广东省广州市五校2015-2016学年高二数学上学期期末联考试题 理

PAGEPAGE122015—2016学年度第一学期期末模块考试五校联考高二年级数学（理科）试题试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。考试时间为120分钟。注意事项：1、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。第一部分选择题（共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。）1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为()A．B．C． D．2．函数的定义域是()第1题图A．B．C．D．3．已知向量．若为实数，，则()A．B．C．D．4．下列有关命题的说法正确的是() A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．线性回归直线方程恒过样本中心，且至少经过一个样本点．C．命题“使得”的否定是：“均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．5．已知直线与直线平行，，则是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件6．等差数列的前n项和为,若，则的值是()A．65 B．70C．130 D．1407．函数y＝sin(2x＋)的图像可由函数y＝sin2x的图像()A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到8．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A．若,,,则 B．若,,,则C．若,,,则 D．若,,,则9．如图，若程序框图输出的是126，则判断框①中应为()A．B．C．D．10．已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于()A.B.C.D.11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（）A. B.C. D.第9题图12．若函数的定义域为实数集R,满足(是R的非空真子集),在R上有两个非空真子集,且,则的值域为()A.B.C.D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如右图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．14．设满足约束条件,则的最大值是________．15．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是_________．16．设二次函数的值域为，则的最大值为_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，且＝eq\f(1,2).（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2eq\r(3)且，求此三角形的面积．18．（本小题满分12分）某校学生利用元旦节进行社会实践，在岁的人群随机抽取人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组已养成垃圾分类习惯的人数占本组频率第一组第二组第三组第四组第五组第六祖（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；（Ⅱ）从岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队年龄都在岁的概率.19．（本小题满分12分）已知二次函数，数列的前项和为，点均在函数上的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列前项和为，问满足的最小正整数是多少?20．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，,平面平面。（Ⅰ）求证：；CBC1B1ACBC1B1A1A21．（本小题满分12分）给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）过点作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．22．（本小题满分12分）设，函数．（Ⅰ）若，求函数在区间上的最大值；（Ⅱ）若，写出函数的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．2015-2016学年度上学期期末模块考试五校联考高二年级数学（理）科试卷答案题号123456789101112答案BCADACADBCBB一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.14.315.16.三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）＝－cos2eq\f(A,2)＋sin2eq\f(A,2)………………1分＝－cosA………………2分＝eq\f(1,2)，∴cosA＝－eq\f(1,2)，………………3分又∵A∈(0°，180°)，∴A＝120°.………………4分（Ⅱ）由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos120°即b2＋c2＋bc＝12………………5分又∵∴联立方程解得：………………8分∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsin120°＝eq\r(3)……………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）第二组的频率为，所以高为．频率直方图如右：……………2分第一组的人数为，频率为，所以．……………3分第二组的频率为，所以第二组的人数为，所以．……………4分第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．……………5分（Ⅱ）“已养成垃圾分类习惯的人”中，由于岁年龄段的人数与岁年龄段的人数的比值为。所以，采用分层抽样法抽取6人，岁的占4人，分别编号为A1，A2，…A4，岁的占2人，分别编号为B1，B2．……………7分从中任取两人，则总的基本事件构成集合Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，…，(B1，B2)}共有15个，……………9分其中，年龄都在岁的事件所含基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)共6个，……………11分故概率.……………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点均在函数上的图像上所以……………1分当时，……………2分当时，，……………4分经检验当时，也满足，……………5分所以……………6分（Ⅱ）……………7分……………9分…………10分由，得，满足的最小正整数为12.…………12分20．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接.在正方形中，.因为平面平面，平面平面，平面，CBC1B1A1CBC1B1A1A因为平面，所以.………………2分在菱形中，.………………3分因为平面，平面，，所以平面.………………4分因为平面，所以.………………5分（Ⅱ）在平面内过点作.由（Ⅰ）可知：平面.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，………………6分设，则.在菱形中，，所以，.……7分zyxCBCzyxCBC1B1A1A因为即………………8分所以即(,1)………………9分由（Ⅰ）可知：是平面的一个法向量,且=………………10分所以.………………11分所以二面角的余弦值为.………………12分方法2：证明：连接.在正方形中，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………1分在平面内过点作.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，………………2分设，则.在菱形中，，所以，.……3分（Ⅰ）zyxCBC1zyxCBC1B1A1A所以……5分所以.……6分（Ⅱ）设平面的一个法向量为.因为即………………7分所以即(,1)………………8分又因为且所以………………9分即是平面的一个法向量,且=………………10分所以.………………11分所以二面角的余弦值为.………………12分21.（本小题满分12分）解：(Ⅰ)由题意得：，则，半焦距．．．．．．．．．1分所以，椭圆的方程为．．．．．．．．．2分“伴随圆”的方程为．．．．．．．．．4分（Ⅱ）由题意，直线的斜率显然存在。设过点，且与椭圆有一个交点的直线为，联立直线与椭圆方程得：整理得．．．．．．．．．6分所以，即①．．．．．．．．．8分又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，则有化简得②．．．．．．．．．10分联立①②解得：，所以