二维随机变量的定义、分布函数课件

第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布1体重X身高Y例2：检查某大学的全体学生的身体状况,例1飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的.从其中随机抽取一个学生，分别以X

和Y

表示其体重和身高.多个随机变量举例体重X身高Y例2：检查某大学的全体学生的身体状况,例1飞23.1二维随机变量及其分布例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。任务：需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。3.1二维随机变量及其分布例如E：抽样调查15-1833.1.1二维随机变量的定义、分布函数定义3.1.1

设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称为Ω上的一个二维随机变量。向量（X，Y）3.1.1二维随机变量的定义、分布函数定义3.1.14二维随机变量（X,Y）的几何意义二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量（X,Y）的几何意义二维随机变量(X,Y)的取5二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数6定义3.1.2称为二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义3.1.2称为二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随7二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义几何解释：

F(x,y)表示随机点(X

,Y)落在以(x,y)为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形内的概率.二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义几何解释8x1x2y1y2

P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Y9性质（1）性质（2）性质（3）性质（4）二维随机变量的联合分布函数的性质F(x,y)分别关于X和Y

.

≤F(x,y)≤.

F(x,－

∞)=

；F(－

∞,y)=.

F(－

∞,－

∞)=

；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分别关于X和Y.单调不减；010001右连续；性质（1）性质（2）性质（3）性质（4）二维随机变量的联合分103.1.2二维离散型随机变量定义3.1.3

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。3.1.2二维离散型随机变量定义3.1.311（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式表格形式P{X12Pij的性质Pij的性质13例题讲解例题讲解14例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(X,Y)的联合分布律。(X,Y)的可能取值为(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).

P{X＝1，Y＝1}=

P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，151/31/31/30(X,Y)的联合分布律X/Y12121/31/31/30(X,Y)的联合分布律X/Y121216箱内装有12只开关，其中2只是次品，现从箱内随机抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的联合分布律。其中：练一练箱内装有12只开关，其中2只是次品，练一练171010X

Y(X,Y)的联合分布律10X(X,Y)的联合分布律18例2.设随机变量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整数值,求(

X,

Y

)的分布列及F(2,2).解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900例2.设随机变量X在1,2,3中等可能地取值,Y19=++=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)=++=2/320例：(X,Y)的联合分布律如下：YX-1012

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?+++k=1

k

=例：(X,Y)的联合分布律如下：Y-121YX-1012

-1120XY0Y-101222YX-1012

-1120XYY-101223YX-1012

-1120XYY-101224YX-1012

-1120XYY-101225YX-1012

-1120XYY-101226

Y=-1Y=0X=1X=2

Y=-1Y=0X=1X273.1.3二维连续型随机变量3.1.3二维连续型随机变量28定义3.1.4(二元连续型随机变量)

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.定义3.1.4(二元连续型随机变量)若存在非负29二维连续型随机变量的联合概率密度的性质

（1）非负性（2）正则性（3）可导性二维连续型随机变量的联合概率密度的性质（1）非负性（230几何解释=曲顶柱体的体积xof(x,y)G（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率几何解释=曲顶柱体的体积xof(x,y)G（4）（X,31例题讲解例题讲解32例1：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度

求：⑴系数A；⑵F(x,y)；⑶P{X<2,Y<1};

(4)P{2X+3Y≤6}例1：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度33求：⑵F(x,y)；求：⑵F(x,y)；34xy解(3):

P{X<2,Y<1}21{x<2,y<1}f(x,y)≠0xy解(3):P{X<2,Y<1}21{x<2,35322x+3y=6xy0解(4):f(x,y)≠022x+3y=6xy0解(4):f(x,y)≠036二维均匀分布设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称（X,Y)在D上服从均匀分布.其中G是平面上的有界区域，其面积为SG二维均匀分布设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称（X,37例题讲解例题讲解38例1：设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分布，其中G是曲线y=x2和y=x所围成的区域，则(X,Y)的联合概率密度fx,y=01例1：设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分布，其39例2、设随机变量（X，Y）在区域上服从均匀分布，则=例2、设随机变量（X，Y）在区域上服从均匀分布，则=40二维随机变量的定义、分布函数课件41二维随机变量的定义、分布函数课件42二维随机变量的定义、分布函数课件43第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布44体重X身高Y例2：检查某大学的全体学生的身体状况,例1飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的.从其中随机抽取一个学生，分别以X

和Y

表示其体重和身高.多个随机变量举例体重X身高Y例2：检查某大学的全体学生的身体状况,例1飞453.1二维随机变量及其分布例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。任务：需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。3.1二维随机变量及其分布例如E：抽样调查15-18463.1.1二维随机变量的定义、分布函数定义3.1.1

设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称为Ω上的一个二维随机变量。向量（X，Y）3.1.1二维随机变量的定义、分布函数定义3.1.147二维随机变量（X,Y）的几何意义二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量（X,Y）的几何意义二维随机变量(X,Y)的取48二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数49定义3.1.2称为二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义3.1.2称为二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随50二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义几何解释：

F(x,y)表示随机点(X

,Y)落在以(x,y)为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形内的概率.二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义几何解释51x1x2y1y2

P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Y52性质（1）性质（2）性质（3）性质（4）二维随机变量的联合分布函数的性质F(x,y)分别关于X和Y

.

≤F(x,y)≤.

F(x,－

∞)=

；F(－

∞,y)=.

F(－

∞,－

∞)=

；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分别关于X和Y.单调不减；010001右连续；性质（1）性质（2）性质（3）性质（4）二维随机变量的联合分533.1.2二维离散型随机变量定义3.1.3

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。3.1.2二维离散型随机变量定义3.1.354（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式表格形式P{X55Pij的性质Pij的性质56例题讲解例题讲解57例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(X,Y)的联合分布律。(X,Y)的可能取值为(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).

P{X＝1，Y＝1}=

P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，581/31/31/30(X,Y)的联合分布律X/Y12121/31/31/30(X,Y)的联合分布律X/Y121259箱内装有12只开关，其中2只是次品，现从箱内随机抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的联合分布律。其中：练一练箱内装有12只开关，其中2只是次品，练一练601010X

Y(X,Y)的联合分布律10X(X,Y)的联合分布律61例2.设随机变量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整数值,求(

X,

Y

)的分布列及F(2,2).解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900例2.设随机变量X在1,2,3中等可能地取值,Y62=++=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)=++=2/363例：(X,Y)的联合分布律如下：YX-1012

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?+++k=1

k

=例：(X,Y)的联合分布律如下：Y-164YX-1012

-1120XY0Y-101265YX-1012

-1120XYY-101266YX-1012

-1120XYY-101267YX-1012

-1120XYY-101268YX-1012

-1120XYY-101269

Y=-1Y=0X=1X=2

Y=-1Y=0X=1X703.1.3二维连续型随机变量3.1.3二维连续型随机变量71定义3.1.4(二元连续型随机变量)

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可