新教材中“向量”的魅力

新教材中“向量”的魅力浙江省湖州中学张根荣（313000）新教材中的向量是新增的内容，是我们所熟知的代数内容，它是沟通数和形内在联系的有力工具。在几何学中，把几何图形看作是点的集合，而点可以与其向径一一对应。因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合。这样，几何中所涉及的度量关系和位置关系，都可以转化为某种向量代数的运算。这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法有其独特的魅力：1、用向量法解题用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，因此使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。这是因为向量具有多方面的特性：向量的起点可以任意选择；同时对向量可以进行线性运算、数量积和向量积，并且向量既有有向线段表达式又有坐标表达式，任一空间向量都可以在三个不共面向量（包括三个互相垂直的向量）上分解，同样对于平面上的任一向量，也均可在两个不共线的向量上进行分解。这样就可使得空间的几何结构数量化了。另外向量运算的定义与运算的规律，是和坐标系的选择无关的。所以向量法证几何题明显优越于解析法。因此，所有向量的这些特性，决定了向量代数知识在解答几何问题上，具有突出的简化作用和广泛的适用范围，是我们解中学几何题的捷径。利用向量法解中学几何题的方法是多种多样的，但我们有一般规律可循：1.1证线段相等问题用向量法证明线段的相等问题过程较为简明，基本思路是证明向量的模或模的平方相等。也就是说，欲证两线段，可设法证明。例1的中线和相等，求证：.证明：设，且，则,即∴两边平方，整理可得，故。此证法是运用向量知识，经过简单的运算就可得到答案，书写也很方便。如果用几何证法，需添设辅助线，解题的思路较为曲折，不易表达清楚，下面给出一般的几何证法，以资比较。证明：连接，过，作的垂线，垂足为，。∵、分别是、的中点，∴∴又∵且，∴，∴而，，∴，∴，即，∴。1.2证两角相等问题对共面二直线所成角的考察，可在此直线上适当设置向量、，就把原问题转化为对向量、间夹角的考察，这正是我们所要利用的证题思想。已知在正三角形中，相交于。求证：为正三角形。证明：设,,,,,其中、、均为单位向量，、为正实数。∵∴又∴而=,∴∴同理可得故正三角形。1.3求图形面积问题求图形面积问题，如果给定的几何图形是三角形或平行四边形，则可直接在所给三角形或平行四边形的边上设置向量，再通过求出向量积以及讨论向量积的几何意义来求解。例3在中，、分别为、的中点，、相交于，求证：:=1:3。证明：如图，有，∵、为中线∴为重心∴故，而∴故:=1:3。1.4证两线段平行问题两线段与平行的充要条件是存在实数,使。例4设自三角形的一高线足引直线垂直于另外两高线，则两垂足的连线必平行此两高线足的连线。已知：D、E、F分别为△ABC的高AD、BE、CF在三边上的垂足，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H。求证：GH∥FE分析：设置向量，利用两线段平行的充要条件：证明：∵，∴设,则。同理，于是,，∴。1.5证两线段垂直问题两线段与垂直的充要条件是它们的数量积·=0。例5四面体中，，，求证。证明：设则,,.∵，∴，即(),⑴同理，由可得：⑵由⑴⑵式得：∴,即,∴。注：本题运用向量知识，根据数量积的几何意义，经过简单的向量运算就可得到了答案。1.6证点共线问题、、三点共线的充要条件是存在实数，使.例6试证：三角形的垂心、外心、重心共线。证明：设为的垂心，为外心，与中线相交于，证明为重心即可。∵，（为的中点），故可设，,于是⑴⑵由⑴、⑵消去，得：,∵不平行,因此有，∴,故且，,∴是上的三分点,即为重心，∴的垂心、外心、重心共线。1.7求轨迹问题轨迹问题实际上是数量关系和位置关系的综合，而向量是沟通数和形内在联系的有力工具，因此用向量法来求轨迹问题显得明快、简捷。用向量求满足给定条件的轨迹，通常分两个步骤进行：（1）在给定的问题里，适当设置向量或建立坐标系，通过向量计算寻找轨迹点所满足的定量关系，断定它应在怎样的图形上。（轨迹的探求，轨迹完备性的证明）（2）借助向量运算规律证明图形上的点满足问题条件。（轨迹纯粹性的证明）例7动线段的一端是定圆外的一个定点，另一端在圆上移动，求分线段成的点的轨迹。解：（1）探求：设定点、，圆的半径为，、对点的向径分别为,,由定比分点公式得:令连线上点满足,则,∵,∴。故动点在以分为的点为圆心，为半径的一圆上。（2）证明：（i）纯粹性设点在以为圆心为半径的圆上，过点作交于,则而,因此,这说明在圆上,同时故点是符合条件的点。（ii）完备性的证明见探求。因此，动点的轨迹是以分为的点为圆心,为半径的一个圆。2、结束语从以上例题的一般解题过程的讨论中我们不难看出，用向量法解中学几何题主要是把线段的关系式转化为向量的关系式，即把几何问题转化为向量问题，再运用向量的运算规律和法则，通过对向量的代数运算，推出所需的结论，从而完成原题的解答。值得指出的是，向量不是一种抽象的代数，它具有几何的直观性，而又具有代数的运算特点，因而有表述的简洁性和处理方法的一般性，对于各种数学知识的融合贯通、几何证题能力的提高，都有一定的帮助。这足以体现向量在解题中的魅力，正是新教材中引进向量的一个视角。3、参考文献（1）