有理数科学计数法

一、有理数㈠、负数的引入同学们，你能用数表示零5度，零下2度，地上2层，地下二层，高于海平面4000米，低于海平面400米吗？大家发现，我们小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足实际的需要。比如一些相反意义的量：收入200元和支出100元，零上6℃和零下4℃等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量。怎样表示他们呢？我们把一种意义的量规定是正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以根据需要，任意选择，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。习惯上把“前进，上升，收入，零上温度”等规定为正。而把“后退，下降，支出，零下温度”等规定为负。正号可以省略，4000，+4000.正数和负数1、概念：正数大于0的数3,589，1，0.3，1/2负数在正数前加“-”的数，负数比0小。-3,-589，-1，-0.3，-1/2零不是正数也不是负数。0不仅仅可以表示没有，引入负数后，0可以表一个具体确切意义的量，比如说我们在冬天经常会遇到温度为0℃，它并不是表示没有，它表示的温度就是0度。为什么引入负数，通过正数和负数来表示相反意义的量。方向东西走5，向西走-3，家庭收入与支出。②、注意：1)、为了强调，正数前面有时可以加上“+”（读作正）号，例如：6,1.5,5/6也可以写作+6，+1.5，+5/62)、对于正数和负数的概念，不能简单理解为;带“+”号的数是正数，带“-”负号的数是负数，例如a一定是负数吗？不一定。A=3,-a=-3a=0,-a=0a=-3-(a)=3不能认为有负号就是负数例1：下面（1）不带“-”号的数都是正数；（2）带“-”号的数一定是负数（3）不存在既不是正数也不是负数的数（4）0度表示没有温度，其中正确的有几个（）。A、0个B、1个C、2个D、3个02、-（-3）4、温度计测量㈡、正负数的意义用正负数表示相反意义的量；如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然。譬如：用正数表示向南，向北3km,则可以用分数表示-3km.“相反意义的量”包括两个方面的含量：一是相反意义，二是相反意义的基础上要有量。例2：1、某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针方向转2圈，那么-3圈表示（）？2、在某次数学质量分析中，如果某学生的成绩超过平均分5分记作+5，那么-10分表示（）；若班级的平均分为80分，则记作-10分的同学得分是（）分；若班级平均分是72分，则记作-10分的同学实际得分是（）分？3、学校、家、书店，依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边70米，小明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了-20米，此时小明的位置是（）。A．在家B在书店C在学校D在家的北边30米处a,b互为相反数1、a+b=02、a=-b3、若a≠0,a㈢、有理数3.1、有理数的概念整数和分数统称为有理数。无理数：无限不循环小数3.2、有理数的分类①、按符号分：正整数正有理数正分数有理数零0负有理数负整数负分数②、按定义分：正整数整数0有理数负整数分数正分数负分数非正数，非负数整数：正整数，0负整数分数：正分数，负分数12,115,0.3,0.1206,0.小数：十进制分数。因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化。上述的小数都可以有分数来表示。所以我们把有限小数和无限小数都看作分数。循环小数化分数纯循环小数是从小数部分第一位开始循环的小数,例如0.22222……，0.23

循环节不是从小数部分第一位开始的,叫混循环小数,例如2.356，0.123456，0.3纯循环小数是从十分位开始循环的小数,如0.33333333...(1/3),0.1428571428571(1/7)等,纯循环小数个位可为非零自然数（自然数包括0）。0.0.6X10=6.666……….（10.6=0.666……….（2）（1）-（2）得0.6X9=6所以=6注：有时候为了一些的需要，整数也可以看做是分母为1的数。具体看结果。4/2长得像分数，实际是整数，看最后③、无理数：无限不循环小数二、数轴㈠、数轴的定义：规定了原点，正方向，单位长度的的直线。（三要素），通常整数写在原点的右方，负数写在原点的左方。a,-a.左边是负数，右边是正数，X12V-101X-104单位长度要统一，三要素，缺一不可。正方向（一般为向右为正），单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，但同一数轴上的单位长度必须一致。例：2008年8月第29届运动会在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）。

纽约伦敦巴黎北京首尔-501289

A、伦敦时间2008年8月8日11时8月8日12时B、巴黎时间2008年8月8日13时8月8日13时

C、纽约时间2008年8月8日5时8月8日7时

D、首尔时间2008年8月8日19时8月8日21时三、绝对值㈠、相反数代数定义：两个数只有符号不同，则称其中一个数为另一个数的相反数。也称两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0.2？m?m表示任意的一个数，可以是正数，负数或0，0?一般的，数a的相反数是-a.这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或0.②、几何意义，位于原点的2侧，并且到原点距离相等的2个点表示的数。称为互为相反数。关于原点轴对称。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧且与原点距离相等。-3-(-3)-[-(-3)]+{-[-(+3)]}多重符号化简，正号不影响最终结果，偶数个负号不影响最终的结果，奇数个负号最终只要保留一个负号就可以了。③、比较两个数的大小规定，数轴上的数越往右，数越大例3、若自行车条长度比标准长度长2mm,记作+2mm,则比标准长度短2mm,记作（-2mm）恰好等于标准长度，记作（）。向东走-6米，实际是向（）走（）米。把下列各数分类13,-5，0.49，8，0，3.14,227,-3.28,+300%,-10正整数：8，+300%,1万负整数-5，-10分数13，0.49，3.14,整数负数-5，-3.28,-106）正数130.49，8，3.14,22已知有理数a,b在数轴上的位置，如图，比较a,b,-a,-b的大小a0b已知3m-2与-7互为相反数，求m?解：由题意，3m-2=-7m=3㈡、绝对值3.2.1概念：数轴上表示数a的点到原点的距离叫（读）作a的绝对值，记作|a|>=0当a为正数时，|a|=a负|a|=-a0|a|=0

若|a|=a，则a为正数或0；|a|=-a，则a为负数或0；绝对值具有非负性。3.2.2、比较大小①、正数大于0,0大于负数，负数相比较，绝对值大的反而小②、负数的比较：先分别求出两个负数的绝对值比较两个绝对值的大小根据”两个负数比较大小，绝对值大的反而小”例4有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|c-b|+|a-c|+|b+c|+|a+b|解：由图可知，c<b<0<a|c|>|b|>|a|c-2b-10a1原式=-(c-b)+(a-c)+[-(b+c)]+[-(a+b)]=b-c+a-c+(-b)+(-c)+(-a)+(-b)=-b-3c例5若|a-1|+|b-2|=0,求a+b的值解;因为|a-1|≥0,|b-2|≥0,又|a-1|+|b-2|=0所以|a-1|=0,|b-2|=0,所以a-1=0b-2=0即a=1,b=2得a+b=1+2=3例6若|m|=|n|,则m,n的关系为（m=n或m=n）若|-a|=4,则a为（±4）若x≠0,则|x|x=（±1V、总结：一、正数和负数负数的引入正数和负数二、有理数有理数概念有理数分类认识数轴三、数轴有理数与数轴的关系利用数轴比较有理数的大小四、相反数相反数的表示法多重符号化简五、绝对值认识绝对值利用绝对值比较有理数的大小四、有理数的加减法㈠、加法运算法则①、同号的两数相加,取相同的符号,并把它们的绝对值相加,(-2)+(-3)=(-5)②、异号数相加绝对值不相等的两个异号数相加.取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,作为结果.③、互为相反的两个数的和为0④、任何一个数与0相加,仍为这个数.㈡、减法运算法则减去一个数,等于加上这个数的相反数.㈢、加减法混合运算4.3.1、加法的运算律：交换律结合律4.3.2、步骤：①、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法②、写成省略加号，括号的各数和的形式.③、运用加法法则，交换律，结合律进行简便运算。4.3.3、计算例1、（-0.125）+（+5）+（-7）+（+18）+（+2-0.1-（-813）+（+1123）-（-134+（-6.5）+338+（-1.75）例2、某公路检修队乘车从A地出发,在南北走向的公路上检修道路,规定向南为正,向北为负,从出发到收工所行驶的路程记录为(单位:千米)+2,-8,+5,+7,-8,+6,-7,+12（1）收工时,检修队在A地哪边，距A地多远？（2）汽车行驶中，每走1千米耗油0.2升，则检修对从A地出发到收工时，共耗油多少升？解：（1）(+2)+(-8)+(+5)+(+7)+(-8)+(+6)+(-7)+(12)=(2+5+7+6+12)+[(-8)+(-8)+(-7)]=9收工时，检修队在A地的南边，距A地9km.（2）需求实际路程，绝对值之和：|+2|+|-8|+|+5|+|+7|+|-8|+|+6|+|-7|+|12|=55km共耗油：55x0.2=11升若|a|=21,|b|=27且|a+b|=-(a+b),求a-b的值解：∵|a|=21,|b|=27∴a=±21,b=±27∵|a+b|=-(a+b)∴a+b≤0∴a=21,b=-27或a=-21,b=-27当a=21,b=-27时，a-b=21–(-27)=48当a=-21,b=-27时，a-b=-21–(-27)=6五、有理数的乘法㈠、乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘都得0.如果两个数的积为1我们把这两个数称为互为倒数。多个有理数相乘，积的结果取决于负因数的个数，当负因数的个数为奇数时，积为负数，当负因数的个数为偶数时，积为正数。积的绝对值等于各因数的绝对值的积。㈡、运算律交换律axb=bxa两个数相乘，交换因数的位置积不变结合律(ab)c=ax(bc)三个数相乘先把前2个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变分配率a(b+c)=ab+ac一个数同两个数的和的积等于把这个数分别和这两个数相乘，再把积相加。根据乘法的运算律，三个或三个以上的数相乘，可以任意交换因数的位置，也可以将几个因数结合在一起先乘，所以积不变。乘法和加法的分配率对于两个以上的数相加的情形仍然成立，即a(b+c+…+m)=ab+ac+…+am.六、有理数的除法㈠、倒数倒数：用1除以一个非0的数，商就是这个数的倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。㈡、除法法则除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。a÷b=ax1bb表示方法2：两数相除同号得正异号得负并把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都为0。例一、(+317)x(317-713(-7)x(-1419)+13x(-1419)-6x(-3-[-5+(1-0.2x35)÷(-2)例二、已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，|m|=5,求abm+c+d+m解：∵a,b互为倒数∴ab=1∵c,d∵∴m=5,当m=5时，abm+c+d+m=1当m=5时，abm+c+d+m=-15+0+（符号相关例三、（1）若|x|=4,|y|=12且xy<0,则x(2)若–xyz>0且x与z异号，则(y>0)(3)若ab>0bc<0,则ac(<)0多个有理数相乘（除），积的结果取决于负因数的个数，当负因数的个数为奇数时，积为负数，当负因数的个数为偶数时，积为正数。积的绝对值等于各个因数的绝对值的乘积。七、有理数乘方㈠、乘方①、定义：求几个相同因式的乘积的运算。乘方的结果叫幂。3x3x3x3=3对任意数统称为ana叫作底数，n叫作当底数是负数或者是分数时，要打括号。（(-2)5）43一个数可以看做它本身的一次方，指数通常省略不写。31当底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起来。负数的乘方与乘方的相反数不同。②、有理数乘方法则负数的奇次幂为负数，负数的偶数幂是正数正数的任何次幂都是正数0的任何次幂都是0(-2)3）23互为相反数的奇次幂仍互为相反数。③、有理数混合运算的法则，先乘方，在乘除，最后加减；同级运算我们按照从左到右的顺序进行；有括号的要先算括号里面的，并且按照从小括号，到中括号再到大括号的顺序来进行。㈡、计算例一、（1）0.25x(-2)3-[4（2）-14-1-0.5x(3)(0.5)2007x例二、已知(a-2)2+|b-5|=0,求(解：∵(a-2)2≥0∴a-2=0,b-5=0(-a)3x(-b)例二：若a+2b=0,求-(ba)解：∵a+2b=0∴a=-2b-(ba)3=-例三、已知x,y互为倒数，且绝对值相等，求(-x)n-(y解：∵xy=1且|x|=|y|∴x=y=1或x=y=-11)、若x=y=1若n为偶数，(-x)n-(y若n为奇数，(-x)n-(y)n2)、若x=y=-1若n为偶数，(-x)n-(y若n为奇数，(-x)n-(y)n=(1八、科学计数法与近似数㈠、科学计数法：把一个绝对值大于10的整数表示成a乘以10的n次方的形式。(a是整数位只有一位的数，1≤|a|<10，n是正整数)。n为原数的整数位数减少1.10nn为0的个数。用科学计数法表示下列各数1000000=1xc1可省略右边开始向左移动小数点-8765000=-8.765x10-6541.235=-6.541235x10总结：10的指数为整数位数-1写出下列科学计数法表示的原数3.001x104=30010原数的整数位为指数-7.557x107㈡、近似数：近似数，就是与实际接近的数，使用近似数就有个近似程度的问题，也就是精确度。一些大数数字读，写都有一定的困难。用什么方法来表示这些大数，使他们易读，易记，易判断还便于计算？由于无法