16-2二元函数的极限

§2二元函数的极限一、二元函数的极限二、累次极限回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x

不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxxx0回顾：一元函数极限的定义。设二元函数z=f(P)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)PP假如当P在D内变动并无限接近于P0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值f(P)无限接近于数A,则称A为当P趋近于P0时f(P)的极限.P0Ayzxof(P)一、二元函数的极限(二重极限)类似于一元函数,f(P)无限接近于数A可用|f(P)–A|<刻划.而平面上的点P=(x,y)无限接近于点P0=(x0,y0)则可用它们之间的距离1.二重极限的定义

定义1

设为定义在上的二元函数,为的一个聚点,是一个确定的实数.若使得当时,都有成立,在上当时,为(二重)极限.则称记作简记为当和分别用坐标和表示时,也可以写作Dz=f(x,y)P0Ayzxo以上面二元函数极限的定义也称为极限的定义.定义的区分.留意与一元函数极限的例1

用“”定义验证极限例2

用“”定义验证极限

证明例3

设2．二元函数极限存在的条件

定理16.5

的充要的任一子集只要是条件是:对于的聚点,就有注:该定理与一元函数极限的海涅归结原则(以及证明方法)类似.推论1

设是的聚点,不存在,也不存在.若则推论2

设若存在极限和但则不存在.是它们的聚点,注:

推论1和推论2多用于证明极限不存在,尤其是推论2.极限存在(以下例5).可证明沿某个方向极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关(以下例4).但应留意,沿任何方向的极限存在且相等例4

考察函数在处的极限.分析:

找过的两条直线,证明当动点沿直线趋向于时,函数有极限但不相等.例5探讨二元函数在处的极限.解:1.当动点沿直线趋向于点时,都趋向于零.沿抛物线趋向于点时,都趋向于1.相应的2.当动点相应的因此所探讨的极限不存在.推论3

极限存在的充要条件是:对于中任一满足条件且的点列它所对都收敛.应的函数列注:推论1-3的证明可由定理16.5干脆得到,自证推论3.定义2

设是的一个总当时,都有则称在上当时有非正常记作或聚点,若极限(广义极限)3．二元函数的非正常极限类似定义例6

考察在点处的极限.留意到因此下面用非正常极限的定义加以验证.由于取当时就有所以解4．二元函数(二重)极限运算性质与一元函数极限运算性质完全类似例7

求下列极限:1)2)3)习题:p106,1(1,2,3,6,7)二、累次极限1.累次极限的定义

定义3

设为的聚点,一元函数在处极限存在,

假如对于每个固定的记为进一步,若存在,先对后对的累次极限存在,则称记为类似定义先对后对的累次极限例8

考察在处的两个累次极限和重极限.解:

考虑动点沿直线趋向于与有关,在处的极限不存在.因此,例9

考察(1)(2)在处的两个累次极限和重极限.解:(板书)答案：(1)一个累次极限存在,另一个累次极限不存在,但重极限存在为0;存在,但重极限存在为0(2)两个累次极限都不2.重极限与累次极限的关系

(1)两个累次极限存在时,可以不相等.(例8)(2)两个累次极限可以一个存在另一个不存在.(例9)(3)重极限存在时,两个累次极限可以不存在.(例9).(4)两个累次极限存在(甚至相等)重极限存在.(参阅书上例6,p104)定理16.6

若重极限和累次极限(或另一次序)都存在,综上,重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.则它们必相等.定理16.6

若重极限和累次极限(或另一次序)都存在,则它们必相等.证明方法：设由于所以在从而在要证的某空心邻域内(如图)的某空心邻域内推论1

重极限和两个累次极限三者都存在时,三者相等.注