两个总体均值差的区间估计课件

第七章参数估计第一节参数的点估计

一、点估计问题设总体X的分布函数的形式为已知的F(

x,θ

)，其中x是自变量,θ为未知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体X的一个样本（X

1,X

2,…,X

n），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．点估计的问题就是要构造一个适当的统计量(X1,X2,…,Xn)，用样本的一组观察值（x1,x2,…,xn），得到的观察值（x1,x2,…,xn),以此来估计未知参数θ．称统计量（X

1,X

2,…,X

n）为θ的估计量，称（x1,x2,…,xn）为θ的估计值．第七章参数估计第一节参数的点估计1二、矩估计法的函数，记作μl=μl()即，l=1,2,…，k．设总体X的分布函数为,其中为k个未知参数.

假设总体X的各阶原点矩存在,则E(Xl)是对于总体X的样本（X1,X2,…,Xn），样本的l阶原点矩为，l=1,

2,…，k．令μl=

Al,l=1,2,…，k，二、矩估计法的函数，记作μl=μl(2即从上述方程组中解出，分别记作以此作为未知参数的估计量，称为矩估计量．即从上述方程组中解出3如果样本观察值为（x1,x2,…,xn），则得未知参数的矩估计值为上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法．例1设总体X服从参数为

的泊松分布，其中>0为未知，又设X1,X2,…,Xn为X的样本，求

的矩估计量．解令，即得的矩估计量为．如果样本观察值为（x1,x2,…,x4例2设总体X服从参数为的指数分布，其概率密度为其中为未知，又设为X的样本，求的矩估计量．解由于，即因此得到的矩估计量为．例2设总体X服从参数为的指数5例3设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，a与b为未知，X1，X2，

，Xn是来自总体X的样本，求a与b的矩估计量．解

令即整理得例3设总体X在区间[a,b]6于是得到a、b的矩估计量为于是得到a、b的矩估计量为7解此方程组得到与的矩估计量为令即解

例4设总体X的均值为，方差为，且，但与均未知，又设总体X的一个样本为（X1,

X2,

,

Xn），求与的矩估计量．解此方程组得到与的矩估计量为令解8解由例4可得例5某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径（单位：mm）如下：13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.4813.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50设铆钉头部直径这一总体X服从正态分布，试求与的矩估计值．注此例说明，无论总体X服从什么分布，样本均值都是总体均值的矩估计量，样本二阶中心矩就是总体方差的矩估计量．解由例4可得例5某9三、极大似然估计法1．设总体X为离散型随机变量，其分布律为其中θ为未知参数，取值范围为．设X1,X2,,Xn为来自X的样本，则X1,X2,,Xn的联合分布律为．又设x1,x2,,xn为一组样本值，令

称L(θ)为样本的似然函数．（1）若有，使得对一切，有成立，则称为θ的极大(或最大)似然估计值，相应的统计量称为θ的极大(或最大)似然估计量．三、极大似然估计法1．设总体X为离散型随机10我们规定，使得的就是θ的极大似然估计值．由于lnx是单增函数，所以

与有相同的驻点，因此只需从

中解出就是θ的极大似然估计值，称方程（2）（2）为极大似然方程．我们规定，使得11例6设总体，X1,X2,…,Xn为总体X的样本，求的极大似然估计量．解设样本值为x1,

x2,

…,

xn.由于X的分布律为x=0,1,2,…所以似然函数为令得的极大似然估计值为因此得到的极大似然估计量为例6设总体12

例7设一批产品中含有次品，次品率p未知，从中抽取容量为n的样本，求p的极大似然估计量.

解从总体中任取一件产品进行观测，其结果可用随机变量X表示如下：则X服从参数为p的（0-1）分布，其分布律为设X1,X2,…,Xn为X的一个样本，观察值为x1,

x2,

…,

xn，则似然函数为例7设一批产品中含有次品，次品率p13令解得p的极大似然估计值为因此p的极大似然估计量为2．设总体X为连续型随机变量，其概率密度为，,θ为未知参数．设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，其观察值为x1,

x2,

…,

xn

．则似然函数为（3）似然方程为（4）解出θ的极大似然估计值为(x1,

x2,

…,

xn).极大似然估计量为(X1,

X2,

…,

Xn)．令2．设总体X为连续型随机变量，其概率14

例8设总体X的概率密度为其中为未知参数，（X1,X2,…,Xn）为样本，求的极大似然估计量．解设样本值为（x1,x2,…,xn）(xi＞0,i=1,2,…,n)，似然函数为例8设总体X的概率密度为15令得的极大似然估计值为于是得到的极大似然估计量为令16

例9设总体X的概率密度为又设X1,X2,…,Xn为X的样本，求θ的矩估计量与极大似然估计量．解（1）由于令即解得θ的矩估计量为例9设总体X的概率密度为17（2）设样本值为x1,x2,…,xn(0＜xi＜1)，似然函数为令解得θ的极大似然估计值为因此,θ的极大似然估计量为（2）设样本值为x1,x2,…,x183．设总体X的分布中含有k个参数θ1,θ2,…θk,则似然函数是这些未知参数的函数取对数后，求出lnL关于θi的偏导数并令它等于零，得到似然方程组由此方程组解得θi的极大似然估计值．3．设总体X的分布中含有k个参数19

例10设总体，与未知,（X1,X2,…,Xn)为总体X的样本，求与的极大似然估计量．解

X的概率密度为设x1,x2,…,xn为样本值，似然函数为例10设总体20令解得与的极大似然估计值为因此，与的极大似然估计量为令21例11设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，其中a、b未知，X1,X2,…,

Xn为总体X的样本，求a、b的极大似然估计量．解

X的概率密度为设样本值为x1,x2,…,xn（），似然函数为因为L(a,b)是a的单增函数，a越大，L(a,b)就越大，但a不能大于x(1)=min{x1,x2,…,xn}；又因为L(a,b)是b的单减函数，b越小，L(a,b)就越大，但b不能小于x(n)=max{x1,x2,…,xn}．对于满足a≤x(1)

,b≥x(n)的任意a,b有例11设总体X在区间[a,b]22当a=x(1)

，b=x(n)时,L(a,b)取得最大值所以a,b的极大似然估计值为a,b的极大似然估计量为,4．极大似然估计的性质设u()是关于未知参数θ的函数，，u()具有单值反函数，又设是总体分布中所含参数θ的极大似然估计，则是u的极大似然估计．当a=x(1)，b=x(n)时,L(a,b23四、估计量的评选标准1．无偏性估计量是样本的函数，它是一个随机变量，由不同的方法得到的估计量可能相同也可能不同．而对同一估计量，由不同的样本观察值得到参数的估计值也可能不同．我们很自然地要求估计量的期望等于参数的真值，即无偏性．定义设是未知参数θ的估计量，若，则称为θ的无偏估计（量）．例12设（X1,X2,…,

Xn）是来自具有有限均值与方差的总体X的一个样本．证明：样本均值是的无偏估计，样本方差S2是的无偏估计．四、估计量的评选标准1．无偏性估计量24证

因此，与分别为与的无偏估计．证25例13设总体X的均值为,（X1,X2,X3）是总体X的样本，证明下列两个估计量都是的无偏估计．设与是参数θ的两个无偏估计量，若，则称比有效.2．有效性

证由于所以与都是的无编估计．（只需k1+

k2++

kn

=1，则=k1X1+

k2X2++

knXn就是的无偏估计）例13设总体X的均值为,（X26

例14比较例13中与哪个更有效．解设．由于显见，因此比有效．另外，取，则于是可知比更有效．例14比较例1327设为参数θ的估计量，若当时，按概率收敛于θ，即对于任意正数ε，有，则称为θ的一致估计（量）．3．一致性根据大数定律可知，样本均值是总体均值的一致估计量．设28第二节参数的区间估计点估计是通过构造统计量(X1,X2,…,

Xn)来对总体X中的未知参数θ进行估计，由一个样本值（x1,x2,…,

xn）可得到θ的估计值（x1,x2,…,

xn）．这种估计值是无法知道误差的．我们要定出一个范围，并要求以一定的概率保证这个范围包含着θ的真值．这个范围通常以区间的形式给出，我们把这个区间称为置信区间．定义设总体X的分布中含有一个未知参数θ，(X1,X2,…,

Xn）是来自总体X的一个样本．如果对于给定的常数，统计量θ1=θ1(X1,X2,…,

Xn）与θ2=θ2(X1,X2,…,

Xn）满足（1）则称随机区间(θ1,θ2)是θ的置信度为的置信区间，分别称θ1与θ2为θ的置信下限与置信上限．第二节参数的区间估计点估计是通过构造统计29

例1设总体，为已知，未知,（X1,X2,…,Xn）为来自总体X的一个样本，求的置信度为的置信区间．解由于是的无偏估计，且有由正态分布表可查得，使1－称为置信度或置信水平．（1）式的含义是，随机区间(θ1,θ2)以的概率包含着θ，也就是说，对每一个样本值（x1,x2,…,

xn）可求得一个具体的区间(θ1(x1,x2,…,

xn),θ2(x1,x2,…,

xn))．在这些众多的区间中，包含θ的有100()%个，不包含θ的有100%个．

例1设总体30即有取，于是得到的置信度为的置信区间为即有31求未知参数θ的置信区间的一般方法：1°对于给定的样本X1,X2,…,Xn，构造样本函数，它包含待估参数θ，而不含其它未知参数，并且Z的分布已知，在Z的分布中不依赖任何未知参数．2°对于给定的置信度，定出两个常数a，b（一般地，按Z所服从的分布的上分位点来确定），使

3°从a<Z(X1,X2,…,Xn)<b得到等价的不等式θ1(X1,X2,…,Xn)<θ<θ2(X1,X2,…,Xn)，其中θ1=θ1(X1,X2,…,Xn)与θ2=θ2(X1,X2,…,Xn)都是统计量，于是得到θ的一个置信度为的置信区间（θ1,θ2）．求未知参数θ的置信区间的一般方法：并且Z的32第三节正态总体均值与方差的置信区间一、单个正态总体均值的置信区间设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体的样本．1．设已知，求的置信度为的置信区间2．设未知，求的置信度为的置信区间第三节正态总体一、单个正态总体均值的置信区33由于S2是的无偏估计，因此用S2代替，有

由附表3查得，有即于是得到的置信区间为,图由于S2是的无偏估计，因此34例1某车间生产的螺杆直径服从正态分布,今随机地从中抽取5只测得直径值为22.3，21.5，22.0，21.8，21.4．（1）已知，求的0.95置信区间；（2）如果未知，求的0.95置信区间．解（1）已知、，查表得，因此的0.95置信区间为例1某车间生产的螺杆直径服从正态分布35（2）未知，,s=0.367．查表得=2.7764，因此的0.95置信区间为（2）未知，36二、单个正态总体方差的置信区间1．设已知,求的置信度为的置信区间由于

对于给定置信度，查表可得及，使即因此，的置信区间为二、单个正态总体方差的置信区间1．372．设未知,求的置信度为的置信区间由于

对于给定置信度,查表可得及,使得即因此，方差的置信度为的置信区间为2．设未知,求的置信度38而标准差的的置信区间为例2从正态总体中抽取容量为5的样本，其观测值为1.863.221.46 4.012.64（1）已知，求的0.95置信区间；（2）如果未知，求的0.95置信区间．=12.833．由已知数据算得，因此的0.95置信区间为解（1）已知，查表得，而标准差的的置信区间为39=11.143，由已知数据算得，因此的0.95置信区间为（2）未知,查表得，=11.143，由已知数据算得40三、两个正态总体均值差的置信区间设总体，总体，X与Y独立,（X1,X2,…,Xm）与（Y1,Y2,…,Yn）分别来自X与Y的相互独立的样本，并设它们的样本均值分别为，，样本方差分别为，．1．设和都已知，求的置信度为的置信区间由于与相互独立，且，，于是可知,从而三、两个正态总体均值差的置信区间设总41对于给定的置信度，查表得，使，即从而得到的置信度为的置信区间为对于给定的置信度，查表得422．设为未知,求的置信度为的置信区间其中．例3设总体X~N（，4），总体Y~N（，6），分别独立地从这两个总体中抽取样本，样本容量依次为16和24，样本均值依次为16.9和15.3，求两个总体均值差的置信度为0.95的置信区间．解由题设可知m=16，n=24，=16.9，=15.3，=4，=6，=0.95，=0.05，查附表1得1.96．从而可得的置信度为0.95的置信区间为2．设43例4为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，选20块条件大致相同的地块进行对比试验．其中10块地施磷肥，另外10块地不施磷肥，得到单位面积的产量（单位：kg）如下：施磷肥：620570650600630580570600600580不施磷肥：560590560570580570600550570550设施磷肥的地块单位面积产量X~N(，)，不施磷肥的地块单位面积产量Y~N(，）．求的置信度为0.95的置信区间．解由题设，两个正态总体的方差相等，但未知,m=10，n=10，=0.05，=0.95，=600，=570，，，,查表得,因此,的置信度为0.95的置信区间为例4为了估计磷肥对某种农作物增产的作用44四、两个正态总体方差比的置信区间1．设均已知，求的置信水平为的置信区间

由于与相互独立，且

从而可知.四、两个正态总体方差比的置信区间45对于给定的置信度,查表得及，使

即

因此，的置信度为的置信区间为,,.对于给定的置信度,查表得462．设与都未知，求的置信水平为的置信区间．例5设总体X~N（24，),总体Y~N(20，).从总体X和Y中独立地抽得样本值如下：总体X：23，22，26，24，22，25；总体Y：22，18，19，23，17．求的置信度为0.95的置信区间．解已知=24,m=6；=20，n=5．由已知数据可算得，．因=0.95，故=0.05．查附表5，可得F0.025(6,5)=6.98，F0.025(5,6)=5.99．从而可得的置信度为0.95的置信区间为2．设与都未知，求47

例6从参数都未知的两正态总体中分别独立地抽取样本，它们的样本容量分别为m=10，n=8，样本方差分别为s12=3.6，s22=2.8，求二总体方差比的置信度为0.95的置信区间．解这里=0.95,=0.05，查F分布表得：，．的置信度为0.95的置信区间为

48第四节非正态总体参数的区间估计

一、总体均值的区间估计设X为非正态总体，其均值E(X)与方差D(X)均存在但未知．(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的一个样本，样本容量n很大(n≥50)．我们要求E(X)的置信度为的近似置信区间．由中心极限定理可知随机变量当n很大时近似地服从标准正态分布N(0,1)．由于样本方差S2是D(X)的无偏估计，利用S2代替D(X)，有近似地服从标准正态分布N(0,1)．第四节非正态总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计49对于给定的置信度，有，从而得到E(X)的置信度为的近似置信区间为

．对于给定的置信度，有50例1设从一大批产品中抽取的100个样品中，有60个一级品，求这批产品的一级品率的置信度为0.95的近似置信区间．解记一级品率为p，设随机变量则X服从参数为p的(0－1)分布，p=E(X)．n=100，,,,查表得,因此，p=E(X)的置信度为0.95的近似置信区间为.例1设从一大批产品中抽取的100个样品51

二、两个总体均值差的区间估计设总体X与Y的分布任意,它们的均值与方差均存在但未知．记,．下面来求两个总体均值差的置信度为的近似置信区间.从总体X及总体Y中分别独立地抽取样本(X1，X2，…，Xm)及(Y1，Y2，…，Yn)，样本均值及方差分别记为．由中心极限定理，当样本容量m与n都很大时，与分别近似地服从正态分布与，由样本的独立性知与独立，所以有二、两个总体均值差的区间估计设总52从而可知随机变量近似地服从标准正态分布N(0,1)，用代替及用代替，可知近似地服从标准正态分布N(0,1)．对于给定的置信度，当m与n都很大时有

，从而得到的置信度为的近似置信区间为.从而可知随机变量近似地服从标准正态分布N(0,1)，用53例2对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，各做了100次试验，由具体数据算得，甲种方法,乙种方法．求甲乙两种方法平均抗拉强度差的置信度为0.95的置信区间．解这里m=n=100，,查表得，从而得到的置信度为0.95的近似置信区间为例2对用两种不同热处理方法加工的金属材54第五节单侧置信限对于给定值,若由样本(X1，X2，…，Xn)确定的统计量θ1=

θ1(X1，X2，…，Xn)满足，则称随机区间(θ1,+∞)为参数θ的置信度为1－

的单侧置信区间,θ1称为置信度为1－的单侧置信下限.若统计量θ2=

θ2(X1，X2，…，Xn)满足，则称随机区间(－∞,θ2)为参数θ的置信度为1－的单侧置信区间,θ2称为置信度为1－的单侧置信上限．第五节单侧置信限对于给定值55例1从某批灯泡中随机地取5只作寿命试验．测得其寿命（单位：h）如下：10501100112012501280设灯泡的寿命服从正态分布，试求均值的置信度为0.95的单侧置信区间(θ1,+∞)．解设灯泡寿命为，由于．由=0.95查表得，使得，即，例1从某批灯泡中随机地取5只作寿命试验56本题中，=2.1318,因此的置信度为0.95的单侧置信区间为亦即的0.95置信下限为1065．于是得的置信度为的单侧置信区间为亦即的置信下限为..本题中，=2.1318,因此57第七章参数估计第一节参数的点估计

一、点估计问题设总体X的分布函数的形式为已知的F(

x,θ

)，其中x是自变量,θ为未知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体X的一个样本（X

1,X

2,…,X

n），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．点估计的问题就是要构造一个适当的统计量(X1,X2,…,Xn)，用样本的一组观察值（x1,x2,…,xn），得到的观察值（x1,x2,…,xn),以此来估计未知参数θ．称统计量（X

1,X

2,…,X

n）为θ的估计量，称（x1,x2,…,xn）为θ的估计值．第七章参数估计第一节参数的点估计58二、矩估计法的函数，记作μl=μl()即，l=1,2,…，k．设总体X的分布函数为,其中为k个未知参数.

假设总体X的各阶原点矩存在,则E(Xl)是对于总体X的样本（X1,X2,…,Xn），样本的l阶原点矩为，l=1,

2,…，k．令μl=

Al,l=1,2,…，k，二、矩估计法的函数，记作μl=μl(59即从上述方程组中解出，分别记作以此作为未知参数的估计量，称为矩估计量．即从上述方程组中解出60如果样本观察值为（x1,x2,…,xn），则得未知参数的矩估计值为上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法．例1设总体X服从参数为

的泊松分布，其中>0为未知，又设X1,X2,…,Xn为X的样本，求

的矩估计量．解令，即得的矩估计量为．如果样本观察值为（x1,x2,…,x61例2设总体X服从参数为的指数分布，其概率密度为其中为未知，又设为X的样本，求的矩估计量．解由于，即因此得到的矩估计量为．例2设总体X服从参数为的指数62例3设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，a与b为未知，X1，X2，

，Xn是来自总体X的样本，求a与b的矩估计量．解

令即整理得例3设总体X在区间[a,b]63于是得到a、b的矩估计量为于是得到a、b的矩估计量为64解此方程组得到与的矩估计量为令即解

例4设总体X的均值为，方差为，且，但与均未知，又设总体X的一个样本为（X1,

X2,

,

Xn），求与的矩估计量．解此方程组得到与的矩估计量为令解65解由例4可得例5某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径（单位：mm）如下：13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.4813.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50设铆钉头部直径这一总体X服从正态分布，试求与的矩估计值．注此例说明，无论总体X服从什么分布，样本均值都是总体均值的矩估计量，样本二阶中心矩就是总体方差的矩估计量．解由例4可得例5某66三、极大似然估计法1．设总体X为离散型随机变量，其分布律为其中θ为未知参数，取值范围为．设X1,X2,,Xn为来自X的样本，则X1,X2,,Xn的联合分布律为．又设x1,x2,,xn为一组样本值，令

称L(θ)为样本的似然函数．（1）若有，使得对一切，有成立，则称为θ的极大(或最大)似然估计值，相应的统计量称为θ的极大(或最大)似然估计量．三、极大似然估计法1．设总体X为离散型随机67我们规定，使得的就是θ的极大似然估计值．由于lnx是单增函数，所以

与有相同的驻点，因此只需从

中解出就是θ的极大似然估计值，称方程（2）（2）为极大似然方程．我们规定，使得68例6设总体，X1,X2,…,Xn为总体X的样本，求的极大似然估计量．解设样本值为x1,

x2,

…,

xn.由于X的分布律为x=0,1,2,…所以似然函数为令得的极大似然估计值为因此得到的极大似然估计量为例6设总体69

例7设一批产品中含有次品，次品率p未知，从中抽取容量为n的样本，求p的极大似然估计量.

解从总体中任取一件产品进行观测，其结果可用随机变量X表示如下：则X服从参数为p的（0-1）分布，其分布律为设X1,X2,…,Xn为X的一个样本，观察值为x1,

x2,

…,

xn，则似然函数为例7设一批产品中含有次品，次品率p70令解得p的极大似然估计值为因此p的极大似然估计量为2．设总体X为连续型随机变量，其概率密度为，,θ为未知参数．设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，其观察值为x1,

x2,

…,

xn

．则似然函数为（3）似然方程为（4）解出θ的极大似然估计值为(x1,

x2,

…,

xn).极大似然估计量为(X1,

X2,

…,

Xn)．令2．设总体X为连续型随机变量，其概率71

例8设总体X的概率密度为其中为未知参数，（X1,X2,…,Xn）为样本，求的极大似然估计量．解设样本值为（x1,x2,…,xn）(xi＞0,i=1,2,…,n)，似然函数为例8设总体X的概率密度为72令得的极大似然估计值为于是得到的极大似然估计量为令73

例9设总体X的概率密度为又设X1,X2,…,Xn为X的样本，求θ的矩估计量与极大似然估计量．解（1）由于令即解得θ的矩估计量为例9设总体X的概率密度为74（2）设样本值为x1,x2,…,xn(0＜xi＜1)，似然函数为令解得θ的极大似然估计值为因此,θ的极大似然估计量为（2）设样本值为x1,x2,…,x753．设总体X的分布中含有k个参数θ1,θ2,…θk,则似然函数是这些未知参数的函数取对数后，求出lnL关于θi的偏导数并令它等于零，得到似然方程组由此方程组解得θi的极大似然估计值．3．设总体X的分布中含有k个参数76

例10设总体，与未知,（X1,X2,…,Xn)为总体X的样本，求与的极大似然估计量．解

X的概率密度为设x1,x2,…,xn为样本值，似然函数为例10设总体77令解得与的极大似然估计值为因此，与的极大似然估计量为令78例11设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，其中a、b未知，X1,X2,…,

Xn为总体X的样本，求a、b的极大似然估计量．解

X的概率密度为设样本值为x1,x2,…,xn（），似然函数为因为L(a,b)是a的单增函数，a越大，L(a,b)就越大，但a不能大于x(1)=min{x1,x2,…,xn}；又因为L(a,b)是b的单减函数，b越小，L(a,b)就越大，但b不能小于x(n)=max{x1,x2,…,xn}．对于满足a≤x(1)

,b≥x(n)的任意a,b有例11设总体X在区间[a,b]79当a=x(1)

，b=x(n)时,L(a,b)取得最大值所以a,b的极大似然估计值为a,b的极大似然估计量为,4．极大似然估计的性质设u()是关于未知参数θ的函数，，u()具有单值反函数，又设是总体分布中所含参数θ的极大似然估计，则是u的极大似然估计．当a=x(1)，b=x(n)时,L(a,b80四、估计量的评选标准1．无偏性估计量是样本的函数，它是一个随机变量，由不同的方法得到的估计量可能相同也可能不同．而对同一估计量，由不同的样本观察值得到参数的估计值也可能不同．我们很自然地要求估计量的期望等于参数的真值，即无偏性．定义设是未知参数θ的估计量，若，则称为θ的无偏估计（量）．例12设（X1,X2,…,

Xn）是来自具有有限均值与方差的总体X的一个样本．证明：样本均值是的无偏估计，样本方差S2是的无偏估计．四、估计量的评选标准1．无偏性估计量81证

因此，与分别为与的无偏估计．证82例13设总体X的均值为,（X1,X2,X3）是总体X的样本，证明下列两个估计量都是的无偏估计．设与是参数θ的两个无偏估计量，若，则称比有效.2．有效性

证由于所以与都是的无编估计．（只需k1+

k2++

kn

=1，则=k1X1+

k2X2++

knXn就是的无偏估计）例13设总体X的均值为,（X83

例14比较例13中与哪个更有效．解设．由于显见，因此比有效．另外，取，则于是可知比更有效．例14比较例1384设为参数θ的估计量，若当时，按概率收敛于θ，即对于任意正数ε，有，则称为θ的一致估计（量）．3．一致性根据大数定律可知，样本均值是总体均值的一致估计量．设85第二节参数的区间估计点估计是通过构造统计量(X1,X2,…,

Xn)来对总体X中的未知参数θ进行估计，由一个样本值（x1,x2,…,

xn）可得到θ的估计值（x1,x2,…,

xn）．这种估计值是无法知道误差的．我们要定出一个范围，并要求以一定的概率保证这个范围包含着θ的真值．这个范围通常以区间的形式给出，我们把这个区间称为置信区间．定义设总体X的分布中含有一个未知参数θ，(X1,X2,…,

Xn）是来自总体X的一个样本．如果对于给定的常数，统计量θ1=θ1(X1,X2,…,

Xn）与θ2=θ2(X1,X2,…,

Xn）满足（1）则称随机区间(θ1,θ2)是θ的置信度为的置信区间，分别称θ1与θ2为θ的置信下限与置信上限．第二节参数的区间估计点估计是通过构造统计86

例1设总体，为已知，未知,（X1,X2,…,Xn）为来自总体X的一个样本，求的置信度为的置信区间．解由于是的无偏估计，且有由正态分布表可查得，使1－称为置信度或置信水平．（1）式的含义是，随机区间(θ1,θ2)以的概率包含着θ，也就是说，对每一个样本值（x1,x2,…,

xn）可求得一个具体的区间(θ1(x1,x2,…,

xn),θ2(x1,x2,…,

xn))．在这些众多的区间中，包含θ的有100()%个，不包含θ的有100%个．

例1设总体87即有取，于是得到的置信度为的置信区间为即有88求未知参数θ的置信区间的一般方法：1°对于给定的样本X1,X2,…,Xn，构造样本函数，它包含待估参数θ，而不含其它未知参数，并且Z的分布已知，在Z的分布中不依赖任何未知参数．2°对于给定的置信度，定出两个常数a，b（一般地，按Z所服从的分布的上分位点来确定），使