2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国Ⅲ卷)文

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷Ⅲ,文)(本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为()A.2 B.3 C.4 D.52.若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-i B.1+i C.-i D.i3.设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为()A.0.01 B.0.1 C.1 D.104.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0A.60 B.63 C.66 D.695.已知sinθ+sinθ+π3=1,则sinθ+π6=()A.12 B.33 C.23 6.在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若AC·BC=1,则点C的轨迹为(A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线7.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)8.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.29.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+2310.设a=log32,b=log53,c=23,则(A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b11.在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则tanB=(A.5 B.25 C.45 D.8512.已知函数f(x)=sinx+1sinx,则(A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称C.f(x)的图像关于直线x=π对称D.f(x)的图像关于直线x=π2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足约束条件x+y≥0,2x-y≥0,14.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=15.设函数f(x)=exx+a.若f'(1)=e416.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.18.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.19.(12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.20.(12分)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.21.(12分)已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为154(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2,y=2-3t+(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥342020年数学(全国卷Ⅲ,文)查缺补漏表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏1(集合)选择题集合的基本运算(交集);数学运算4,10,12,15,20(函数与导数)选择题函数应用;数学建模选择题对数的性质与运算;数学运算选择题函数的性质;逻辑推理、数学运算填空题求函数的导数、利用某点处的导数值求解参数;数学运算解答题应用导数研究函数的单调性和零点、求参数的取值范围;数学抽象、逻辑推理、数学运算5,11(三角函数与解三角形)选择题三角恒等变换;数学运算选择题解三角形、三角公式;数学运算6(平面向量)选择题平面向量的数量积、轨迹与轨迹方程;数学运算、数学抽象17(数列)解答题等比数列基本量的计算、等差数列的判断与求和公式的应用;数学运算13(不等式)填空题线性规划;直观想象、数学运算9,16,19(立体几何)选择题三视图求表面积;直观想象、数学运算填空题空间图形的位置关系(球切接于圆锥)、球的体积;直观想象、数学运算解答题空间线线垂直的证明、点线、面的位置关系;直观想象、逻辑推理、数学运算7,8,14,21(平面解析几何)选择题直线与抛物线的位置关系(相交)、抛物线的焦点;直观想象、逻辑推理、数学运算选择题点到直线的距离;直观想象、数学运算填空题双曲线的渐近线与离心率;数学运算解答题求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系;逻辑推理、数学运算续表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏3,18(概率与统计)选择题方差;数学运算解答题互斥事件的概率、均值估计、独立性检验;数学抽象、数学运算、数据分析2(复数)选择题复数的运算(除法)、共轭复数;数学运算22(坐标系与参数方程)解答题参数方程的应用、直角坐标方程转化为极坐标方程;数学运算23(不等式选讲)解答题重要不等式的应用、不等式证明;逻辑推理【试题分析】2020年全国Ⅲ卷文科数学,突出对基础知识(约占40%)以及主干内容的考查,如函数与导数(32分),立体几何(22分),平面解析几何(27分),概率与统计(17分),三角函数与解三角形(10分),数列(12分).纵观全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第4题以新冠疫情为背景,考查数学模型的建立与应用,突出了数学的实用性,考查学生的分析能力和提升学生的数学文化素养.第18题以空气质量与健康锻炼设计问题,考查学生运用所学的概率与统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力,培养学生的生态文明与健康观念.1.B根据交集的定义,A∩B={5,7,11}.故选B.2.D由z(1+i)=1-i,知z=1-i1+i=(3.C设x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s2,10x1,10x2,…,10xn的平均数为x',方差为s'2,则s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],x'=10x,故s'2=1n[(10x1-x')2+(10x2-x')2+…+(10xn-x')2]=1n[(10x1-10x)2+(10x2-10x)2+…+(10xn-10x)2]=102×s2,又s2=0.01,故s'2=100×4.C由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*5.B根据两角和的正弦公式展开得sinθ+sinθ+π3=sinθ+12sinθ+32cosθ=32sinθ+32cosθ=1,即3sinθ+π6=1,解得sinθ+π6=33.6.A以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由AC·BC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.7.B∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.8.B直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.9.C由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为3×12×2×2+12×22×22×sin60°=6+210.A∵32a=32log32=log3223=log∴a<23∵32b=32log53=log5233=log2527>1,又c=23,∴a<c<b.故选A11.C由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=16+9-2×4×3×23=9,即AB=3由余弦定理的推论知cosB=AB又cos2B+sin2B=1,解得sinB=459,故tanB=sinBcosB=12.D由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,且函数f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-f(x),故该函数为奇函数,其图像关于原点对称,选项B错误;令t=sinx,则t∈[-1,0)∪(0,1],由g(t)=t+1t的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),故f(x)无最小值,选项A错误;由f(2π-x)=sin(2π-x)+1sin(2π-x)=-sinx-1sinx=-f(x),f(π-x)=sin(π-x)+1sin(13.7如图,在平面直角坐标系中画出可行域(阴影部分),由z=3x+2y得y=-32x+12z,画出直线y=-32x,并平移该直线,当直线y=-32x+12z过点A(1,2)时,目标函数z=3x+2y取得最大值,最大值为3×1+214.3由题意得ba=2,即b=∵c2=a2+b2=3a2,即c=3a,∴e=ca15.1对函数f(x)=exx+a求导得f'(x)=ex(x+a16.2π3如图,SB=3,BC=1,SC=SB2-B设该球内切于母线SB,切点为点O.令OC=OD=R,由△SOD∽△SBC得ODBC=SOSB,即R因此V球=43πR3=43π·(方法二)由题意可知该圆锥的轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.该三角形的周长为8,面积为22,由于三角形面积S,周长C和内切圆半径R的关系为S=CR2,即R=2SC=22,故该球的体积为V球=43πR17.解(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a所以{an}的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=n(由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.18.解(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350(3)根据所给数据,可得2×2列联表:人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得K2=100×(33×8由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.证明(1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD,于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D,所以EF⊥AC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AE∥GD因为B1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1∥FC于是AE∥FC1.所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.20.解(1)f'(x)=3x2-k.当k=0时,f(x)=x3,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增;当k<0时,f'(x)=3x2-k>0,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增.当k>0时,令f'(x)=0,得x=±3k当x∈-∞,-3k3时,f'(x)>0;当x∈-3k3,3k3时,f'(当x∈3k3,+∞时,f'(x)>0.故f(x)在-∞,-3k3,3k3,+∞单调递增,在-3k3,3(2)由(1)知,当k≤0时,f(x)在(-∞,+∞)单调递增,f(x)不可能有三个零点.当k>0时,x=-3k3为f(x)的极大值点,x=3k3为f(此时,-k-1<-3k3<3k3<k+1且f(-k-1)<0,f(k+1)>根据f(x)的单调性,当且仅当f3k3<0,即k2-2k3k9<0时,f(x)因此k的取值范围为0,