－x,ax)＋lnx在(1，＋∞)上是增函数，且a>0．(1)求a的取值范围；(2)若b>0，试证明eq\f(1,a＋b)<lneq\f(a＋b,b)<eq\f(a,b)．17．设函数f(x)＝xln(ax)(a>0)．(1)设F(x)＝eq\f(1,2)f(1)x2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性；(2)过两点A(x1，f′(x1))，B(x2，f′(x2))(x1<x2)的直线的斜率为k，求证：eq\f(1,x2)<k<eq\f(1,x1)．18．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数存在两个极值点，，且，若，求证：．19．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，求证：．20．已知函数f