福建省漳州市一中20072008学年上学期期末考试高三数学(理科)试卷

福建省漳州市一中2007-2008学年上学期期末考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的选项填在答题卷上.1.的值是A. B. C. D.2.定义：.若复数满足，则等于A. B. C. D.3.已知命题：不等式的解集为R；命题：为减函数.则是成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若是两个不重合的平面，给定以下条件：①都垂直于平面；②内有不共线的三点到的距离相等；③是内的两条直线，且∥，∥；④是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥.其中可以判断∥的是:A.①② B.②③ C.②④ D.④5.从集合中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为的概率是A. B. C. D.6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则A. B. C. D.7.已知等比数列的公比，其前项的和为，则与的大小关系是A. B. C. D.不确定8.已知为坐标原点，，，，若，且，则的取值范围为A. B. C. D.9.若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为A. B. C. D.10.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，抛物线以为顶点，为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为A. B. C. D.11.在数列中，如果存在非零的常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期.已知数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前项的和为A. B. C. D.12.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数.若是闭函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卷的相应位置上.13.在二项式的展开式中，含项的系数记为，则的值为.14.已知函数满足：，，则.15.双曲线的两个焦点为，点在该双曲线上，若，则点到轴的距离为.16.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是.三、解答题：本大题共6小题，共74分.12+12+12+12+12+14=74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知是△的两个内角，向量，若.（Ⅰ）试问是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（Ⅱ）求的最大值，并判断此时三角形的形状.18.一个袋子内装有若干个黑球，个白球，个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取个球，每取得一个黑球得分，每取一个白球得分，每取一个红球得分，已知得分的概率为，用随机变量表示取个球的总得分.（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；（Ⅱ）求的分布列；（Ⅲ）求的数学期望.19.如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.DPEABC（Ⅰ）DPEABC（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求点到平面的距离.20.已知数列的前项和为，且有，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）若，且数列中的每一项总小于它后面的项，求实数的取值范围.21.已知，点满足，记点的轨迹为.（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点.（i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.22.已知函数.（Ⅰ）若、，求证：①；②.（Ⅱ）若，，其中，求证：；（Ⅲ）对于任意的、、，问：以的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DABDBCABCBDC二、填空题：13.214.2415.16.三、解答题：17.解：（Ⅰ）由条件………………（2分）∴………（4分）∴∴为定值.………（6分）（Ⅱ）………（7分）由（Ⅰ）知，∴………………（8分）从而≤………………（10分）∴取等号条件是，即取得最大值，∴此时ΔABC为等腰钝角三角形…………………（12分）18.解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则……（2分）化简得：，解得或（舍去），即有4个黑球………（4分）（Ⅱ）…………………（8分）∴的分布列为（直接写不扣分）……………………（9分）（Ⅲ）……………（12分）19.解法一：（Ⅰ）设与交点为，延长交的延长线于点，则，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴又∵底面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面…………………（4分）PEABDCHF（Ⅱ）连结，过点PEABDCHF则由（Ⅰ）知平面平面，且是交线，根据面面垂直的性质，得平面，从而即为直线与平面所成的角.在中，，在中，.所以有，即直线与平面所成的角为…………………（8分）（Ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即.在中，，从而点到平面的距离等于………………（12分）PEABPEABDCzxy直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，.（Ⅰ）由于，，，所以，，所以，而，所以平面，∵平面，∴平面平面……………（4分）（Ⅱ）设是平面的一个法向量，则，由于，，所以有，令，则，即，再设直线与平面所成的角为，而，所以，∴，因此直线与平面所成的角为………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，而，所以点到平面的距离为………（12分）20.解：（Ⅰ），∴，……（2分）∵，∴…………………（4分）（Ⅱ），………（6分）∴∴……………（8分）（Ⅲ），∵，∴，∵，∴.………………（10分）∵，∴∵，∴.………（12分）21.解：（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，∴，解得………（5分）（i）∵……（7分）假设存在实数，使得，故得对任意的恒成立，∴，解得∴当时，.当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，综上，存在，使得.…………（8分）（ii）∵，∴直线是双曲线的右准线，…………（9分）由双曲线定义得：，，方法一：∴…………（10分）∵，∴，∴………（11分）注意到直线的斜率不存在时，，综上，………………（12分）方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，∴，过作，垂足为，则，∴……………………（10分）由，得故：……………（12分）22.解：（Ⅰ）①要证：，只需证：，∵，则，∴只需证：，即，∵成立，∴成立.