偏微分方程概论课件

数字图像像素的灰度值引言数字图像像素的灰度值引言

基于偏微分方程的图像处理方法

(PartialDifferentialEquations,简称PDE)

定义

图像u———————连续信号图像处理操作F———偏微分算子原始图像I—————初始条件结果图像u—————方程的解

应用图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、二值化、边缘检测、图像分割等。一、背景介绍基于偏微分方程的图像处理方法定义应用图像滤波、图像修从高斯平滑算子导出的偏微分方程偏微分方程滤波模型的导出

从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法从高斯平滑算子导出的偏微分方程偏微分方程从最优化的问题出发从高斯平滑算子导出的偏微分方程——热传导方程(Witkin)

不足：各向同性扩散方程。在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，即图像边缘。高斯滤波高斯滤波器热传导方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法从高斯平滑算子导出的偏微分方程高斯滤波高斯滤波器热传导方从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛函求极值问题的方法，它的主要步骤为：

第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件；第二步，通过泛函变分，求得欧拉－拉格朗日方程；第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程二、基于偏微分偏微分方程的图像处理方法的优点

1方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于对实际问题的理解和数值处理。2对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线和曲率等）具有较好的控制。

4能够模拟动态视觉处理过程。

二、基于偏微分方程的图像滤波方法3可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复。偏微分方程的图像处理方法的优点1方案灵活多样，借助数学的手第一章常微分方程与偏微分方程概论主要内容：常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；略微详细介绍热传导方程。第一章常微分方程与偏微分方程概论主要内容：1.1常微分方程简介1.1.1常微分方程的基本概念牛顿第二定律：其中：m是质量，r是位置向量，t是时间，

F是作用于质点的力1.1常微分方程简介其中：m是质量，r是位置向量，t是时间牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r∕|r|是与r同向的单位向量牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的这就是描述行星运动的微分方程——微分方程中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令

u=1∕r这就是描述行星运动的微分方程——微分方程中未知函数只出现一个则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0,

q0是由初始条件确定的2个常数。则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0,q0是由初始条1.1.2一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程具有如下形式：可转化为1.1.2一些典型的常微分方程可转化为两边对x积分（如果可能的话）得

G(y)+C1=F(x)+C2即

G(y)=F(x)+C两边对x积分（如果可能的话）得二、齐次方程具有如下形式作变量替换，令u=y∕x→y=u·x是可分离变量的方程二、齐次方程作变量替换，令u=y∕x→y=三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）相应的齐次方程显然是个可分离的方程三、线性变系数方程相应的齐次方程显然是个可分离的方程积分得通解

yh(x)=C·exp[-P(x)]其中：定义积分因子则

m(x)·yh(x)=C积分得通解定义积分因子两边求导对于q(x)≠0

时m(x)·y(x)=C

不成立。但由上面的推导，可有两边求导对于q(x)≠0时m(x)·y(x)=C对上式积分得即有对上式积分得即有伯努利方程作变换，令u=y1-n伯努利方程作变换，令u=y1-nn阶常系数线性微分方程其中，a0,…,an均为常数。先考虑齐次情形令y=elx

代入得n阶常系数线性微分方程其中，a0,…,an均为常数。令解这个方程得

l=l1,…,ln

若li≠lj

,i

≠

j方程通解为若某个lj是h重根，则对应还有如下的h个解可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。解这个方程得若某个lj是h重根，则对应还有如下的h个解可下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令dz∕dx=u下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令dz∕dx=这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解

y=y0(x)则，原方程通解为这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得1.2.1偏微分方程的概念未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念但是，偏微1.2.2几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）——扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）其中a>0，a2=k∕Q

，k是传热系数，Q是热容量。偏微分方程的导出与定解1.2.2几个典型的数学物理方程其中a>0，a2=k拉普拉斯方程——调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）1.2.2几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与定解拉普拉斯方程——调和方程1.2.2几个典型的数学物理方程偏波动方程当声波在空气中传播时，如果u

表示压强的小扰动，a>0是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度1.2.2几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与定解波动方程1.2.2几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与1.2.3初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题——柯西问题即：求波动方程的解u

，使其满足初始条件u0(x,y,z)和u1(x,y,z),表示在t=0时波的形状和关于t

的变化率。偏微分方程的导出与定解1.2.3初边值问题u0(x,y,z)和u1(x,y一维情形——弦振动方程初始条件作变换

x

=x-at,h

=x+at方程变为偏微分方程的导出与定解一维情形——弦振动方程初始条件作变换偏微分方程的导出与定解且通解为

u=f(x-at)+g(x+at)其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（D′Alembert）公式偏微分方程的导出与定解且通解为偏微分方程的导出与定解高维情形，把(x，y，z)记

x=(x1,x2,x3),x=(x1,x2,x3

)利用傅立叶变换（Fourier）其中

x

x=x1

x1+x2

x2+x3

x3偏微分方程的导出与定解高维情形，把(x，y，z)记偏微分方程的导出与定解且当f

满足一定条件时有Fourier逆变换另外有偏微分方程的导出与定解且当f满足一定条件时有Fourier逆变换另外有偏微分方对于下面方程，利用Fourier变换偏微分方程的导出与定解对于下面方程，利用Fourier变换偏微分方程的导出与定解变成解常微分方程的初值问题，解得其中做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式偏微分方程的导出与定解变成解常微分方程的初值问题，解得其中偏微分方程的导出与定解其中ds1（dsat）是球面|l|=1（|l|=at）的面积元素。偏微分方程的导出与定解其中ds1（dsat）是球面|l|=1（|l|=a1.3热传导方程初值问题的求解两边关于x

做Fourier变换偏微分方程的导出与定解1.3热传导方程初值问题的求解两边关于x做Fourier解常微分方程得若记且有从而偏微分方程的导出与定解解常微分方程得若记偏微分方程的导出与定解同理偏微分方程的导出与定解同理偏微分方程的导出与定解代入得其中通常称K(x-x

,t-

t)为热传导方程基本解，且当f(x,t)≡0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。偏微分方程的导出与定解代入得偏微分方程的导出与定解1.4二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：（波动方程）（热传导方程）（位势方程）偏微分方程的导出与定解1.4二阶偏微分方程的分类与化简（波动方程）偏微分方程的导其中：f是(x1,…,xm)或(x1,…,xm,t)的函数，a为常数，是Laplace算子。二阶偏微分方程的一般形式：其中aij=aji、b、c、f

都是(x1,…,xm)的函数。偏微分方程的导出与定解其中：f是(x1,…,xm)或(x1,…,xm,t)的用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,..,m对于波动方程，取m=n+1,t=xn+1偏微分方程的导出与定解用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,..,m偏微分方程的导对于热传导方程，取m=n+1,t=xn+1偏微分方程的导出与定解对于热传导方程，取m=n+1,t=xn+1偏微分对于位势方程，取m=n偏微分方程的导出与定解对于位势方程，取m=n偏微分方程的导出与定解如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵T

，使得TTAT是对角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的；热传导方程：A的特征值有一个为0，其它的都为正（或负）的，即A是非负（或非正）的；波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即A是不定的。偏微分方程的导出与定解如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交设x0(x01,...,x0m)是空间中一点，A(x0)表示矩阵A在x0点的值定义：若A(x0)的m个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它m-1个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的。如果对于区域W上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域W上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。偏微分方程的导出与定解设x0(x01,...,x0m)是空间中一点，A(x0)表定理：如果方程的二阶项系数aij

是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。偏微分方程的导出与定解定理：如果方程的二阶项系数aij是常数，即A是常数矩阵，且1.4.2二阶偏微分方程的化简定义：称m维空间中的一张曲面S={j

(x1,…,xm)=0}为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一个点，有定义：对于固定点x0=(x10,…,xm0)

，如果过该点的方向l=(a1,…,am)

满足特征方程则称l为该点的特征方向。偏微分方程的导出与定解1.4.2二阶偏微分方程的化简定义：对于固定点x0=由于表示曲面j(x1,…,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设∑ai2

=1即取ai为特征方向的方向余弦。偏微分方程的导出与定解由于表示曲面j(x1,…,x例：热传导方程的特征方程为a12

+

a22

+a32

=0由假设有a02

+

a12

+

a22

+a32

=1从而a02

=1因此特征曲面为超平面t=

常数偏微分方程的导出与定解例：热传导方程偏微分方程的导出与定解例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为

a11a12

+2a12a1a2+a22a22=0满足上述关系的方向(a1,a2)为特征方向，其特征线

j(x,y)=0偏微分方程的导出与定解例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程偏微分方程的导出与定解满足

a11jx2+2a12jx

jy+a22jy2=0*求解这个方程。对j(x,y)=0微分并代入上式

jxdx+jydy=0→jx=-jydy∕dx

a11dy2-2a12dxdy

+a22dx2=0**偏微化为常微，求出**的一族积分曲线j1(x,y)=C则，z=j1(x,y)是*方程的解。偏微分方程的导出与定解满足偏微化为常微，求出**的一族积分曲线偏微分方程的导出求**的积分曲线，将它分解为两个方程此时在(x0,y0)的近旁有三种情况，记△﹥0△=a122-a11a22△=0△﹤0偏微分方程的导出与定解求**的积分曲线，将它分解为两个方程此时在(x0,y0)的即，在(x0,y0)近旁△﹥0

此时**有两族不同的实积分曲线j(x,y)=C和y(x,y)=C引入自变量

x=j(x,y),h=y(x,y)***由*可看出-jx

∕jy、-yx

∕yy是二次方程

a11l2

+2a12l+a22=0两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。偏微分方程的导出与定解即，在(x0,y0)近旁△﹥0此时**有两族不同的实积分由于ux=uxxx+uhhxuy=uxxy+uhhyuxx

=uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy=uxxxxxy+uxh(xxhy+xyhx)+uhhhxhy

+uxxxy+uhhxyuyy=uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化为

b11uxx+2b12uxh+b22uhh+c1ux+c2uh+Du=f偏微分方程的导出与定解由于偏微分方程的导出与定解其中b11=a11xx2+2a12xxxy+a11xy2

b12=a11xxhx

+a12(xxhy+xyhx

)+a22xyhyb22=a11hx2+2a12hxhy+a11hy2

由*和***知b11=b22=0,△*=b122-b11b12=

△*J2故b12≠0从而原方程化为偏微分方程的导出与定解其中偏微分方程的导出与定解如果令

x=(s+t)∕2,h=(s-t)∕2方程最终化为偏微分方程的导出与定解如果令偏微分方程的导出与定解1.5与图像处理有关的偏微分方程的例子几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程1.其对应的滤波器具有锐化作用。偏微分方程的导出与定解1.5与图像处理有关的偏微分方程的例子其对应的滤波器具有锐其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。1.5与图像处理有关的偏微分方程的例子几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程2.偏微分方程的导出与定解其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。1.5数字图像像素的灰度值引言数字图像像素的灰度值引言

基于偏微分方程的图像处理方法

(PartialDifferentialEquations,简称PDE)

定义

图像u———————连续信号图像处理操作F———偏微分算子原始图像I—————初始条件结果图像u—————方程的解

应用图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、二值化、边缘检测、图像分割等。一、背景介绍基于偏微分方程的图像处理方法定义应用图像滤波、图像修从高斯平滑算子导出的偏微分方程偏微分方程滤波模型的导出

从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法从高斯平滑算子导出的偏微分方程偏微分方程从最优化的问题出发从高斯平滑算子导出的偏微分方程——热传导方程(Witkin)

不足：各向同性扩散方程。在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，即图像边缘。高斯滤波高斯滤波器热传导方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法从高斯平滑算子导出的偏微分方程高斯滤波高斯滤波器热传导方从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛函求极值问题的方法，它的主要步骤为：

第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件；第二步，通过泛函变分，求得欧拉－拉格朗日方程；第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程二、基于偏微分偏微分方程的图像处理方法的优点

1方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于对实际问题的理解和数值处理。2对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线和曲率等）具有较好的控制。

4能够模拟动态视觉处理过程。

二、基于偏微分方程的图像滤波方法3可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复。偏微分方程的图像处理方法的优点1方案灵活多样，借助数学的手第一章常微分方程与偏微分方程概论主要内容：常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；略微详细介绍热传导方程。第一章常微分方程与偏微分方程概论主要内容：1.1常微分方程简介1.1.1常微分方程的基本概念牛顿第二定律：其中：m是质量，r是位置向量，t是时间，

F是作用于质点的力1.1常微分方程简介其中：m是质量，r是位置向量，t是时间牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r∕|r|是与r同向的单位向量牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的这就是描述行星运动的微分方程——微分方程中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令

u=1∕r这就是描述行星运动的微分方程——微分方程中未知函数只出现一个则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0,

q0是由初始条件确定的2个常数。则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0,q0是由初始条1.1.2一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程具有如下形式：可转化为1.1.2一些典型的常微分方程可转化为两边对x积分（如果可能的话）得

G(y)+C1=F(x)+C2即

G(y)=F(x)+C两边对x积分（如果可能的话）得二、齐次方程具有如下形式作变量替换，令u=y∕x→y=u·x是可分离变量的方程二、齐次方程作变量替换，令u=y∕x→y=三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）相应的齐次方程显然是个可分离的方程三、线性变系数方程相应的齐次方程显然是个可分离的方程积分得通解

yh(x)=C·exp[-P(x)]其中：定义积分因子则

m(x)·yh(x)=C积分得通解定义积分因子两边求导对于q(x)≠0

时m(x)·y(x)=C

不成立。但由上面的推导，可有两边求导对于q(x)≠0时m(x)·y(x)=C对上式积分得即有对上式积分得即有伯努利方程作变换，令u=y1-n伯努利方程作变换，令u=y1-nn阶常系数线性微分方程其中，a0,…,an均为常数。先考虑齐次情形令y=elx

代入得n阶常系数线性微分方程其中，a0,…,an均为常数。令解这个方程得

l=l1,…,ln

若li≠lj

,i

≠

j方程通解为若某个lj是h重根，则对应还有如下的h个解可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。解这个方程得若某个lj是h重根，则对应还有如下的h个解可下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令dz∕dx=u下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令dz∕dx=这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解

y=y0(x)则，原方程通解为这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得1.2.1偏微分方程的概念未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念但是，偏微1.2.2几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）——扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）其中a>0，a2=k∕Q

，k是传热系数，Q是热容量。偏微分方程的导出与定解1.2.2几个典型的数学物理方程其中a>0，a2=k拉普拉斯方程——调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）1.2.2几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与定解拉普拉斯方程——调和方程1.2.2几个典型的数学物理方程偏波动方程当声波在空气中传播时，如果u

表示压强的小扰动，a>0是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度1.2.2几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与定解波动方程1.2.2几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与1.2.3初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题——柯西问题即：求波动方程的解u

，使其满足初始条件u0(x,y,z)和u1(x,y,z),表示在t=0时波的形状和关于t

的变化率。偏微分方程的导出与定解1.2.3初边值问题u0(x,y,z)和u1(x,y一维情形——弦振动方程初始条件作变换

x

=x-at,h

=x+at方程变为偏微分方程的导出与定解一维情形——弦振动方程初始条件作变换偏微分方程的导出与定解且通解为

u=f(x-at)+g(x+at)其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（D′Alembert）公式偏微分方程的导出与定解且通解为偏微分方程的导出与定解高维情形，把(x，y，z)记

x=(x1,x2,x3),x=(x1,x2,x3

)利用傅立叶变换（Fourier）其中

x

x=x1

x1+x2

x2+x3

x3偏微分方程的导出与定解高维情形，把(x，y，z)记偏微分方程的导出与定解且当f

满足一定条件时有Fourier逆变换另外有偏微分方程的导出与定解且当f满足一定条件时有Fourier逆变换另外有偏微分方对于下面方程，利用Fourier变换偏微分方程的导出与定解对于下面方程，利用Fourier变换偏微分方程的导出与定解变成解常微分方程的初值问题，解得其中做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式偏微分方程的导出与定解变成解常微分方程的初值问题，解得其中偏微分方程的导出与定解其中ds1（dsat）是球面|l|=1（|l|=at）的面积元素。偏微分方程的导出与定解其中ds1（dsat）是球面|l|=1（|l|=a1.3热传导方程初值问题的求解两边关于x

做Fourier变换偏微分方程的导出与定解1.3热传导方程初值问题的求解两边关于x做Fourier解常微分方程得若记且有从而偏微分方程的导出与定解解常微分方程得若记偏微分方程的导出与定解同理偏微分方程的导出与定解同理偏微分方程的导出与定解代入得其中通常称K(x-x

,t-

t)为热传导方程基本解，且当f(x,t)≡0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。偏微分方程的导出与定解代入得偏微分方程的导出与定解1.4二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：（波动方程）（热传导方程）（位势方程）偏微分方程的导出与定解1.4二阶偏微分方程的分类与化简（波动方程）偏微分方程的导其中：f是(x1,…,xm)或(x1,…,xm,t)的函数，a为常数，是Laplace算子。二阶偏微分方程的一般形式：其中aij=aji、b、c、f

都是(x1,…,xm)的函数。偏微分方程的导出与定解其中：f是(x1,…,xm)或(x1,…,xm,t)的用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,..,m对于波动方程，取m=n+1,t=xn+1偏微分方程的导出与定解用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,..,m偏微分方程的导对于热传导方程，取m=n+1,t=xn+1偏微分方程的导出与定解对于热传导方程，取m=n+1,t=xn+1偏微分对于位势方程，取m=n偏微分方程的导出与定解对于位势方程，取m=n偏微分方程的导出与定解如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵T

，使得TTAT是对角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的；热传导方程：A的特征值有一个为0，其它的都为正（或负）的，即A是非负（或非正）的；波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即A是不定的。偏微分方程的导出与定解如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交设x0(x01,...,x0m)是空间中一点，A(x0)表示矩阵A在x0点的值定义：若A(x0)的m个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它m-1个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的。如果对于区域W上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域W上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。偏微分方程的导出与定解设x0(x01,...,x0m)是空间中一点，A(x0)表定理：如果方程的二阶项系数aij

是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。偏微分方程的导出与定解定理：如果方程的二阶项系数aij是常数，即A是常数矩阵，且1.4.2二阶偏微分方程的化简定义：称m维空间中的一张曲面S={j

(x1,…,xm)=0}为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一个点，有定义：对于固定点x0=(x10,…,xm0)

，如果过该点的方向l=(a1,…,am)

满足特征方程则称l为该点的特征方向。偏微分方程的导出与定解1.4.2二阶偏微分方程的化简定义：对于固定点x0=由于表示曲面j(x1,…,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设∑ai2

=1即取ai为特征方向的方向余弦。偏微分方程的导出与定解由于表示曲面j(x1,…,x例：热传导方程的特征方程为a12

+

a22

+a32

=0由假设有a02

+

a12

+

a22

+a32

=1从而a02

=1因此特征曲面为超平面t=

常数偏微分方程的导出与定解例：热传导方程偏微分方程的导出与定解例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为

a11a12

+2a12a1a2+a22a22=0满足上述关系的方向(a1,a2)为特征方向，其特征线

j(x,y)=0偏微分方程的导出与定解例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程偏微分方程的导出与定解满足

a11jx2+2a12jx

jy+a22jy2=0*求解这个方程。对j(x,y)=0微分并代入上式

jxdx+jydy=0→jx=-jydy∕dx

a11dy2-2a12dxdy

+